Il formalismo di Regge-Wheeler-Vishveshwara-Zerilli: vita, morte e resurrezione

1957: il problema della stabilità delle perturbazioni della metrica di Schwarzschild viene posto da J. A. Wheeler e da T. Regge

La metrica spaziotemporale imperturbata è quella indotta da un buco nero neutro statico (segnatura adottata:  - + + + )

L'analisi del problema perturbativo consiste nello scrivere le equazioni che governano il sistema attraverso il sistema di Einstein ridotto:

Per sfruttare le simmetrie del problema, la perturbazione è divisa in due parti che rimangono separate sotto l'azione di un qualunque operatore tensoriale:

La parte "dispari", o "assiale", o "magnetica" (questa terminologia tradizionale risulta parzialmente impropria ed un po' fuorviante)

La parte "pari", o "polare", o "elettrica"

Nelle equazioni ottenute, vengono imposte le condizioni di:

    - indipendenza dall'angolo azimutale  φ  :  M = 0 ,  
    - frequenza definita delle perturbazioni :  dipendenza da t fissata nella forma  

Con lo sviluppo in armoniche sferiche tensoriali (appositamente definite), le parti angolari sono completamente separate; questo risultato si può ottenere più semplicemente attraverso l'applicazione di alcune proprietà delle derivate dei polinomi di Legendre:

Attraverso più sostituzioni funzionali, inclusa l'introduzione dalla coordinata "tortoise" [], i due sistemi si riducono ad una sola equazione di secondo grado, affine all'eq. di Schroedinger:

in cui il potenziale V(r) vale, nei due casi (Regge-Wheeler, 1957 - Vishveshwara, Zerilli, 1969):

con   .

Dalle soluzioni particolari di queste equazioni, si può risalire alla forma delle perturbazioni originali della metrica di Schw. e di qui alle quantità (ampiezza, potenza) collegate con la radiazione di quadrupolo (L=2), ovvero alle onde gravitazionali.

1970: il caso concreto di una particella di massa M che perturba il buco nero di Schwarzschild viene trattato da F. Zerilli

La trattazione è, naturalmente, resa più complessa dalla presenza di un contributo non nullo al tensore energia-impulso:

Si dimostra che è ancora possibile ridurre, per le due diverse , l'intero sistema di Einstein ad una sola equazione di secondo grado, con un termine di sorgente

Tuttavia la derivazione dei diversi contributi che costituiscono la S(r) risente di alcuni errori di calcolo, mai completamente corretti, e di un problema di fondo: i sistemi di equazioni che si ottengono nei due casi, magnetico ed elettrico, sono costituiti da equazioni differenziali di primo e secondo grado (rispettivamente, 2+1 e 5+2). La compatibilità delle equazioni di secondo grado non è stata indagata in modo soddisfacente: viene invocata la conservazione del tensore energia impulso ( ), ma questa non risolve il problema, oltre a non poter essere banalmente estesa al caso di caduta non radiale.

1973-1974: si affrontano le perturbazioni della soluzione di Reissner-Nordstroem, relativa al caso di un buco nero statico non elettricamente neutro, ricavando alcune relazioni esistenti fra radiazione gravitazionale ed elettromagnetica mutuamente indotte

Sostanzialmente, viene trattata la risoluzione del sistema accoppiato di Einstein-Maxwell:

per il caso di una particella perturbante dotata di massa e carica non nulla.

Questa procedura, oltre a risentire degli stessi problemi della precedente, fa uso della stessa decomposizione delle perturbazioni adottata da Regge e Wheeler, nella forma ricordata, ottenuta attraverso l'imposizione di una particolare scelta di gauge: la gauge di Regge-Wheeler, appunto, che, tuttavia, era stata calibrata sul caso di Schwarzschild. In alcuni casi particolari, sorgono delle incompatibilità nei sistemi di Einstein già evidenziate nel caso di perturbazioni della sola metrica scritte nel caso generale a simmetria sferica statica, con

L'intera trattazione va ripetuta in quest'ultimo caso, distinguendo i casi in cui può essere adottata la gauge di R-W anche quando Q ≠ 0.

1973: Saul A. Teukolsky (e, a seguire, Press, Bardeen, Detweiler...) usa il formalismo tetradico di Newman-Penrose per ricavare le perturbazioni di un buco nero a simmetria dinamica assiale (soluzione di Kerr)

Usare il formalismo tetradico di Newman-Penrose significa scrivere le equazioni soddisfatte dalle proiezioni delle quantità vettoriali e tensoriali rilevanti di un sistema su di una base dello spazio-tempo costituita da quattro vettori nulli (), equamente divisi in due gruppi ortogonali fra loro: (l, n) ed (m, ), con i primi due reali e tali che ed i secondi coniugati fra loro e tali che .

Le componenti dei tensori di curvatura della metrica sono esprimibili tramite un set di complicate relazioni algebriche alle componenti della tetrade nulla.

Perturbare il sistema significa perturbare la tetrade

Il problema di rendere efficace questa metodologia (ovvero scrivere delle equazioni separabili) consiste nell'effettuare una scelta oculata della tetrade nulla; questo problema è sostanzialmente analogo a quello consistente nell'effettuare un'opportuna scelta di gauge per semplificare la forma delle perturbazioni nell'approccio armonico tensoriale.

Teukolsky perviene ad un'unica equazione (Master Equation) per campi a carica nulla di spin qualsiasi (specializzabili dunque ai casi scalare s=0, di neutrino s=±1/2, elettromagnetico s=±1, gravitazionale s=±2)

Le due vie sono compatibili fra loro. Esempio: le onde scalari (s = 0) nella formulazione di Teukolsky soddisfano l'eq. di Regge-Wheeler

L'operatore "" di Teukolsky che compare nella parte radiale della Master Equation, nel caso di Schwarzschild (a = 0) con spin nullo, si scrive :

con

L'equazione :

La coordinata "tortoise" è definita:

Le sostituzioni da adottare per le derivate in r sono:   ,  

La trasformazione di Fourier ridefinisce le derivate in t:  

e rimuove la dipendenza da t:

L'equazione di Teukolsky diviene:

che equivale all'equazione di Regge-Wheeler:

con il suo potenziale:

Verifica:

La diffusione del calcolo elettronico neutralizza le differenze tecniche fra i due metodi: l'analisi alla RWVZ torna "di moda" e conquista nuove posizioni

RWVZ:

NP:

Inoltre, come ricordato nella precedente relazione, molti approcci post-newtoniani alla dinamica dei sistemi binari fanno uso del modello ad un solo corpo orbitante in una metrica efficace di tipo Schwarzschild, tornando alle tecniche lineari non mediate dagli invarianti geometrici

Una chiave di non-linearità: il moto geodetico nella collisione di onde gravitazionali

Origini e definizioni

Una "metrica di onda gravitazionale piana" è una soluzione delle equazioni di Einstein nel vuoto con le stesse caratteristiche di simmetria possedute da un'onda elettromagnetica piana nello spazio piatto, ovvero (supponendo z la direzione di propagazione):
        -  invarianza per traslazioni lungo x, y e lungo le ipersuperfici  t - z = costante ;
        -  invarianza per rotazione delle ipersuperfici  t - z = costante .

1970-1972: Szekeres e Khan-Penrose ricavano, a partire dalla metrica di Minkowski, delle soluzioni che corrispondono all'interazione di due onde gravitazionali piane collineari

1985-1986: Ferrari ed Ibañez generalizzano questo risultato utilizzando come punto di partenza la metrica di Kasner

Riducendo al caso spazio-temporale () le espressioni trovate, si ottiene la rappresentazione degenere della metrica d'interazione di due onde impulsive, in cui si ha formazione o di un orizzonte o di una singolarità.

Lo studio delle soluzioni collisionali termina agli inizi degli anni '90 senza che sia stato analizzato il moto geodetico (in altre parole, senza aver esaminato la possibilità di una fenomenologia legata alle particelle immerse in questa metrica)

Impostazione dello studio delle geodetiche

La metrica di Ferrari-Ibañez, rappresentata in un sistema di coordinate dipendenti da un parametro proprio (x(τ), y(τ), z(τ), t(τ)), si scrive, nella zona d'interazione:

con σ = ±1 .

Mentre nella zona di onda singola, in un'utile formulazione alternativa, indotta dal cambio di coordinate

si scrive:

L'equazione delle geodetiche della metrica (4 eq. scalari)

La condizione di normalizzazione delle 4-velocità

dove il parametro ÷} può assumere i valori -1 (geodetiche del genere tempo -punti materiali-), 0 (geodetiche nulle), +1 (geodetiche del genere spazio).
Queste cinque equazioni, da sole, non permettono di scrivere un sistema di primo grado rispetto a τ nelle coordinate dello spazio-tempo.

Simmetrie di Killing

Condizioni aggiuntive si ricavano sfruttando le simmetrie della metrica: i vettori di Killing

Questi particolari vettori sono tali che   = 0 . Per ognuno di essi si può scrivere l'ulteriore equazione

Per la metrica di onda singola, tre vettori sono banalmente ricavati dalla non-dipendenza esplicita dei coefficienti della metrica da x, y, v :

Per la metrica d'interazione, oltre a , altri vettori connessi con la conservazione del momento angolare del sistema sono stati trovati:

Equazioni del moto geodetico

Vengono ricavate separatamente nelle due regioni di onda singola e di collisione (rispett. "zona 2" e "zona 1"). In zona 2 si ha:

dove Kx, Ky, Ku sono le costanti associate alle simmetrie di Killing (Kx, Ky sono le proiezioni sul fronte d'onda del momento della particella, Ku è associato all'energia con cui la particella entra in zona 2 proveniendo dallo spazio piatto).

In zona 1 si ha:

in cui Kz vale , dove sono le costanti associate ai due nuovi vettori di Killing. Applicando la trasformazione (z, t) -> (u, v) citata, è possibile, una volta impostati gli algoritmi di raccordo fra le due zone (in particolare, quelli che calcolano i valori di Kz corrispondenti al Ku iniziale), tracciare il percorso completo delle geodetiche nel piano (u, v) dalla frontiera della zona 2 con lo spazio piatto all'orizzonte/singolarità in zona 1.

Tracciamento delle geodetiche

A titolo di esempio, riporto una serie di geodetiche ottenute con la seguente scelta di parametri: