SOLUZIONE DEL PROBLEMA N. 2
del 22 novembre 1999
Dobbiamo confezionare un pacco cilindrico a base circolare da portare nella cabina dell'aereo. La somma delle tre dimensioni (altezza, larghezza, profondità) di un pacco non può superare 120 cm. Si pone il problema di individuare che dimensioni dovrà avere il cilindro affinché il volume sia massimo.
L'equazione risolutiva sarà algebrica o trascendente?
Si potrà individuare agevolmente il valore massimo con semplici strumenti algebrici? Se no, quali? Come affrontare il problema da un punto di vista grafico?
Come si potrebbe affrontare il problema in termini numerici? Un foglio elettronico (tipo Excel) ci potrebbe aiutare? Come?
Soluzione:
quindi il volume del cilindro è dato da:
che è un polinomio di terzo grado in x, una cubica, quindi è una funzione algebrica. L'equazione x(120 - x)2 = 0 ci serve per risolvere il problema? Sappiamo disegnare la funzione?
Le radici dell'equazione x(120 - x)2 = 0 altro non sono che le ascisse dei punti di intersezione di y = x(120 - x)2 e di y = 0. Ci sono utili per disegnare la funzione y = x(120 - x)2, non per risolvere il problema. Le radici sono x = 0 e x = 120 (doppia). Che significato ha graficamente la doppia radice?
Per disegnare la funzione ci serve anche il suo segno. Risulta:
y<0 per x<0 e y>0 per x>0.
La funzione ha quindi l'andamento riportato in
figura.
A noi interessa solo l'intervallo 0<x<120. Perché?
Un modo per poter disegnare il grafico e, allo stesso tempo, individuare il massimo è quello di costruire una tabella, per esempio con un foglio elettronico sul Vostro PC. Se non ne avete uno fatevelo regalare (consiglio EXCEL).
Questa è una tabella che ci consente di tracciare il grafico, ma che non ci consente di affermare che il massimo della funzione si abbia in corrispondenza di x = 40. Chi ce lo dice? Potrebbe trovarsi tra 20 e 40 o tra 40 e 60. |
x |
y |
0 |
0 |
|
20 |
200.000 |
|
40 |
256.000 |
|
60 |
216.000 |
|
80 |
128.000 |
|
100 |
40.000 |
|
120 |
0 |
x |
y |
Questa
tabella va già meglio. Presumibilmente il massimo si ha
proprio per x = 40. Ma possiamo esserne
sicuri? Provate a costruire una tabella con incrementi più piccoli di x, in un intorno di x = 40. Forse abbiamo avuto la fortuna di azzeccare proprio il massimo. |
0 |
0 |
|
5 |
66.125 |
|
10 |
121.000 |
|
15 |
165.375 |
|
20 |
200.000 |
|
25 |
225.625 |
|
30 |
243.000 |
|
35 |
252.875 |
|
40 |
256.000 |
|
45 |
253.125 |
|
50 |
245.000 |
|
55 |
232.375 |
Quest'approccio numerico, assieme alla nostra conoscenza del fatto che una cubica presenta sempre l'andamento a S di figura - con un solo massimo e un solo minimo, ci porta a dire che presumibilmente la soluzione del nostro problema è data da:
h = 40 cm
r = 20 cm
V = p·256/16 litri = 16p litri @ 50,26 litri.
L'approccio algebrico, con l'aiuto di un po' di geometria analitica, ci conduce a trovare i punti di intersezione di
y = x(120 - x)2
con la retta
y = k
ossia a risolvere l'equazione cubica
x(120 - x)2 = k (1)
imponendo poi che due delle tre radici coincidano (ossia che la retta orizzontale sia tangente alla cubica). Il procedimento algebrico è laborioso e comporta alcune sostituzioni di variabile. Possiamo però verificare se i valori x = 40 e k = 256.000, trovati numericamente, soddisfano l'equazione (1).
Concludiamo che gli strumenti di cui disponiamo non sono del tutto sodisfacenti.
CI OCCORRE UN NUOVO STRUMENTO: LA DERIVATA.
Difficoltà?
Soluzioni dei problemi precedenti: