Proposizione

Sia dato un gruppo G e un suo sottogruppo S. Le relazioni su G definite da

"a,bÎG    a r_d b ab ^-1ÎS

"a,bÎG   a r_s b b ^-1a ÎS

sono relazioni di equivalenza

Dim.

a r_d a aa ^-1ÎS uÎS , ma questo è vero dato che S<G

ar_d b ab ^-1ÎS , ma S<G e quindi (ab ^-1) ^-1= ba ^-1ÎS b r_d a

ar_d b e br_d c ab ^-1, bc ^-1ÎS ab ^-1bc ^-1ÎS ac ^-1ÎS a r_d c

Analogamente per l'altra relazione.

Osservazione

Se si utilizza la notazione additiva (G, +), le relazioni si scriveranno

"a,bÎG    a r_d b a-bÎS

"a,bÎG   a r_s b -b+aÎS

Nel seguito utilizzeremo la notazione moltiplicativa.

Se il gruppo è commutativo, "a,bÎG   ab ^-1= b ^-1a e quindi le due relazioni coincidono: r_d = r_s

Se il gruppo non è commutativo, possiamo dare esempi in cui le due relazioni non coincidono...

Come sempre quando si ha una relazione di equivalenza su un insieme, bisogna vedere come sono fatte le sue classi di equivalenza:

[a]_rd = { xÎG / x r_d a }= { xÎG / xa ^-1ÎS }= { xÎG / $sÎS: xa ^-1= s}={ xÎG / $sÎS: x = sa}

[a]_rs = { yÎG / y r_s a }= { yÎG / a ^-1yÎS }= { yÎG / $sÎS: a ^-1y= s}={ yÎG / $sÎS: y = as}

Abbiamo dimostrato la seguente proposizione:

Proposizione

Sia dato un gruppo G e un suo sottogruppo S. Le classi di equivalenza delle relazioni  di equivalenza su G definite da

"a,bÎG    a r_d b ab ^-1ÎS

"a,bÎG     a r_s b b ^-1a ÎS

sono:

[a]_rd = { xÎG / $sÎS: x = sa} = {sa, sÎS }

[a]_rs= { yÎG / $sÎS: y = as} = {as, sÎS }

La classe di equivalenza [a]_rd è l'insieme dei prodotti sa con sÎS , i suoi elementi si ottengono quindi moltiplicando a destra per a.

La classe di equivalenza [a]_rs è l'insieme dei prodotti as con sÎS , i suoi elementi si ottengono quindi moltiplicando a sinistra per a.

Ciò giustifica la seguente definizione e la notazione utilizzata per indicare le relazioni di equivalenza:

Definizione

Sia dato un gruppo G e un suo sottogruppo S.

Dato aÎG, si definisce classe laterale destra dell'elemento a modulo il sottogruppo S, e si indica con Sa, il  sottoinsieme di G

Sa = { xÎG / $sÎS: x = sa} = {sa, sÎS }

Dato aÎG, si definisce classe laterale sinistra dell'elemento a modulo il sottogruppo S, e si indica con aS, il  sottoinsieme di G

aS = { xÎG / $sÎS: x = as} = {as, sÎS }

Con questa definizione si ha dunque

[a]_rd = Sa

[a]_rs = aS

La relazione di equivalenza su G definita da

"a,bÎG    a r_d b ab ^-1ÎS

La relazione di equivalenza su G definita da

"a,bÎG   a r_s b b ^-1aÎS

si dice congruenza sinistra modulo S

Tra gli elementi di G, c'è  l'elemento neutro u. Siamo curiosi di sapere chi sono [u]_rd e [u]_rs. Risulta

[u]_rd = Su = S

[u]_rs = uS = S

Le classi laterali (destre o sinistre) sono sottoinsiemi di G in generale non sottogruppi, ma [u] = S è un sottogruppo ed è anzi l'unica delle classi laterali che è anche sottottogruppo di G.

Quaalcuno potrebbe obiettare che si sarebbero potute definire altre due relazioni sulla falsa riga delle precedenti:

"a,bÎG    a t b a ^-1bÎS

"a,bÎG    a u b b a^-1ÎS

In realtà non si ottiene nulla di nuovo:

[a]_t = { xÎG / a t x }= { xÎG / a ^-1xXS }= { xÎG / $sÎS: a ^-1x = s}={ xÎG / $sÎS: x = as}= aS =  [a]_rs

[a]_u = { xÎG / a u x }= { xÎG / xa ^-1ÎS }= { xÎG / $sÎS: xa ^-1= s}={ yÎG / $sÎS: x = sa}= S a =  [a]_rd

e quindi t = r_s e u = r_d

Esempio

Considerato il gruppo D₄ ={id, r, r ², r ³, t, t °r, t _°r ², t _°r ³} e il suo sottogruppo S ={id, r ²}, determiniamo le classi laterali destre e sinistre degli elementi di D₄ modulo S:

Notiamo che risulta aS = Sa "aÎD₄ , ma ciò non è vero in generale.

Considerato infatti il sottogruppo T ={id, t}. si ha

Questa volta si ha rT ¹Tr e r ³T ¹Tr ³. Scopriremo in seguito perchè si ha questa differenza e l'importanza del caso ...

Proposizione

Sia dato un gruppo G e un suo sottogruppo S, allora "aÎG risulta

aS = Sa    aSa ^-1 = S

Dim.

Proposizione

Sia dato un gruppo G e un suo sottogruppo S. Le classi laterali (destre o sinistre) modulo S hanno la stessa cardinalità di S:

| aS | = | S |   "aÎG

| Sa | = | S |   "aÎG

e di conseguenza tutte le classi laterali hanno la stessa cardinalità. In particolare

| aS | = | Sa |   "aÎG

| aS | = | bS |   "a,bÎG

Dim.

Dimostriamo solamente che | aS | = | S |   "aÎG

Una biiezione tra S e aS è, ad esempio,

La funzione è iniettiva: as = as' s = s'

La funzione è suriettiva: as = j_a(s)

Riportiamo in un'unica proposizione le proprietà  finora viste delle classi laterali

Proposizione

Dato un gruppo G e un suo sottogruppo S, "a,bÎG risulta

• aS = bS a ^-1bÎS

• Sa = Sb a b^-1ÎS

• aS = S    aÎS

• Sa = S     aÎS

• aÎaS  

• aÎSa  

• aS = bS  oppure (aut) aS Ç bS = f

• Sa = Sb   oppure (aut) Sa Ç Sb = f

• | aS | = | bS |  

• | Sa | = | Sb |  

• aS < G aÎS

• Sa < G aÎS

• aS = Sa    aSa ^-1 = S

Le classi laterali (destre o sinistre) costituiscono una partizione di G e quindi possiamo considerare gli insiemi quozienti

G/r_d  = {Sa , aÎG}

G/r_s  = {aS , aÎG}

Proposizione

Sia dato un gruppo G e un suo sottogruppo S. Gli insiemi quozienti G/r_d e G/r_s hanno la stessa cardinalità

| G/r_d | = | G/r_s |

Dim.

Una biiezione tra G/r_d ={Sa , aÎG} e   G/r_s ={aS , aÎG}è, ad esempio,

Attenzione! Se avete accettato questa definizione di funzione senza battere ciglio, dovreste preoccuparvi. Ricordate sempre che quando una funzione ha come dominio un insieme quoziente e il valore corrispondente a una classe viene assegnato tramite un rappresentante dovete verificare che la definizione è ben posta, ossia che è indipendente dal rappresentante scelto, altrimenti non è nemmeno una funzione.

La funzione è ben definita: Sa = Sb ab ^-1ÎS b ^-1Î a ^-1S a ^-1S = b ^-1S

La funzione è iniettiva: a ^-1S = b ^-1S b ^-1Î a ^-1S ab ^-1ÎS Sa = Sb

La funzione è suriettiva: a ^-1S = j(Sa)

Definizione

Sia dato un gruppo G e un suo sottogruppo S. La cardinalità dell'insieme quoziente  G/r_d  ( G/r_s  ) si chiama indice di S in G e si indica con [G : S]

[G : S ] = | G/r_d | =|{Sa , aÎG}|

[G : S ] = | G/r_s | =|{aS , aÎG}|

Teorema (Lagrange)

Dato un gruppo finito G e un suo sottogruppo S, risulta

| G | = [G : S ] | S | 

e quindi la cardinalità di S divide la cardinalità di G (e anche l'indice di S in G divide la cardinalità di G ).

Dim.

Osserviamo innanzitutto che nel caso di un gruppo G finito anche S<G è finito e [G : S ] è il numero di classi laterali destre (sinistre). Siccome le classi laterali destre costituiscono una partizione di G, si ha

ed, essendo l'unione disgiunta,

ma | Sa_j| =| S | e quindi

Esempio