Gruppi
Primo teorema diagonale di Cantor Sottogruppi, intersezione e unione di sottogruppi Insiemi

Definizione

Sia dato un gruppo (G, j ) e un suo sottoinsieme non vuoto S G.

Consideriamo j |SS : SSG , la restrizione ad SS dell'operazione gruppale j : GGG.

Per definizione di restrizione si ha j |SS(a, b) = j (a, b)   "a,bS ma nessuno ci garantisce che j |SS(a, b) "a,bS, ossia che risulti j |SS(SS) = j (SS) S

Se per questo accade, allora possiamo restringere anche il codominio e considerare la funzione, che per semplicit continuiamo a indicare con lo stesso simbolo, j |SS : SSS . Si tratta di un'operazione binaria su S e ci si pu chiedere se (S, j |SS ) un gruppo.

Se (S, j |SS ) un gruppo, (S, j |SS ) si dir sottogruppo di (G, j ) , o pi brevemente, si dir che S un sottogruppo di G e si scriver S < G

Proposizione

Sia dato un gruppo G e un suo sottogruppo S, allora

  • l'elemento neutro di S u, l'elemento neutro di G

  • l'inverso in S di aS a -1, inverso di a in G

Dim.

Se uS l'elemento neutro di S, si ha  "aS

auS = a = au

e quindi, per la legge di cancellazione in G, uS = u

Esempio

Proposizione

Sia dato un gruppo G e un suo sottoinsieme non vuoto S G. S un sottogruppo di G se e solo se

  • "a,bS impr.GIF (67 byte) abS (chiusura di H)

  • uS

  • "aS impr.GIF (67 byte) a -1S

Dim.

Se S un sottogruppo di G, per definizione di sottogruppo deve essere "a,bS imprg.GIF (67 byte) abS e inoltre, dalla proposizione precedente, uS e "aS imprg.GIF (67 byte) a -1S

Viceversa, se "a,bS imprg.GIF (67 byte) abS allora la restrizione ad S dell'operazione di G un'operazione di S, ovviamente associativa perch associativa in G. Essendo poi uS, u elemento neutro anche per S. Essendo poi "aS imprg.GIF (67 byte) a -1S, ogni elemento di S ha inverso e coincide con l'inverso in G

Proposizione (criterio)

Sia dato un gruppo G e un suo sottoinsieme non vuoto S G. S un sottogruppo di G se e solo se

"a,bS impr.GIF (67 byte) ab -1S

Dim.

Se S un sottogruppo di G, a, bimprg.GIF (67 byte) a, b -1S imprg.GIF (67 byte) ab -1S

Viceversa, siccome S non vuoto, $aS.

a, aS imprg.GIF (67 byte) aa -1S imprg.GIF (67 byte) uS

u, aS imprg.GIF (67 byte) ua -1S imprg.GIF (67 byte) a -1S

"a, bS imprg.GIF (67 byte) a, b -1S imprg.GIF (67 byte) a(b -1) -1S imprg.GIF (67 byte) abS

Attenzione, la proposizione recita: "Sia dato un gruppo G e un suo sottoinsieme non vuoto S ...". Molti studenti si limitano a verificare che "a,bS impr.GIF (67 byte) ab -1S e concludono che S un sottogruppo, ma questo vero solo se Sf. Per evitare un errore del genere consiglio di effettuare due passi:

  • verificare che uS (siamo cos certi che S f )

  • verificare che "a,bS impr.GIF (67 byte) ab -1S

Nel caso particolare di un gruppo finito, per decidere se un suo sottoinsieme (ovviamente finito) un sottogruppo si pu utilizzare il seguente criterio:??? oppure basta che sia S finito???

Proposizione

Sia dato un gruppo G e un suo sottoinsieme finito non vuoto S G. S un sottogruppo di G se e solo se

  • "a,bS impr.GIF (67 byte) abS (chiusura di H)

  • uS

Dim.

sottogruppi di Z+; se S<T e T<G allora ...

Il gruppo delle isometrie di un rettangolo si chiama anche gruppo di Klein o VierGruppe (per questo si indica spesso con V) ed

V ={id, r, th, tv}

La tavola di moltiplicazione del gruppo la seguente:

id r th tv
id id r th tv
r r id tv th
th th tv id r
tv tv th r id

Il gruppo delle isometrie del triangolo equilatero si indica con  D3 ed

D3 ={id, r1, r2, tA, tB, tC}

La tavola di moltiplicazione del gruppo la seguente:

id r1 r2 tA tB tC
id id r1 r2 tA tB tC
r1 r1 r2 id tC tA tB
r2 r2 id r1 tB tC tA
tA tA tB tC id r1 r2
tB tB tC tA r2 id r1
tC tC tA tB r1 r2 id

Proposizione

Sia dato un gruppo G e due suoi sottogruppi S e T.

L'intersezione S T un sottogruppo di G detto sottogruppo intersezione di S e T

Dim.

Sicuramente risulta S T f dato che , essendo S, T < G , allora uS , uT e quindi uS T.

Essendo S T f , posso considerare a,bS T .

Da a,bS T imprg.GIF (67 byte) a,bS TS  e  a,bS T imprg.GIF (67 byte)(dato che  S, T < G) imprg.GIF (67 byte) ab -1e ab -1T imprg.GIF (67 byte) ab -1S T

Per il criterio sui sottogruppi, S T < G.

Esempio

Proposizione

Sia dato un gruppo G e due suoi sottogruppi S e T.

L'unione S T non un sottogruppo di G, tranne nel caso banale S oppure T S

Dim.

Se escludiamo i casi banali S oppure T S, allora $s S \ T e $t T \ S. Pu essere verificata la condizione di chiusura? Supponiamo che stS. Deve allora essere st=s'S da cui, essendo S<Gt=s -1s'S. Ma questo assurdo dato che per ipotesi tT \ S.

Supponiamo che stT. Deve allora essere st=t'T da cui, essendo T<Gs=t't -1T. Ma questo assurdo dato che per ipotesi sS \ T.

Non ci rassegniamo all'idea di non poter avere un sottogruppo unione di due sottogruppi dati S,T < G. Possiamo aggirare l'ostacolo cercando il minimo sottogruppo di G che contenga l'insieme S T. Tanto per cominciare, cosa intendiamo con "il minimo" ? Vogliamo dire che ogni sottogruppo di G che contenga l'insieme S T  contiene anche il sottogruppo minimo.

Definizione

Sia dato un sottoinsieme non vuoto  f U G. Si dice sottogruppo generato da U, e si indica con <U>, il minimo sottogruppo di G contenente U:

  • U <U> < G

  • U S < G impr.GIF (67 byte) S U

La definizione appena data potrebbe per rivelarsi illusoria, perch non sappiamo se il sottogruppo generato da un sottoinsieme non vuoto esiste. Ebbene non solo dimostremo la sua esistenza, ma elencheremo i suoi elementi.

Proposizione

Sia dato un sottoinsieme non vuoto  f U G. Il sottogruppo generato da U

<U> =

intersezgr.GIF (240 byte)

Si
Si<G
USi

e inoltre

<U> =

{

produttgr.GIF (212 byte) xi , xiU vel xi-1U }

Dim.

Definizione

Sia dato un gruppo G e due suoi sottogruppi S e T.  Si dice sottogruppo unione di S e T, e si indica con S T, il sottogruppo generato da S T:

S T = < S T >

Attenzione a non confondere l'unione insiemistica e l'unione gruppale

Osservazione

Abbiamo visto come l'unione insiemistica di due sottogruppi non un sottogruppo, a parte il caso banale in cui uno dei due sottogruppi contenuto nell'altro. Pu un gruppo essere unione insiemistica di tre sottogruppi? La risposta s, come dimostra il seguente esempio

Esempio

Sia G = {1, 3, 5, 7} con la moltiplicazione modulo 10. Tre suoi sottogruppi sono {1, 3}, {1, 5}, {1, 7} e risulta G = {1, 3}{1, 5}{1, 7}

definire ST

Primo teorema diagonale di Cantor Insiemi