Integrazione numerica "classica" e metodo Monte Carlo

Esempio (banale):   = ?

Si cercheranno approssimazioni numeriche basate sui valori assunti dalla funzione integranda in punti equispaziati del dominio d'integrazione.

Dati del problema e scelta del passo di calcolo (qui corrispondente a 100 divisioni dell'intervallo  [0, 1] ):

Il valor vero dell'integrale (per il confronto) è, naturalmente,  sin (1):

Metodo "dei rettangoli centrati"

Si sommano le aree dei rettangoli che hanno per base le frazioni scelte dell'intervallo e per altezza i valori della  f(x) a metà delle stesse:

Errore relativo:

Metodo "dei trapezi" o "dei rettangoli traslati"

Si sommano le aree dei trapezi che hanno per altezza le frazioni scelte dell'intervallo e per basi i segmenti orientati di misura  f(X(n)) , il che equivale, per costruzione geometrica, a considerare gli n-1 rettangoli di base h interni al dominio, con altezze pari alle basi sopradette, più i due rettangoli estremi, di base dimezzata ed altezze misurate da f(a) ed f(b) :

Errore relativo:

(questa approssimazione risulta più efficace della precedente solo quando la funzione integranda esibisce dei cambi di concavità nel dominio d'integrazione - altrimenti il lato obliquo dei trapezi risulta sempre al di sotto o al di sopra della curva f(x) , sicché ad ogni passo i singoli errori si sommano).

Metodo "di Simpson"

Consta di una somma con pesi differenti per gli intervalli di ordine pari o dispari:

Errore relativo:

Questo metodo (che richiede che si divida il dominio d'integrazione in un numero pari di intervalli) equivale ad approssimare la curva integranda con archi di parabola, infatti:

Integrale dell'arco di parabola    passante per tre punti consecutivi del campione

Determinazione del sistema relativo alla parabola passante per tre punti dati:

Assegnazione delle espressioni funzionali dei coefficienti:

Calcolo dell'area relativa al generico intervallo (a+2n*h , a+(2n+2)*h) :

Dividendo i termini nei valori pari e dispari dei multipli del passo, la somma di tutti gli integrali al variare di n può scriversi come

che è la

del metodo di Simpson.

Integrazione col metodo Monte Carlo: caso monodimensionale

La funzione è valutata in un numero T di punti del dominio distribuiti casualmente in modo uniforme:

Errore relativo:

Con un milione di punti-campione:

Errore relativo:

Tale errore va confrontato direttamente con quelli precedentemente ricavati per i metodi "classici" di approssimazione, rivelando la scarsa idoneità del metodo, in questo caso.

Il confronto nei casi multidimensionali: D=2

Il valore esatto dell'integrale è, naturalmente:

Metodo dei rettangoli centrati

Errore relativo:

Metodo di Simpson bidimensionale

Analogamente al caso monodimensionale, questo metodo adotta l'interpolazione tramite un settore di quadrica di una porzione di grafico della funzione integranda corrispondente ad un quadrato contenente 9 punti-campione.

Integrale dei due settori di paraboloide   passanti per un quadrato 3X3 di punti del campione

Sistema rappresentante un paraboloide passante per sei punti:

Assegnazione delle espressioni funzionali dei coefficienti:

Dal punto di vista operativo, si dividerà il quadrato di 9 punti-campione in due triangoli che includeranno nel loro perimetro sei punti ciascuno venendo a condividerne, pertanto, tre, posti su una diagonale del quadrato.

Il volume compreso fra il generico "triangolo inferiore" e il piano xy può scriversi:

Per analogia, il volume relativo al "triangolo superiore" sarà, sostituendo le coordinate dei tre punti variati:

Cosicché all'intero quadrato comprendente il punto (a+(2m+1)*h , a+(2n+1)*h) ed i suoi otto primi vicini compete un volume:

Calcolo dell'integrale

Reimmissione dei dati del problema:

Calcolo dell'integrale:

Errore relativo:

Metodo Monte Carlo

Errore relativo:

La precisione risulta un po' più competitiva, rispetto al caso precedente, con quella dei metodi classici, anche se è ancora largamente insufficiente.

D=3 con rilevazione dei tempi di calcolo (su un campione ridotto)

Valore esatto:

Metodo dei rettangoli centrati

Errore relativo:

Metodo dei rettangoli centrati con calcolo preventivo delle coordinate dei punti-campione del dominio

Si sommano i relativi valori di  f  , con il loro peso uniforme:

Metodo Monte Carlo

Errore relativo:

Si può iniziare a cogliere già in quest'ultimo esempio il duplice vantaggio del metodo Monte Carlo rispetto ai classici: la qualità sostanzialmente inalterata dell'approssimazione all'aumentare della dimensione del dominio, quindi la sua crescente competitività (a parità di punti-campione) rispetto a metodi che abbattono progressivamente la precisione del calcolo rispetto al caso monodimensionale - anche se una reale equipollenza è raggiunta, con i metodi più sofisticati come quello di Simpson o della regola di Gauss, solo per D ≈ 25-30 - , ma, soprattutto, il mantenimento di una elementare tecnica di campionamento del dominio stesso, a differenza degli altri casi che, persino in un esempio elementare come questo (integrazione su un tassellamento cubico), costringono al calcolo della funzione integranda in un set ben determinato di punti del dominio (nel caso del metodo più semplice, i centri dei cubi), con un rilevante aumento dei tempi di calcolo, anche quando l'indirizzamento è predeterminato (attraverso la matrice M).