Definizione

Sia dato un gruppo (G, j ) e un suo sottoinsieme non vuoto S Í G.

Consideriamo j |_S´S : S´S®G , la restrizione ad S´S dell'operazione gruppale j : G´G®G.

Per definizione di restrizione si ha j |_S´S(a, b) = j (a, b)   "a,bÎS ma nessuno ci garantisce che j |_S´S(a, b) ÎS  "a,bÎS, ossia che risulti j |_S´S(S´S) = j (S´S) Í S

Se però questo accade, allora possiamo restringere anche il codominio e considerare la funzione, che per semplicità continuiamo a indicare con lo stesso simbolo, j |_S´S : S´S®S . Si tratta di un'operazione binaria su S e ci si può chiedere se (S, j |_S´S ) è un gruppo.

Se (S, j |_S´S ) è un gruppo, (S, j |_S´S ) si dirà sottogruppo di (G, j ) , o più brevemente, si dirà che S è un sottogruppo di G e si scriverà S < G

Proposizione

Sia dato un gruppo G e un suo sottogruppo S, allora

• l'elemento neutro di S è u, l'elemento neutro di G

• l'inverso in S di aÎS è a ^-1, inverso di a in G

Dim.

Se u_S è l'elemento neutro di S, si ha  "aÎS

au_S = a = au

e quindi, per la legge di cancellazione in G, u_S = u

Esempio

Proposizione

Sia dato un gruppo G e un suo sottoinsieme non vuoto S Í G. S è un sottogruppo di G se e solo se

• "a,bÎS abÎS (chiusura di H)

• uÎS

• "aÎS a ^-1ÎS

Dim.

Se S è un sottogruppo di G, per definizione di sottogruppo deve essere "a,bÎS abÎS e inoltre, dalla proposizione precedente, uÎS e "aÎS a ^-1ÎS

Viceversa, se "a,bÎS abÎS allora la restrizione ad S dell'operazione di G è un'operazione di S, ovviamente associativa perchè è associativa in G. Essendo poi uÎS, u è elemento neutro anche per S. Essendo poi "aÎS a ^-1ÎS, ogni elemento di S ha inverso e coincide con l'inverso in G

Proposizione (criterio)

Sia dato un gruppo G e un suo sottoinsieme non vuoto S Í G. S è un sottogruppo di G se e solo se

"a,bÎS ab ^-1ÎS

Dim.

Se S è un sottogruppo di G, a, bÎS  a, b ^-1ÎS ab ^-1ÎS

Viceversa, siccome S è non vuoto, $aÎS.

a, aÎS aa ^-1ÎS uÎS

u, aÎS ua ^-1ÎS a ^-1ÎS

"a, bÎS a, b ^-1ÎS a(b ^-1) ^-1ÎS abÎS

Attenzione, la proposizione recita: "Sia dato un gruppo G e un suo sottoinsieme non vuoto S ...". Molti studenti si limitano a verificare che "a,bÎS ab ^-1ÎS e concludono che S è un sottogruppo, ma questo è vero solo se S¹f. Per evitare un errore del genere consiglio di effettuare due passi:

• verificare che uÎS (siamo così certi che S ¹ f )

• verificare che "a,bÎS ab ^-1ÎS

Nel caso particolare di un gruppo finito, per decidere se un suo sottoinsieme (ovviamente finito) è un sottogruppo si può utilizzare il seguente criterio:??? oppure basta che sia S finito???

Proposizione

Sia dato un gruppo G e un suo sottoinsieme finito non vuoto S Í G. S è un sottogruppo di G se e solo se

• "a,bÎS abÎS (chiusura di H)

• uÎS

Dim.

sottogruppi di Z+; se S<T e T<G allora ...

Il gruppo delle isometrie di un rettangolo si chiama anche gruppo di Klein o VierGruppe (per questo si indica spesso con V) ed è

V ={id, r, t_h, t_v}

La tavola di moltiplicazione del gruppo è la seguente:

Il gruppo delle isometrie del triangolo equilatero si indica con  D₃ ed è

D₃ ={id, r₁, r₂, t_A, t_B, t_C}

La tavola di moltiplicazione del gruppo è la seguente:

Proposizione

Sia dato un gruppo G e due suoi sottogruppi S e T.

L'intersezione S ÇT è un sottogruppo di G detto sottogruppo intersezione di S e T

Dim.

Sicuramente risulta S Ç T ¹f dato che , essendo S, T < G , allora uÎS , uÎT e quindi uÎS ÇT.

Essendo S Ç T ¹f , posso considerare a,bÎS ÇT .

Da a,bÎS ÇT a,bS ÇTS  e  a,bS ÇT (dato che  S, T < G) ab ^-1ÎS  e ab ^-1ÎT ab ^-1ÎS ÇT

Per il criterio sui sottogruppi, S ÇT < G.

Esempio

Proposizione

Sia dato un gruppo G e due suoi sottogruppi S e T.

L'unione S ÈT non è un sottogruppo di G, tranne nel caso banale S Í T  oppure T Í S

Dim.

Se escludiamo i casi banali S Í T  oppure T Í S, allora $s Î S \ T e $t Î T \ S. Può essere verificata la condizione di chiusura? Supponiamo che stÎS. Deve allora essere st=s'ÎS da cui, essendo S<G,  t=s ^-1s'ÎS. Ma questo è assurdo dato che per ipotesi tÎT \ S.

Supponiamo che stÎT. Deve allora essere st=t'ÎT da cui, essendo T<G,  s=t't ^-1ÎT. Ma questo è assurdo dato che per ipotesi sÎS \ T.

Non ci rassegniamo all'idea di non poter avere un sottogruppo unione di due sottogruppi dati S,T < G. Possiamo aggirare l'ostacolo cercando il minimo sottogruppo di G che contenga l'insieme S ÈT. Tanto per cominciare, cosa intendiamo con "il minimo" ? Vogliamo dire che ogni sottogruppo di G che contenga l'insieme S ÈT  contiene anche il sottogruppo minimo.

Definizione

Sia dato un sottoinsieme non vuoto  f ¹U Í G. Si dice sottogruppo generato da U, e si indica con <U>, il minimo sottogruppo di G contenente U:

• U Í <U> < G

• U Í S < G S Í U

La definizione appena data potrebbe però rivelarsi illusoria, perchè non sappiamo se il sottogruppo generato da un sottoinsieme non vuoto esiste. Ebbene non solo dimostremo la sua esistenza, ma elencheremo i suoi elementi.

Proposizione

Sia dato un sottoinsieme non vuoto  f ¹U Í G. Il sottogruppo generato da U è

e inoltre

Dim.

Definizione

Sia dato un gruppo G e due suoi sottogruppi S e T.  Si dice sottogruppo unione di S e T, e si indica con S ÈT, il sottogruppo generato da S ÈT:

S ÈT = < S ÈT >

Attenzione a non confondere l'unione insiemistica e l'unione gruppale

Osservazione

Abbiamo visto come l'unione insiemistica di due sottogruppi non è un sottogruppo, a parte il caso banale in cui uno dei due sottogruppi è contenuto nell'altro. Può un gruppo essere unione insiemistica di tre sottogruppi? La risposta è sì, come dimostra il seguente esempio

Esempio

Sia G = {1, 3, 5, 7} con la moltiplicazione modulo 10. Tre suoi sottogruppi sono {1, 3}, {1, 5}, {1, 7} e risulta G = {1, 3}È{1, 5}È{1, 7}

definire ST