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Notebook[{

Cell[CellGroupData[{
Cell["Integrazione numerica \"classica\" e metodo Monte Carlo", "Subtitle",
  FontVariations->{"Underline"->True}],

Cell[CellGroupData[{

Cell[TextData[{
  "Esempio (banale):  ",
  Cell[BoxData[
      FormBox[
        StyleBox[\(\[Integral]\_0\%1\( cos(x)\) dx\),
          FontSize->18], TraditionalForm]]],
  " = ?"
}], "Section"],

Cell["\<\
Si cercheranno approssimazioni numeriche basate sui valori assunti dalla \
funzione integranda in punti equispaziati del dominio d'integrazione.\
\>", "Text"],

Cell["\<\
Dati del problema e scelta del passo di calcolo (qui corrispondente a 100 \
divisioni dell'intervallo  [0, 1] ):\
\>", "Text"],

Cell[BoxData[{
    \(\(f[x_] := Cos[x];\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(a = 0;\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(b = 1;\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(T = 100;\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(h = \(b - a\)\/T;\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(X[n_] := a + h*n\)}], "Input"],

Cell["\<\
Il valor vero dell'integrale (per il confronto) \[EGrave], naturalmente,  sin \
(1):\
\>", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(\[Integral]\_a\%b f[x] \[DifferentialD]x\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(Sin[1]\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Int = N[%]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(0.8414709848078965`\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["Metodo \"dei rettangoli centrati\"", "Subsection"],

Cell["\<\
Si sommano le aree dei rettangoli che hanno per base le frazioni scelte \
dell'intervallo e per altezza i valori della  f(x) a met\[AGrave] delle \
stesse:\
\>", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Int\_R = N[h \(\[Sum]\+\(n = 1\)\%T f[X[n - 1\/2]]\)]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(0.8414744909472264`\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["Errore relativo:", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(\[CapitalDelta]\_R = Abs[1 - Int/Int\_R]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(4.166661458637755`*^-6\)], "Output"]
}, Open  ]]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["Metodo \"dei trapezi\" o \"dei rettangoli traslati\"", "Subsection"],

Cell["\<\
Si sommano le aree dei trapezi che hanno per altezza le frazioni scelte \
dell'intervallo e per basi i segmenti orientati di misura  f(X(n)) , il che \
equivale, per costruzione geometrica, a considerare gli n-1 rettangoli di \
base h interni al dominio, con altezze pari alle basi sopradette, pi\[UGrave] \
i due rettangoli estremi, di base dimezzata ed altezze misurate da f(a) ed \
f(b) :\
\>", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Int\_T = 
      N[\(h\/2\) \((f[a] + f[b] + 
              2 \(\[Sum]\+\(n = 1\)\%\(T - 1\)f[X[n]]\))\)]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(0.8414639725380028`\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["Errore relativo:", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(\[CapitalDelta]\_T = Abs[1 - Int/Int\_T]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(8.333416667394289`*^-6\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["\<\
(questa approssimazione risulta pi\[UGrave] efficace della precedente solo \
quando la funzione integranda esibisce dei cambi di concavit\[AGrave] nel \
dominio d'integrazione - altrimenti il lato obliquo dei trapezi risulta \
sempre al di sotto o al di sopra della curva f(x) , sicch\[EAcute] ad ogni \
passo i singoli errori si sommano).\
\>", "Text"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["Metodo \"di Simpson\"", "Subsection"],

Cell["\<\
Consta di una somma con pesi differenti per gli intervalli di ordine pari o \
dispari:\
\>", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Int\_S = 
      N[\(h\/\(\(3\)\(\ \)\)\) \((f[a] - f[b] + 
              2 \(\[Sum]\+\(n = 1\)\%\(T/2\)\((2  f[X[2  n - 1]] + 
                      f[X[2  n]])\)\))\)]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(0.8414709848546454`\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["Errore relativo:", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Abs[1 - Int/Int\_S]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(5.555622628605761`*^-11\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["\<\
Questo metodo (che richiede che si divida il dominio d'integrazione in un \
numero pari di intervalli) equivale ad approssimare la curva integranda con \
archi di parabola, infatti:\
\>", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[TextData[{
  "Integrale dell'arco di parabola  ",
  Cell[BoxData[
      \(TraditionalForm\`y\ \((x)\)\  = 
        P\_2\ \ x\^2\  + \ P\_1\ x\  + \ P\_0\)]],
  "  passante per tre punti consecutivi del campione"
}], "Subsubsection"],

Cell[BoxData[
    \(f[x_] =. ; a =. ; b =. ; T =. ; h =. ;\)], "Input"],

Cell["\<\
Determinazione del sistema relativo alla parabola passante per tre punti \
dati:\
\>", "Text"],

Cell[BoxData[
    \(\(W[n_] = 
        Simplify[
          Solve[{A\ X[n]\^2 + B\ X[n] + K \[Equal] f[X[n]], 
              A\ X[n + 1]\^2 + B\ X[n + 1] + K \[Equal] f[X[n + 1]], 
              A\ X[n + 2]\^2 + B\ X[n + 2] + K \[Equal] f[X[n + 2]]}, {A, B, 
              K}]];\)\)], "Input"],

Cell["Assegnazione delle espressioni funzionali dei coefficienti:", "Text"],

Cell[BoxData[{
    \(\(P\_2[n_] = \(W[n]\)[\([1, 1, 2]\)];\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(P\_1[n_] = \(W[n]\)[\([1, 2, 2]\)];\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(P\_0[n_] = \(W[n]\)[\([1, 3, 2]\)];\)\)}], "Input"],

Cell["\<\
Calcolo dell'area relativa al generico intervallo (a+2n*h , a+(2n+2)*h) :\
\>", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Simplify[\(P\_2[2  n]\/3\) \((X[2 \((n + 1)\)]\^3 - 
              X[2  n]\^3)\) + \(P\_1[2  n]\/2\) \((X[2 \((n + 1)\)]\^2 - 
              X[2  n]\^2)\) + 
        P\_0[2  n] \((X[2 \((n + 1)\)] - X[2  n])\)]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(1\/3\ h\ \((f[a + 2\ h\ n] + 4\ f[a + h + 2\ h\ n] + 
          f[a + 2\ h\ \((1 + n)\)])\)\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["\<\
Dividendo i termini nei valori pari e dispari dei multipli del passo, la \
somma di tutti gli integrali al variare di n pu\[OGrave] scriversi come\
\>", "Text"],

Cell[BoxData[
    FormBox[
      RowBox[{\(\(\(h\)\(\ \)\)\/3\), 
        RowBox[{"(", 
          RowBox[{\(f(a)\), "+", \(f(b)\), "+", 
            RowBox[{"2", " ", 
              RowBox[{
                StyleBox[
                  UnderoverscriptBox["\[Sum]", 
                    StyleBox[\(n = 1\),
                      FontSize->10], 
                    StyleBox[\(T/2 - 1\),
                      FontSize->10]],
                  FontSize->18], \(f(X(2  n))\)}]}], "+", 
            RowBox[{"4", " ", 
              RowBox[{
                StyleBox[
                  UnderoverscriptBox["\[Sum]", 
                    StyleBox[\(n = 1\),
                      FontSize->10], 
                    StyleBox[\(T/2\),
                      FontSize->10]],
                  FontSize->18], \(f(X(2\ n - 1))\)}]}]}], ")"}]}], 
      TraditionalForm]], "Text"],

Cell["che \[EGrave] la ", "Text"],

Cell[BoxData[
    FormBox[
      RowBox[{\(\(\(h\)\(\ \)\)\/3\), 
        RowBox[{"(", 
          RowBox[{\(f(a)\), "-", \(f(b)\), "+", 
            RowBox[{"2", " ", 
              RowBox[{
                StyleBox[
                  UnderoverscriptBox["\[Sum]", 
                    StyleBox[\(n = 1\),
                      FontSize->10], 
                    StyleBox[\(T/2\),
                      FontSize->10]],
                  FontSize->18], 
                RowBox[{
                  StyleBox["[",
                    FontSize->16], \(f(X(2  n)) + 2 \( f(X(2\ n - 1))\)\), 
                  StyleBox["]",
                    FontSize->16]}]}]}]}], ")"}]}], TraditionalForm]], "Text"],

Cell["del metodo di Simpson.", "Text"]
}, Open  ]]
}, Open  ]]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["Integrazione col metodo Monte Carlo: caso monodimensionale", "Section"],

Cell[BoxData[{
    \(\(f[x_] := Cos[x];\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(a = 0;\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(b = 1;\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(T = 100;\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(h := \(b - a\)\/T;\)\)}], "Input"],

Cell["\<\
La funzione \[EGrave] valutata in un numero T di punti del dominio \
distribuiti casualmente in modo uniforme:\
\>", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Int\_MC = N[h \(\[Sum]\+\(n = 1\)\%T f[Random[]]\)]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(0.806595153586243`\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["Errore relativo:", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Abs[1 - Int/Int\_MC]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(0.04323833470433125`\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["Con un milione di punti-campione:", "Text"],

Cell[BoxData[
    \(\(T = 10\^6;\)\)], "Input"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Int\_MC = N[h \(\[Sum]\+\(n = 1\)\%T f[Random[]]\)]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(0.8414532217438617`\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["Errore relativo:", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Abs[1 - Int/Int\_MC]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(0.00002110998398463515`\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["\<\
Tale errore va confrontato direttamente con quelli precedentemente ricavati \
per i metodi \"classici\" di approssimazione, rivelando la scarsa idoneit\
\[AGrave] del metodo, in questo caso.\
\>", "Text"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["Il confronto nei casi multidimensionali: D=2", "Section"],

Cell[BoxData[{
    \(\(f[x_, y_] := Cos[x] Cos[y];\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(a = 0;\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(b = 1;\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(T = 100;\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(h = \(b - a\)\/T;\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(X[n_] := a + h*n\)}], "Input"],

Cell["Il valore esatto dell'integrale \[EGrave], naturalmente:", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Int = N[Sin[1]\^2]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(0.7080734182735712`\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["Metodo dei rettangoli centrati", "Subsection"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Int\_R = 
      N[\(h\^2\) \(\[Sum]\+\(n = 1\)\%T\(\[Sum]\+\(m = 1\)\%T\((f[
                  X[m - 1\/2], X[n - 1\/2]])\)\)\)]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(0.7080793189148941`\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["Errore relativo:", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(\[CapitalDelta]\_R = Abs[1 - Int/Int\_R]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(8.333305556607051`*^-6\)], "Output"]
}, Open  ]]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["Metodo di Simpson bidimensionale", "Subsection"],

Cell["\<\
Analogamente al caso monodimensionale, questo metodo adotta l'interpolazione \
tramite un settore di quadrica di una porzione di grafico della funzione \
integranda corrispondente ad un quadrato contenente 9 punti-campione.\
\>", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[TextData[{
  "Integrale dei due settori di paraboloide ",
  Cell[BoxData[
      \(TraditionalForm\`z\ \((x\ , \ y)\)\  = 
        P\_\(2, 0\)\ \ x\^2\  + P\_\(0, 2\)\ \ y\^2\  + \ 
          P\_\(1, 1\)\ x\ y\  + P\_\(1, 0\)\ \ x\  + P\_\(0, 1\)\ \ y\  + \ 
          P\_\(0, 0\)\)]],
  "  passanti per un quadrato di 3X3 punti adiacenti del campione"
}], "Subsubsection"],

Cell[BoxData[
    \(f[x_, y_] =. ; a =. ; b =. ; T =. ; h =. ;\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(Y[n_] := a + h*n\)], "Input"],

Cell["\<\
Sistema rappresentante un paraboloide passante per sei punti:\
\>", "Text"],

Cell[BoxData[
    \(\(W[m_, n_] = 
        Simplify[
          Solve[Flatten[
              Table[\[Sum]\+\(i = 1\)\%2\((\(x\_i\) X[m + p]\^i + \(y\_i\) 
                            Y[n + q]\^i)\) + z\ X[m + p] Y[n + q] + 
                    k \[Equal] f[X[m + p], Y[n + q]], {p, 0, 2}, {q, 0, 
                  2 - p}]], {k, y\_1, y\_2, x\_1, z, x\_2}]];\)\)], "Input"],

Cell["Assegnazione delle espressioni funzionali dei coefficienti:", "Text"],

Cell[BoxData[
    \(\(Table[
        P\_\(i, j\)[m_, 
            n_] = \(W[m, n]\)[\([1, \(-i\^2\)/2 + 7/2  i + j + 1, 2]\)], {i, 
          0, 2}, {j, 0, 2 - i}];\)\)], "Input"],

Cell["\<\
Dal punto di vista operativo, si divider\[AGrave] il quadrato di 9 \
punti-campione in due triangoli che includeranno nel loro perimetro sei punti \
ciascuno venendo a condividerne, pertanto, tre, posti su una diagonale del \
quadrato.\
\>", "Text"],

Cell["\<\
Il volume compreso fra il generico \"triangolo inferiore\" ed il piano xy pu\
\[OGrave] scriversi:\
\>", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(ST\_inf = 
      Simplify[\[Sum]\+\(i = 1\)\%3\(\[Sum]\+\(j = 1\)\%\(4 - i\)\(P\_\(i - \
1, j - 1\)[2  m, 2  n]\/\(2  i\ j\)\) \((X[2 \((m + 1)\)]\^i - 
                  X[2  m]\^i)\) \((Y[2 \((n + 1)\)]\^j - 
                  Y[2  n]\^j)\)\)]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(1\/3\ h\^2\ \((2\ f[a + 2\ h\ m, a + 2\ h\ n] - 
          2\ f[a + 2\ h\ m, a + h + 2\ h\ n] + 
          f[a + 2\ h\ m, a + 2\ h\ \((1 + n)\)] - 
          2\ f[a + h + 2\ h\ m, a + 2\ h\ n] + 
          6\ f[a + h + 2\ h\ m, a + h + 2\ h\ n] + 
          f[a + 2\ h\ \((1 + m)\), a + 2\ h\ n])\)\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["\<\
Per analogia, il volume relativo al \"triangolo superiore\" sar\[AGrave], \
sostituendo le coordinate dei tre punti variati:\
\>", "Text"],

Cell[BoxData[
    \(\(ST\_sup = 
        1\/3\ h\^2\ \((2\ f[a + 2\ h\ \((1 + m)\), a + 2\ h\ \((1 + n)\)] - 
              2\ f[a + 2\ h\ \((1 + m)\), a + h + 2\ h\ n] + 
              f[a + 2\ h\ m, a + 2\ h\ \((1 + n)\)] - 
              2\ f[a + h + 2\ h\ m, a + 2\ h\ \((1 + n)\)] + 
              6\ f[a + h + 2\ h\ m, a + h + 2\ h\ n] + 
              f[a + 2\ h\ \((1 + m)\), a + 2\ h\ n])\);\)\)], "Input"],

Cell["\<\
Cosicch\[EAcute] all'intero quadrato comprendente il punto (a+(2m+1)*h , \
a+(2n+1)*h) ed i suoi otto primi vicini compete un volume:\
\>", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(ST = Simplify[ST\_inf + ST\_sup]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(2\/3\ h\^2\ \((f[a + 2\ h\ m, a + 2\ h\ n] - 
          f[a + 2\ h\ m, a + h + 2\ h\ n] + 
          f[a + 2\ h\ m, a + 2\ h\ \((1 + n)\)] - 
          f[a + h + 2\ h\ m, a + 2\ h\ n] + 
          6\ f[a + h + 2\ h\ m, a + h + 2\ h\ n] - 
          f[a + h + 2\ h\ m, a + 2\ h\ \((1 + n)\)] + 
          f[a + 2\ h\ \((1 + m)\), a + 2\ h\ n] - 
          f[a + 2\ h\ \((1 + m)\), a + h + 2\ h\ n] + 
          f[a + 2\ h\ \((1 + m)\), a + 2\ h\ \((1 + n)\)])\)\)], "Output"]
}, Open  ]]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["Calcolo dell'integrale", "Subsubsection"],

Cell["Reimmissione dei dati del problema:", "Text"],

Cell[BoxData[{
    \(\(f[x_, y_] := Cos[x] Cos[y];\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(a = 0;\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(b = 1;\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(T = 100;\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(h = \(b - a\)\/T;\)\)}], "Input"],

Cell["Calcolo dell'integrale:", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Int\_S = 
      N[\[Sum]\+\(n = 0\)\%\(T/2 - 1\)\(\[Sum]\+\(m = 0\)\%\(T/2 - \
1\)ST\)]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(0.7080734193356992`\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["Errore relativo:", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Abs[1 - Int/Int\_S]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(1.5000253261732155`*^-9\)], "Output"]
}, Open  ]]
}, Open  ]]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["Metodo Monte Carlo", "Subsection"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Int\_MC = 
      N[\(h\^2\) \(\[Sum]\+\(n = 1\)\%\(T\^2\)f[Random[], 
              Random[]]\)]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(0.7071140369444405`\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["Errore relativo:", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Abs[1 - Int/Int\_MC]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(0.0013567561652096938`\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["\<\
La precisione risulta un po' pi\[UGrave] competitiva, rispetto al caso \
precedente, con quella dei metodi classici, anche se \[EGrave] ancora \
largamente insufficiente.\
\>", "Text"]
}, Open  ]]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["\<\
D=3 con rilevazione dei tempi di calcolo (su un campione ridotto)\
\>", "Section"],

Cell[BoxData[{
    \(\(f[x_, y_, z_] := Cos[x] Cos[y] Cos[z];\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(a = 0;\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(b = 1;\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(T = 50;\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(h = \(b - a\)\/T;\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(X[n_] = a + h*n;\)\)}], "Input"],

Cell["Valore esatto:", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Int = N[Sin[1]\^3]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(0.5958232365909556`\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["Metodo dei rettangoli centrati", "Subsection"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Timing[
      Int\_R = N[\ \(h\^3\) \(\[Sum]\+\(p = 1\)\%T\(\[Sum]\+\(n = 1\)\%T\(\
\[Sum]\+\(m = 1\)\%T\((f[X[m - 1\/2], X[n - 1\/2], 
                      X[p - 1\/2]])\)\)\)\)]]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({38.5`\ Second, 0.5958530285968864`}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["Errore relativo:", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(\[CapitalDelta]\_R = Abs[1 - Int/Int\_R]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(0.00004999891668078238`\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["\<\
Metodo dei rettangoli centrati con calcolo preventivo delle coordinate dei \
punti-campione del dominio\
\>", "Subsubsection"],

Cell[BoxData[
    \(\(Table[X\_i[n_] = a + h*n, {i, 3}];\)\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(\(M = Table[X\_i[n - 1\/2], {i, 3}, {n, T}];\)\)], "Input"],

Cell["\<\
Si sommano i relativi valori di  f  , con il loro peso uniforme:\
\>", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Timing[
      Int\_R = N[\(h\^3\) 
            Plus @@ Flatten[
                Outer[f, M[\([1]\)], M[\([2]\)], M[\([3]\)]]]]]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({19.010000000000005`\ Second, 0.5958530285968864`}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(\[CapitalDelta]\_R = Abs[1 - Int/Int\_R]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(0.00004999891668078238`\)], "Output"]
}, Open  ]]
}, Open  ]]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["Metodo Monte Carlo", "Subsection"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Timing[
      Int\_MC = 
        N[\(h\^3\) \(\[Sum]\+\(n = 1\)\%\(T\^3\)f[Random[], Random[], 
                Random[]]\)]]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({3.3500000000000085`\ Second, 0.5954554903123129`}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["Errore relativo:", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Abs[1 - Int/Int\_MC]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(0.0006175881902605873`\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[TextData[{
  "Si pu\[OGrave] iniziare a cogliere gi\[AGrave] in quest'ultimo esempio il \
duplice vantaggio del metodo Monte Carlo rispetto ai classici: la qualit\
\[AGrave] sostanzialmente inalterata dell'approssimazione all'aumentare della \
dimensione del dominio, quindi la sua crescente competitivit\[AGrave] (a \
parit\[AGrave] di punti-campione) rispetto a metodi che abbattono \
progressivamente la precisione del calcolo rispetto al caso monodimensionale \
",
  Cell[BoxData[
      \(TraditionalForm\`\((\ 
        p(d) \[TildeTilde] \([p(d = 1)]\)\^\(\(\ \)\(1/d\)\)\ )\)\)]],
  " - anche se una reale equipollenza \[EGrave] raggiunta, con i metodi pi\
\[UGrave] sofisticati come quello di Simpson o della regola di Gauss, solo \
per D \[TildeTilde] 25-30 - , ma, soprattutto, il mantenimento di una \
elementare tecnica di campionamento del dominio stesso, a differenza degli \
altri casi che, persino in un esempio elementare come questo (integrazione su \
un tassellamento cubico), costringono al calcolo della funzione integranda in \
un set ben determinato di punti del dominio (nel caso del metodo pi\[UGrave] \
semplice, i centri dei cubi), con un rilevante aumento dei tempi di calcolo, \
anche quando l'indirizzamento \[EGrave] predeterminato (attraverso la matrice \
M)."
}], "Text"]
}, Open  ]]
}, Open  ]]
}, Open  ]]
},
FrontEndVersion->"4.0 for Microsoft Windows",
ScreenRectangle->{{0, 800}, {0, 527}},
WindowSize->{693, 475},
WindowMargins->{{0, Automatic}, {Automatic, 1}},
CellLabelAutoDelete->True
]


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Notebook[{

Cell[CellGroupData[{
Cell[1739, 51, 114, 1, 64, "Subtitle"],

Cell[CellGroupData[{
Cell[1878, 56, 194, 7, 60, "Section"],
Cell[2075, 65, 168, 3, 52, "Text"],
Cell[2246, 70, 136, 3, 33, "Text"],
Cell[2385, 75, 294, 6, 144, "Input"],
Cell[2682, 83, 108, 3, 33, "Text"],

Cell[CellGroupData[{
Cell[2815, 90, 73, 1, 42, "Input"],
Cell[2891, 93, 40, 1, 29, "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{
Cell[2968, 99, 43, 1, 30, "Input"],
Cell[3014, 102, 53, 1, 29, "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{
Cell[3104, 108, 56, 0, 47, "Subsection"],
Cell[3163, 110, 179, 4, 52, "Text"],

Cell[CellGroupData[{
Cell[3367, 118, 86, 1, 51, "Input"],
Cell[3456, 121, 53, 1, 29, "Output"]
}, Open  ]],
Cell[3524, 125, 32, 0, 33, "Text"],

Cell[CellGroupData[{
Cell[3581, 129, 73, 1, 30, "Input"],
Cell[3657, 132, 56, 1, 29, "Output"]
}, Open  ]]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{
Cell[3762, 139, 74, 0, 47, "Subsection"],
Cell[3839, 141, 415, 7, 71, "Text"],

Cell[CellGroupData[{
Cell[4279, 152, 137, 3, 51, "Input"],
Cell[4419, 157, 53, 1, 29, "Output"]
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Cell[4487, 161, 32, 0, 33, "Text"],

Cell[CellGroupData[{
Cell[4544, 165, 73, 1, 30, "Input"],
Cell[4620, 168, 56, 1, 29, "Output"]
}, Open  ]],
Cell[4691, 172, 363, 6, 71, "Text"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{
Cell[5091, 183, 43, 0, 47, "Subsection"],
Cell[5137, 185, 110, 3, 33, "Text"],

Cell[CellGroupData[{
Cell[5272, 192, 201, 4, 51, "Input"],
Cell[5476, 198, 53, 1, 29, "Output"]
}, Open  ]],
Cell[5544, 202, 32, 0, 33, "Text"],

Cell[CellGroupData[{
Cell[5601, 206, 52, 1, 30, "Input"],
Cell[5656, 209, 57, 1, 29, "Output"]
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Cell[5728, 213, 205, 4, 52, "Text"],

Cell[CellGroupData[{
Cell[5958, 221, 237, 6, 43, "Subsubsection"],
Cell[6198, 229, 71, 1, 30, "Input"],
Cell[6272, 232, 104, 3, 33, "Text"],
Cell[6379, 237, 292, 6, 72, "Input"],
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Cell[6975, 252, 97, 2, 33, "Text"],

Cell[CellGroupData[{
Cell[7097, 258, 243, 4, 64, "Input"],
Cell[7343, 264, 125, 2, 42, "Output"]
}, Open  ]],
Cell[7483, 269, 170, 3, 33, "Text"],
Cell[7656, 274, 865, 23, 69, "Text"],
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Cell[8560, 301, 696, 18, 69, "Text"],
Cell[9259, 321, 38, 0, 33, "Text"]
}, Open  ]]
}, Open  ]]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{
Cell[9358, 328, 77, 0, 53, "Section"],
Cell[9438, 330, 245, 5, 123, "Input"],
Cell[9686, 337, 134, 3, 33, "Text"],

Cell[CellGroupData[{
Cell[9845, 344, 84, 1, 51, "Input"],
Cell[9932, 347, 52, 1, 29, "Output"]
}, Open  ]],
Cell[9999, 351, 32, 0, 33, "Text"],

Cell[CellGroupData[{
Cell[10056, 355, 53, 1, 30, "Input"],
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Cell[10181, 362, 49, 0, 33, "Text"],
Cell[10233, 364, 47, 1, 30, "Input"],

Cell[CellGroupData[{
Cell[10305, 369, 84, 1, 51, "Input"],
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Cell[11367, 410, 51, 1, 31, "Input"],
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Cell[CellGroupData[{
Cell[11877, 436, 73, 1, 30, "Input"],
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Cell[CellGroupData[{
Cell[12058, 446, 54, 0, 47, "Subsection"],
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Cell[CellGroupData[{
Cell[14029, 507, 278, 5, 53, "Input"],
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Cell[14657, 523, 148, 3, 33, "Text"],
Cell[14808, 528, 415, 7, 104, "Input"],
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Cell[CellGroupData[{
Cell[15408, 544, 65, 1, 30, "Input"],
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Cell[CellGroupData[{
Cell[16019, 562, 47, 0, 43, "Subsubsection"],
Cell[16069, 564, 51, 0, 33, "Text"],
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Cell[CellGroupData[{
Cell[16693, 590, 52, 1, 30, "Input"],
Cell[16748, 593, 57, 1, 29, "Output"]
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}, Open  ]]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{
Cell[16866, 601, 40, 0, 47, "Subsection"],

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Cell[16931, 605, 129, 3, 54, "Input"],
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}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{
Cell[17558, 635, 92, 2, 53, "Section"],
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}, Open  ]]
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Cell[19991, 741, 32, 0, 33, "Text"],

Cell[CellGroupData[{
Cell[20048, 745, 53, 1, 30, "Input"],
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Cell[20175, 752, 1308, 21, 185, "Text"]
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}, Open  ]]
}, Open  ]]
}
]
*)




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End of Mathematica Notebook file.
***********************************************************************)