Progetto a cura di Stefano Ricciarelli

Controllo del moto di rollio di un natante

E’ assegnato un natante dotato di pinne stabilizzatrici con le quali se ne vuole controllare il moto di rollio.
La funzione di trasferimento che lega la coppia esercitata dalle pinne stabilizzatrici all’angolo di rollio è la seguente:

con wn=2, delta=0,1

E’ richiesta la minimizzazione dell’angolo teta (quindi il set point è costante ed è Ysp=0) sotto le seguenti condizioni:

1. presenza di una coppia di disturbo in ingresso al sistema pari a: Cd=0,3 – 0,3*sin(6,28t)
2. incertezza sulla pulsazione wn del 20%
3. azione di controllo limitata fra –1,2 e +1,2

Analisi dell’impianto

L’impianto è il seguente:

il cui diagramma di Bode risulta:

• margine di fase: Mf=16.26 gradi
• pulsazione di attraversamento: wc= 2.8 rad/sec
  

In prima istanza si vuole osservare come risponde il sistema al disturbo assegnato. A tale fine si ricorre alla simulazione attraverso il seguente schema:

La risposta che si ottiene è la seguente:

Le misurazioni sull’uscita rilevano:

Progetto del regolatore

Lo scopo del progetto è quello di eliminare, o comunque di attenuare, il disturbo presente in ingresso al sistema. Ciò si traduce nella necessità di garantire che alle pulsazioni del disturbo la funzione di sensitività, ossia la funzione di trasferimento fra il disturbo e l’uscita, tenda a 0. Questo significa che alle pulsazioni del disturbo, la continua e 6,28 rad/s, l’impianto più il regolatore deve avere un guadadgno sufficientemente alto.
Si analizzino separatamente l’attenuazione del disturbo in continua e a 6,28 rad/s.

Disturbo in continua.

Il miglir modo per attenuare il disturbo in continua è l’inserimento di un polo nell’origine nel sistema. Questo mi garantisce l’eliminazione di tale disturbo a regime.
Dal momento che l’introduzione del polo nell’origine comporta un ritardo di fase di 90°, per evitare che ciò peggiori il comportamento alle frequenze più elevate, si aggiunge anche uno zero dopo il polo per recuperare appieno il ritardo di fase. Si cerca di porre questo zero lontano dall’origine per massimizzare gli effetti del polo nell’origine e allo stesso tempo circa una decade prima dell’altra dinamica del sistema in modo da non avere problemi con la fase.
Una buona scelta è rappresentata dallo zero in 0,8. Ottengo così il seguente regolatore:

Il diagramma di Bode dell’impianto, del regolatore e della loro cascata è il seguente:

Qui si nota come si è ottenuto un guadagno infinito in continua e come si è compensato lo sfasamento introdotto dal polo nell’origine prima della dinamica del sistema intorno a 2rad/s.
La rete utilizzata può essere vista come una particolare rete di ritardo.

Disturbo a 6,28 rad/s

Da adesso si fa riferimento come impianto alla cascata dell’impianto assegnato col regolatore per la continua.
Per potere attenuare questo disturbo è fondamentale inserirlo nella banda passante del sistema che quindi dovrà essere aumentata dagli attuali 2 rad/s ad un valore almeno pari a quello del disturbo, per esempio può essere valido un valore di 8 rad/s. Inoltre alla pulsazione del disturbo il guadagno dovrà essere sufficientemente elevato come discusso inizialmente in riferimento alla funzione di sensitività.
Un’altra necessità è quella di aumentare il margine di fase nell’intorno della pulsazione di attraversamento in modo da garantire al sistema una stabilità robusta e un maggiore smorzamento.
Viste le esigenze la scelta del regolatore cade su una rete di anticipo. Tale rete infatti consente di aumentare il margine di fase fino ad un massimo teorico di 90° nell’intorno della pulsazione w* in cui viene centrata ed inoltre comporta un aumento della banda passante.

Taratura della rete di anticipo.

Si parte inizialmente da un ragionevole aumento di fase di 65° e si posiziona la rete in quella che si può ragionevolmente ritenere la desiderata futura banda passante del sistema: circa 8 rad/s. La taratura del guadagno viene lasciata come ultima regolazione per modificare la banda passante.
Rete di anticipo:

dove alfa è il rapporto fra la posizione dello zero e del polo ed è quindi minore di 1.
Da note formule si ha:

Mf=65° --> alfa=0,05
W*=8 --> tau=0,56
alfa*tau=0,028

> anticipo1=(1+0.56*s)/(1+0.028*s)

Il diagramma di Bode dell’impianto col regolatore per la continua, della rete di anticipo e della loro cascata è il seguente:

Osservazioni.
Per quanto riguarda la fase si sono conseguiti dei risultati soddisfacenti disponendo di un margine di fase di circa 55° che si mantiene in un intorno abbastanza grande della pulsazione di taglio e che anzi risulta maggiore là dove si vuole portare la nuova pulsazione di taglio. Quello che non è soddisfacente è la banda passante che risulta di circa 3-4 rad/s. Volendo aumentarla senza toccare ancora il guadagno si vede che risulta opportuno portare lo zero della rete di anticipo a frequenze inferiori mantenendo la rete centrata in w*=8 rad/s (si noti che per mantenere la rete centrata bisogna spostare a destra il polo di quanto si sposta a sinistra lo zero). Questo ha inoltre il duplice effetto di aumentare l’anticipo di fase. La scelta più opportuna è quella di spostare lo zero a sinistra fino ad incontrare quello del primo regolatore; così facendo la distanza fra polo e zero della rete di anticipo risulta di 2 decadi, ossia alfa=0,01. Allora è:

alfa=0,01
W*=8

I nuovi diagrammi di Bode risultano:

Osservazioni.
Rispetto alla precedente taratura si nota un discreto miglioramento della pulsazione di taglio che adesso si attesta intorno ai 6 rad/s. Si ha anche un buon miglioramento del margine di fase che risulta adesso di circa 80°.

Per aumentare ulteriormente la banda passante e soprattutto il guadagno alla pulsazione 6,28 rad/s si interviene adesso sul guadagno la cui taratura era stata lasciata in sospeso.

Taratura del guadagno.

La taratura del guadagno viene eseguita per tentativi avvalendosi della simulazione al fine di verificare fino a che punto può spingersi il guadagno per migliorare la risposta senza che l’azione di controllo saturi.

Schema della simulazione.

Come regolatori si considerano il regolatore:

> regolatore1=regcont*anticipo2

E i regolatori che presentano guadagni 2, 10, 100 volte superiori.
Per quanto riguarda le risposte e la varibile di controllo dei 4 sistemi si ha:

Regolatore1:
Uscita1

Le misurazioni sull’uscita rilevano:
picco iniziale circa 0,12 rad,
“assestamento” circa 20 sec,
oscillazioni a regime di ampiezza circa 0,03 rad attorno allo zero.

Variabile di controllo1

Regolatore2:
Uscita2

Le misurazioni sull’uscita rilevano:
picco iniziale circa 0,06-0,07 rad,
“assestamento” circa 15 sec,
oscillazioni a regime di ampiezza circa 0,02 rad attorno allo zero.

Variabile di controllo2

Regolatore3:
Uscita3

Le misurazioni sull’uscita rilevano:
picco iniziale circa 0,014 rad,
“assestamento” circa 10 sec,
oscillazioni a regime di ampiezza circa 0,004 rad attorno allo zero.

Variabile di controllo3

Regolatore4:
Uscita4

Le misurazioni sull’uscita rilevano:
picco iniziale circa 0,0014 rad,
“assestamento” circa 10 sec,
oscillazioni a regime di ampiezza circa 0,004 rad attorno allo zero.

Variabile di controllo4

Osservazioni.
Si nota come all’aumentare del guadagno la bontà della risposta aumenta sempre e l’azione di controllo non satura mai!
Come spiegare questo fenomeno?
Anzitutto si analizzino i diagrammi di Bode del sistema con i diversi regolatori:

Da questi diagrammi risulta evidente che all’aumentare del guadagno la risposta migliora sempre poiché in corrispondenza delle pulsazioni del disturbo il sistema (impianto+regolatore) presenta un guadagno sempre più elevato per cui la funzione di sensitività tende sempre di più a 0 e il disturbo è sempre più attenuato.
Per quanto rigurada l’assenza di fenomeni di saturazione dell’azione di controllo dovuti all’aumento del guadagno e quindi della banda passante essa si spiega considerando che il disturbo entra prima nel sistema e non direttamente nel regolatore. Questo fatto fa sì che il gradino di disturbo venga “addomesticato” dal sistema.
Volendo una spiegazione più approfondita posso considerare la fdt che lega il disturbo d all’azione di controllo u. Essa risulta:

Questa funzione risulta l’opposto della funzione di sensitività complementare per cui ci si aspetta un diagramma di Bode simile a quello di un sistema del secondo ordine a poli complessi coniugati tanto meno smorzati quanto più è alto il guadagno del regolatore dal momento che diminuisce il margine di fase.

Calcolando questa funzione per ogni regolatore si giunge ai seguenti diagrammi di Bode per le ampiezze:

La risposta al gradino di queste funzioni di trasferimento rappresenta l’andamento della variabile di controllo u del regolatore inserito nel sistema retroazionato supponendo che agisca come disturbo un gradino unitario:

Ingrandendo si ha:

Osservazioni.

I diagrammi di bode delle precedenti a funzioni di trasferimento evidenziano, come previsto, un’andamento simile a quello di un sistema con due poli complessi coniugati dominanti. Ragione per cui la risposta al gradino unitario del grafico successivo era in linea di massima prevedibile: si raggiunge asintoticamente il valore –1 con o senza oscillazioni che comunque, come per un sistema del 2° ordine, hanno S%max=100%. Quindi si raggiunge ipoteticamente al massimo il valore –2.
Nel caso della barca essendo il gradino pari a 0,3 è chiaro che il controllo non supera il valore –0,6 (questo senza considerare la componente sinusoidale del disturbo e sempre nei limiti della validità dell’approssimazione a poli complessi dominanti).

Conclusioni.

Si conclude quindi che agendo sul guadagno si possono ottenere oscillazioni notevolmente piccole come richiesto dalle specifiche. Questo tuttavia questo si paga con azioni di controllo molto brusche con conseguente stress sull’attuatore e sull’impianto e con la necessita di attuatori molto prestanti.
Ad ogni modo non è comunque tollerabile un notevole aumento di banda passante pioché comporta una notevole riduzione del margine di fase con conseguente pericolo di instabilità in presenza di poli non modellati del sistema a frequenze più alte ed in ogni caso è sintomo di scarsa robustezza. E’ certamente vero che si potrebbe spostare l’anticipo di fase nella zona delle nuove pulsazioni di attraversamento ma resta il problema di poli eventuali poli non modellati e di controlli comunque nervosi.

Allora la scelta migliore potrebbe essere il regolatore2 (linea rossa) dal momento che:

• ha un’azione di controllo abbastanza dolce
• si ottiene una banda passante di 10 rad/s e quindi non eccesivamente elevata (i poli originali del sistema erano in 2 rad/s)
• garantisce un margine di fase di quasi 80°
• garantisce un’uscita dalle seguenti caratteristiche di tutto rispetto
  • picco iniziale circa 0,06-0,07 rad,
  • “assestamento” circa 15 secondi,
  • oscillazioni a regime di ampiezza circa 0,02 rad attorno allo zero.

Questi possono essere considerati valori decisamente buoni per un natante trattandosi di oscillazioni a regime di circa 1,1-1,2° .

Analisi degli effetti di un errore di modello

Siccome la pulsazione del plant è nota con un incertezza del 20% nei due casi estremi il plant diventa:

I diagrammi di bode della cascata dei due nuovi impianti col precedente regolatore, confrontati con l’impianto nominale, sono i seguenti:

Da questi diagrami si nota come l’errore del 20% sul modello quasi non in fluisce sul margine di fase mentre ha una certa influenza sulla banda passante. Come si vede però dai grafici delle risposte questo porta a modifiche minime sull’uscita.
Non si sono riportati grafici dell’andamento della variabile di controllo poiché la differenza tra l’uno e l’altro è estremamente ridotta.

Per quanto riguarda le uscite si ha:

Plant nominale:

Plant+20%:

Plant-20%: