Algebra di Boole

Boole studiò una particolare algebra da usarsi nell' elettronica digitale ed è leggermente diversa da quella vista con i numeri binari. Essa si fonda sui seguenti assiomi:

1 · 1 = 1
1 · 0 = 0
0 · 1 = 0
0 · 0 = 0
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
1(negato) = 0
0(negato) = 1

La prima riga mostra il primo assioma e il punto rappresenta l' operatore logico AND e visto che è assimilabile a una moltiplicazione è chiamato anche prodotto logico.

La seconda riga mostra il secondo assioma e il "più" rappresenta l' operatore logico OR e visto che è assimilabile a una somma è chiamato anche somma logica.

La terza riga, invece, mostra il terzo assioma, ossia se viene negato un segnale questo assume in uscita l' opposto. Il simbolo del negato è una breve linea orizzontale sopra l' 1 o lo 0, una specie di sopralineatura. L' operatore logico che rappresenta questo assioma è chiamato complementazione logica (NOT).

Proprietà e teoremi dell'algebra di Boole:

Vi elenco ora le proprietà dell' algebra di Boole:

A + B = B + A

A · B = B · A
proprietà commutativa
(A + B) + C = A + (B + C)

(A · B) · C = A · (B · C)
proprietà associativa
( A · B) + (A · C) = A · (B + C)

(A + B) · (A + C) = A + (B · C)
proprietà distributiva

e ora ecco i teoremi:

A + 1 = 1

A · 0 = 0

teorema di annullamento
A + 0 = A

A · 1 = A
teorema di identità
A + A(neg) = 1

A · A(neg) = 0
teorema dei complementi
A + A = A

A · A = A
teorema di idempotenza
A + (A · B) = A

A · (A + B) = A
primo teorema dell' assorbimento
A + (A(neg) · B) = A + B

A · (A(neg) + B) = A · B
secondo teorema dell' assorbimento
(A + B)(neg) = A(neg)· B(neg)

(A · B)(neg) = A(neg) + B(neg)
teorema di De Morgan

Esiste anche il teorema di Shannon che non è altro che una estensione del teorema di De Morgan. Esso afferma che il complemento di una espressione logica è ottenibile complementando le singole variabili e scambiando tra loro le operazioni di somma e prodotto. Esempio:

(A + (B · C))(neg) = A(neg) · (B(neg) + C(neg))


Capendo questo teorema è facile capire quindi anche quello di De Morgan, ma se proprio non ci riuscite leggete la tabella qui sotto:

A
B
(A + B)(neg)
A(neg) · B(neg)
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0