Kurt Gödel (1906 - 1978) è stato un matematico e logico. Nacque a Brno (oggi nella Repubblica Ceca) sotto l'Impero Austro-Ungarico e divenne cittadino austriaco a 23 anni e, in seguito, cittadino degli Stati Uniti a 42 anni. Diventò in seguito professore al famoso Institute of Advanced Studies a Princeton e amico di Albert Einstein.

   Gödel è ritenuto il più grande logico del XX secolo e uno dei tre più grandi logici di tutti i tempi, assieme agli altri componenti di un ipotetico triumvirato composto da Aristotele e Frege, secondo taluni addirittura il più grande in assoluto.

Godel ha pubblicato il suo più famoso risultato nel 1931 all'età di soli 25 anni, epoca in cui lavorava presso l'Università di Vienna in Austria. Tale lavoro è il famoso Teorema di incompletezza (o di indecidibilità)  che da lui prende il nome, secondo il quale ogni sistema assiomatico auto-consistente in grado di descrivere l'aritmetica dei numeri interi ammette proposizioni logiche sugli interi che non possono essere dimostrate nè confutate a partire dagli assiomi.

Fu anche autore di un celebre lavoro sull'ipotesi del continuo, che dimostra che essa non può essere refutata dagli assiomi della teoria degli insiemi accettata, assumendo che tali assiomi siano consistenti. Tale ipotesi venne poi ampliata da Paul Cohen, che ne dimostrò l'indipendenza.

   Albert Einstein con il suo amico Kurt Gödel,  il grande matematico e logico (1906 - 1978), famoso per  il fondamentale e rivoluzionario Teorema dell'incompletezza (o indecidibilità) del 1931.

  Kurt Gödel and A.Einstein. Photographed by Oskar Morgenstern, courtesy of the Institute for Advanced Study (USA).

KURT GÖDEL - LA PROVA MATEMATICA DELL’ESISTENZA DI DIO - Torino, Bollati Boringhieri, 2006, pp. 124. Prefazione di Gabriele Lolli - Nota introduttiva di Robert Merrihew Adams
 

Recensione di Ivo Silvestro – 11/12/2006

Gödel iniziò a lavorare alla prova ontologica negli anni quaranta del secolo scorso; decise tuttavia di non divulgare il proprio lavoro, limitandosi a discuterlo privatamente, nel febbraio del 1970, con Dana Scott. La sua ritrosia non fu dovuta ad un'insoddisfazione per la dimostrazione ma, come confessò a Oskar Morgenstern, alla paura di venire frainteso: il suo interesse per la prova ontologica era di natura esclusivamente logica, senza alcun legame con la fede in Dio.

La dimostrazione di Gödel, composta da 5 assiomi, 3 definizioni e 2 teoremi, è di difficile comprensione per chi non ha discrete conoscenze di logica modale. L’edizione italiana, curata da Gabriele Lolli e Piergiorgio Odifreddi, è fortunatamente corredata di ottimi apparati. Purtroppo la lettura di questi contributi, e questo vale soprattutto per il prezioso testo di Roberto Magari, è resa difficoltosa dal fatto che questi ultimi non si riferiscono alla versione originale di Gödel qui pubblicata, bensì a quella presentata e divulgata da Dana Scott, che differisce dalla prima in alcuni punti, ad esempio nell’ordine degli assiomi. I curatori avrebbero potuto, ad esempio con delle note, evidenziare le corrispondenze e le discrepanze, rendendo meno ostica la lettura.

Gödel inizia la sua dimostrazione introducendo il concetto di proprietà positiva. Introduce alla maniera dei logici matematici, ossia senza sbilanciarsi in una definizione o, peggio, descrizione di questo concetto: si limita a tratteggiarne alcune proprietà formali.

Il primo assioma stabilisce, ad esempio, che se due proprietà sono positive, allora lo è anche la loro unione. Intuitivamente, se “essere azzurro” è una proprietà positiva e lo è anche “essere pesante”, allora anche “essere azzurro e pesante” è una proprietà positiva.

Per il secondo assioma, o una proprietà è positiva oppure lo è il suo contrario, ma non lo possono essere entrambe e, è bene evidenziarlo, non possono essere entrambe non positive. Data la proprietà “essere azzurro” e la sua negazione “non essere azzurro”, esattamente una delle due è positiva.

Il terzo assioma prevede che, se una proprietà è positiva, allora essa è necessariamente positiva e, viceversa, se una proprietà non è positiva, allora necessariamente non lo è.

Secondo l’interpretazione standard della logica modale, un certo enunciato è necessario se esso è vero in tutti i mondi possibili, mentre è possibile se è vero solamente in alcuni di questi mondi. Ciò significa che, se in un qualsiasi mondo “essere azzurro” è una proprietà positiva, allora lo è in tutti i mondi possibili incluso, ovviamente, quello attuale.

Dopo le proprietà positive, Gödel può, con la prima definizione, introdurre il concetto di Dio come “ciò che gode di tutte le proprietà positive”.

Gödel dedica le definizioni 2 e 3 ai concetti di “essenza” e di “esistenza necessaria”.

Con “essenza di x” Gödel intende una certa proprietà dalla quale necessariamente discendono tutte le altre proprietà di x.

L’esistenza necessaria è definita a partire dalla essenza: x esiste necessariamente se la sua essenza esiste necessariamente, ossia se in tutti i mondi possibili esistono individui che godono della proprietà essenziale di x.

Si tratta forse dei passaggi più difficili, soprattutto per chi non è abituato alle sottigliezze della logica matematica. Tuttavia essi costituiscono uno dei punti più importanti del ragionamento di Gödel: è infatti grazie a queste due definizioni che è possibile superare la critica kantiana all’argomento ontologico. Secondo Kant, l’esistenza non è un predicato bensì la copula di un giudizio o, utilizzando una terminologia più vicina a Gö, l’esistenza non è una proprietà bensì un quantificatore. L’esistenza necessaria, invece, è una proprietà rigorosamente definita. Inoltre, in base al quarto assioma, è una proprietà positiva.

È a questo punto semplice verificare, nel primo teorema, che la proprietà “essere Dio” è anch’essa una proprietà positiva.

Si può adesso procedere alla dimostrazione vera e propria. Se Dio esiste, allora esiste necessariamente, essendo Dio una proprietà positiva. Quindi se è possibile che Dio esista, è allora possibile che Dio esista necessariamente, e se è possibile che Dio esista necessariamente, allora Dio esiste necessariamente.

La dimostrazione è valida unicamente se è possibile che Dio esista, ossia se è possibile combinare tra loro tutte le proprietà positive. Come nota Odifreddi (p. 92) ciò è vero per un universo finito, composto da un numero limitato di individui, ma può non essere vero se l’universo è infinito. Gödel è quindi costretto a introdurre un quinto assioma, il quale prevede che, se una certa proprietà è positiva e questa proprietà ne implica necessariamente una seconda, allora anche quest’ultima è positiva. Intuitivamente, se “essere azzurro e pesante” è una proprietà positiva, allora anche “essere azzurro” è una proprietà positiva.

Nel corso della dimostrazione, Gödel non dice quasi nulla sulle proprietà positive limitandosi, come si è detto, a stabilire alcune loro proprietà formali. Solo una breve nota conclusiva spiega che «positivo significa positivo nel senso morale estetico (indipendentemente dalla struttura accidentale del mondo)» (p. 62).

Nei taccuini Max-Phil sono riportate alcune osservazioni che possono aiutare a comprendere meglio come interpretare l'espressione “senso morale estetico”: «La prova ontologica deve basarsi sul concetto di valore (p migliore di ~p) e su [alcuni] assiomi» (p. 68), «1. L’interpretazione di “proprietà positiva” come “buona” (cioè come una di valore positivo) è impossibile poiché il massimo vantaggio + il minimo svantaggio è negativo. 2. È possibile interpretare il positivo come perfettivo; cioè “puramente buono”, tale quindi da non implicare alcuna negazione di “puramente buono”.» (p. 70).

Con queste osservazioni Gödel si avvicina alla versione dell’argomento ontologico data da Leibniz, autore che egli conosce bene e, come nota Robert Merruhew Adams nella nota introduttiva, lo ha certamente influenzato in questo lavoro. Tuttavia tutto questo discorso non ha alcuna influenza sulla dimostrazione vera e propria, che considera le proprietà positive unicamente da un punto di vista formale. È quindi facile comprendere come mai Gödel, nella versione definitiva, si sia limitato a quella breve nota conclusiva: ulteriori spiegazioni avrebbero potuto venire lette come segni di un significato etico o religioso della dimostrazione.
Il lavoro di Gödel si vuole quindi indirizzare esclusivamente a logici e matematici, non a teologi e fedeli, per i quali rischia comunque di risultare inutile.

Odifreddi evidenzia in particolare due limiti della dimostrazione. Il primo riguarda l'immanenza di Dio: il Dio del quale Gödel dimostra l'esistenza è immanente e non trascendente, si tratta cioè di un ente che esiste all’interno del mondo.

Il secondo limite della dimostrazione è costituito dagli assiomi. Gödel ne introduce ben 5, alcuni dei quali molto vicini alla tesi da dimostrare e, sempre secondo Odifreddi, «non è difficile dimostrare un risultato assumendolo (quasi) come ipotesi» (p. 93). Roberto Magari analizza inoltre la plausibilità di questi assiomi, avanzando perplessità soprattutto su un aspetto del secondo, in base al quale se una proprietà non è positiva lo è la sua negazione e viceversa. Sostituendo questo assioma con uno più debole e plausibile, che si limiti cioè a proibire che una proprietà e la sua negazione siano entrambe positive, lasciando invece la possibilità che entrambe non siano positive, si lascia aperta la possibilità che non esistano enti necessariamente esistenti e quindi, in definitiva, il teorema finale si riduce all’affermazione “Dio può esistere, ma può anche non esistere”. È quindi necessario assumere il secondo assioma come lo ha enunciato Gödel, per quanto poco plausibile esso possa essere.

Questi limiti, anche volendo dare alla prova ontologica un valore diverso da quello meramente logico, non costituirebbero comunque un problema per Gödel, le cui opinioni personali, tratteggiate con efficacia da Gabriele Lolli nella Prefazione, sono marcate da un netto spiritualismo. Convinto sostenitore dell’irriducibilità della mente al cervello e dell’inconsistenza del meccanicismo in biologia, durante una discussione con Rudolf Carnap manifestò una netta opposizione all’ipotesi che l’idea di Dio sia riconducibile, psicologicamente, alle esperienze infantili. In particolare, egli si definì un «teista non panteista, nel solco di Leibniz più che di Spinoza» (p. 11).

La conclusione del testo di Roberto Magari suona come una risposta alle opinioni di Gödel: «Occorre in ogni caso stare molto in guardia contro tutto ciò che può essere suggerito dal desiderio di credere. […] alcuni “intellettuali” contemporanei sono ben lieti del fiorire di credenze strampalate, argomentando che esse possono migliorare lo stato d’umore dei credenti e costituire un arricchimento culturale. Questa tesi, mi pare, è rovinosa e seguendola saremo sempre meno in grado di affrontare la realtà, sempre meno liberi e in definitiva, penso, sempre più sofferenti.» (p. 120). [A cura di ww.recensionifilosofiche.it]