Si definisce evoluzione propria (o libera) di un sistema differenziale un
qualunque segnale di uscita y(t) =w(t) che si può
avere in assenza di ingresso , cioè per x(t)=0.
Si considera l’equazione omogenea associata , ossia l’equazione
ottenuta ponendo x(t) e sostituendo w(t) al
posto di y(t) :
L’insieme delle soluzioni della omogenea associata , rappresenta
l’insieme delle evoluzioni proprie.
Il comportamento del sistema in assenza di segnali di ingresso è definito
in modo univoco solo quando all’equazione omogenea associata si associano
le n condizioni iniziali :
w(0) = a0(integrale particolare)
w(0) = a1(integrale particolare)
…..=.....(integrale particolare)
wn-1= an-1(integraleparticolare)
L'insieme degli integrali particolari costituisce l'integrale generale.
Per n=2 l’integrale generale è w(t)=c1w1(t)+c2w2(t)
Le funzioni w1(t)……w2(t)si ricercano risolvendo l’equazione caratteristica nella
variabile k avente grado pari all’ordine n dell’omogenea associata e
uguali coefficienti a2k2+a1k+a0=0
Si hanno quindi 3 casi in base al segno del discriminante :
a) D>0la soluzione generale dell’integrale generale è : w(t)=c1ek1
t+c2ek2 t
b) D=0………………………………………………. : c1ekt
+ c2tekt
c) D<0………………………………………………. : est
[c1cosωt
+ c2senωt]
La determinazione di k si ricava dalla risoluzione dell’equazione
caratteristica ricavata dalla omogenea associata :
Che ha soluzioni : k1=0 , k2=-3
Quindi w(t)=c1et
+ c2e-3t = c1 + c2e-3t
Ad ogni radice ki di molteplicità m corrispondono m soluzioni
della forma ekit , tekit , t2ekit ,
tm-1ekit .
·Un sistema si dice instabile se esiste almeno una evoluzione
propria (libera) non limitata in un intorno di +.
·Un sistema si dice semplicemente stabile se non è instabile,
cioè se tutte le evoluzioni proprie sono limitate in un intorno di +.
·Un sistema si dice asintoticamente stabile quando tutte le
evoluzioni proprie tendono a zero, per t
che tende a +.
Condizione necessaria e sufficiente
affinché un sistema differenziale lineare invariante sia stabile, è che
l’equazione caratteristica non presenti alcuna radice con parte reale
positiva e che le eventuali radici puramente immaginarie siano semplici.
Per la stabilità asintotica è
necessario e sufficiente che tutte le radici dell’equazione caratteristica
abbiano parte reale negativa.
Si definisce rispostaforzata yf(t),
la funzione di uscita y(t), a
condizioni iniziali nulle, che si ottiene in risposta a una data funzione di
ingresso x(t).
L’integrale generale dell’equazione
differenziale completa può essere espresso come somma dell’integrale
generale dell’omogenea associata più la risposta forzata:
y(t)
= w(t)+yf(t)
La risposta forzata diventa
quell’integrale particolare dell’equazione completa che si ottiene con
la scelta delle costanti nulle ( C1=C2=…=0).
ESERCIZIO:
Dato il sistema differenziale descritto dall’equazione:
Determinare l’evoluzione propria che
soddisfa le seguenti condizioni iniziali:
Soluzione:
Risolviamo l’equazione differenziale omogenea che si ottiene ponendo
x(t)=0 e y(t)=w(t).
L’equazione caratteristica risulta:
K3+4K2+5K+2=0
Ad essa corrispondono le soluzioni K1=
-1
con molteplicità 2 e K2= -2
con molteplicità 1.
L’insieme di evoluzioni proprie risulta:
w(t)=
C1e-
t+C2e-
t+C3e-
2 t
E da esse si ricavano le grandezze w(0) , w1(0) , w2(0):
w(0)=C1+0+C3
Che uguagliate ai valori forniti dalle condizioni iniziali, forniscono le
seguenti relazioni:
C1+C3=1
C2-C1-2C3=2
C1-2C2+4C3=
-1
Risolvendo il sistema a tre incognite si ottiene: C1= -3
, C2=7 , C3=4.
Pertanto l’evoluzione propria richiesta ha equazione:
La trasformata di Laplace può essere utilizzata per il calcolo delle
evoluzioni (proprie o complete) di un sistema differenziale , lineare e
invariante , in risposta ad un dato segnale di ingresso x(t).
Si consideri un sistema differenziale descritto da un’equazione
transcaratteristica di generico ordine n>2:
Trasformando entrambi i membri si ottiene una relazione algebrica tra la
trasformata del segnale di ingresso x(s)= L[x(t)] e la trasformata del
segnale di uscita y(s)= L[y(t)] , in cui compaiono gli n valori y(0-)
, y’(0-) , y’’(0-) …. Y(n-1) (0-)
che definiscono le condizioni iniziali del segnale x(t) applicato in
ingresso , nulle nel caso in cui x(t) sia casuale.
L’uso della trasformata di Laplace nella risoluzione di un’equazione
differenziale consente di determinare direttamente la soluzione particolare
y(t) che soddisfa alle condizioni iniziali assegnate.
Esercizio:
Un sistema differenziale è definito dalla seguente equazione
transcaratteristica:
Supponendo di applicare in ingresso il segnale: x(t) = ω(t) (cos2t
+ e3t)
Determinare per t>o l’uscita y(t) che soddisfa alle seguenti
condizioni iniziali : y(0-) = 0 , y’(0-) = 1
La funzione di trasferimento H(s) può essere rappresentata graficamente
se si suppone di operare in condizioni di regime sinusoidale.Ponendo s=jω
, H(s) diventa una funzione complessa di variabile reale , ovvero un
numero complesso H(jω) dipendente dal parametro ω.L’andamento
di tale numero complesso viene descritto nei seguenti modi:
Diagrammi di Bode-in cui si rappresenta il modulo |H(jω)| e
la fase arg[H(jω)] in funzione di ω , su scala logaritmica.
Diagrammi di Nyquist-in cui si
rappresenta su piano complesso l’insieme dei punti corrispondenti ai
valori assunti da H(jω) , facendo variare ω da -∞ a
+∞.
Diagrammi polari-in cui si rappresenta su piano complesso
l’insieme dei punti corrispondenti ai valori assunti da H(jω) ,
facendo variare ω da 0+ a +∞.
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