Capitulu nonu

Capitulu nonu

Sa funzione ripartidora

indighe

9.1

Siat X (x mannu) una variabile casuale chi assumet solu valores discretos e siat finida. Sos valores suos sian x[i,i=1...n] e si fethat sa suposizione chi sian ordinados a crescher e totus distintos; sas probabilidades issoro sian p[i,i=1...n].

Si narat funzione de distribuzione de probabilidade de sa variabile X una funzione F[x] de sa variabile reale x chi resurtat uguale po onni valore de sa x a sa probabilidade chi X assumat su valore minore o uguale a x. Hamus a narrer:

f[x]=p[X<=x].

Dae sa definizione si biet chi po x minore de sa prima x[1] arresurtat F[x]=0. Po x in tra sas lacanas de x[1] e x[2] resurtat F[x]=p[1]. Po x cumpresu in tra x[2] e x[3] resurtat F[x]=p[1]+p[2]. Po x cumpresu in tra sas lacanas de indighe k e k+1 resurtat F[x]=p[1]+p[2]+p[3]+....+p[k] E po x prus mannu de x[n] resurtat F[x]=1. Custa funzione si narat finzas de distribuzione, cumuladora, o funzione de ripartizione de probabilidades. Sa funzione est una funzione a gradones e mi informat de cale siat sa probabilidade chi unu determinadu valore de sa x no tenzat una probabilidade de si verificare pru piticcu de sa probabilidade chi si verifichen sas x chi ddi fun minores.

Unu graficu podet mezorare sa cumprendoniu de su cunzetu, e nos dat s'oportunidade 'e amustrare de comente si pesat una funzione ripartidora.

Siat val, (valores), unu imparis de valores de sa x chi han a tenner probabilidade assinnada prob:

val={4,19,34,45,58,79}

{4, 19, 34, 45, 58, 79}

prob={1/12,1/6,1/4,1/4,1/6,1/12}

1       1    1   1 1 1

{--,   -,   -,    -,   -, --}

12    6 4 4 6 12

Custas probabilidades andan tando summadas in custa manera: prima si cunsiderat p[1], posca p[1]+p[2], p[1]+p[2]+p[3], p[1]+p[2]+p[3]+p[4]... Pesamus una funzione chi aplicada a unu imparis de numeros ddos addizionet in custa manera, cantos issos sian.

summa[l_List]:=

Table[Apply[Plus,Reverse[

     Table[

      Table[l[[i]],

       {i,1,Length[l]-k+1}],

          {k,1,Length[l]}]][[i]]],

             {i,1,Length[l]}];

Custa funzione dda provamus prima cun prob e a pustis pesamus aterunu imparis de natura diferente e amustramus chi cuncluit su carculu assinnadu.

summa[prob]

1   1 1 3 11

{--, -, -, -, --, 1}

12 4 2 4 12

summa[{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}]

{1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55}

Po poder pesare su graficu abisonzamus de sas coordinadas de sos puntos in ue finit sa linea orizontale de uguale probabilidade. Custos puntos han a tenner po ascissa sas x de su imparis val (valores) e po ordinandas sos valores de sas probabilidades cumuladas.

pesa[m_List,n_List]:=

N[Table[Append[{m[[i]]},

summa[n][[i]]],{i,1,Length[m]}]]

pesa[val,prob]

{{4., 0.0833333}, {19., 0.25}, {34., 0.5}, {45., 0.75}, {58., 0.916667}, {79., 1.}}

Disinnamus custu graficu:

u1=Show[

ListPlot[

pesa[val,prob],

PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],PointSize[0.01]},

DisplayFunction->Identity],

AspectRatio->1,PlotRange->{{0,100},{0,1}},

AxesOrigin->{0,0},

Axes->True,

DisplayFunction->$DisplayFunction];

Como ponimus unu numen a su imparis de coordinadas de custos puntos, e in su imparis amanipulamus custos datos in modu chi diventen sos estremos de sas lineas de sa funzione ripartidora.

punt=pesa[val,prob]

{{4., 0.0833333}, {19., 0.25}, {34., 0.5}, {45., 0.75}, {58., 0.916667}, {79., 1.}}

In custu imparis podimus lezer sas informativas sighentes a riguardu de sa funzione chi cunsideramus:

chi sa probabilidade chi sa funzione lede unu valore minor o uguale a batoro est su otto e passat po chentu, non prus mannu de deghenoe est su bintichimbe po chentu, non prus mannu de trintabatoro est su chimbanta po chentu, non prus mannu de barantachimbe est su settantachimbe po chentu, non prus mannu de chimbantotto est su norantunu e passat po chentu e non prus mannu e settantanoe est su chentu po chentu. Como una linea zunghet duos puntos in custa manera: si connosco sos estremos de sa linea comente coordinadas cartesianas suas sa funzione Line azunghet custos duos puntos cun d unu tratu continu. Gosi:

Show[Graphics[Line[{{1,1},{2,4}}]]];

Sos estremos de custa linea han sas coordinadas issoro {1,1} e {2,4}. De su imparis de sa funzione ripartidora de probabilidades, cale si siat issa, nde depo ogare a pizu tantas coppias de numeros chi diventen estremos de lineas orizontales e verticales inue si pothan leger sas probabilidaes chi unu valore no hapat probabilidade de si verificare inferiore a cantu dechet. Po esempiu si sa probabilidade chi si verifichet x in sas lacanas de trinta a baranta est su deghe po chentu in su graficu depet cumparrer una linea orizontale chi hapat po estremos suos sos puntos de coordinadas cartesianas {30, 0.1} e {40,0.1}. Su graficu suu est tando:

Show[Graphics[Line[{{30,0.1},{40,0.1}}]]];

E si sa funzione ripartidora mi narat chi sa distribuzione de leare in cunsideru est cussa de su imparis punt hapo a pesare unu graficu tenende a contu cussas coppias de numeros.

punt

{{4., 0.0833333}, {19., 0.25}, {34., 0.5}, {45., 0.75}, {58., 0.916667}, {79., 1.}}

Show[

Graphics[

Line[

   {{4,0.083},{19,0.083},{19,0.25},{34,0.25}, {34,0.5},{45,0.5},{45,0.75},{58,0.75}, {58,0.91},{79,0.91},{79,1},{100,1}}]]];

A ddu narrer paret cosa fazile, su bellu est ca depimus pesare una lista de coppias de numeros inue partinde de sa prima coppia a disposizione nostra, sas ateras si formen cunservande s'ordinada e incrementade s'ascissa e cunservande s'ascissa e incrementande s'ordinada. listpunt est una lista pesada ma chi no torrat a sos contos nostros. Non de mancu nos ponet in caminera.

listpunt=

        Partition[Flatten[

                  Partition[

                   Flatten[punt],2,1]],2,2]

{{4., 0.0833333}, {0.0833333, 19.}, {19., 0.25}, {0.25, 34.}, {34., 0.5}, {0.5, 45.}, {45., 0.75}, {0.75, 58.}, {58., 0.916667}, {0.916667, 79.}, {79., 1.}}

Medas de sas coppias chi hamus carculadu , cussas de postu paris, non fun torradas cun sa ascissa e s'ordinada invertida, custu programma chi sighit che ddas seberat e iscambiat ordinads cun ascissas.

lpuna=Table[

          Reverse[

             Partition[

               Partition[Flatten[

                  Partition[

                   Flatten[punt],

                                     2,1]],

                                         2,2],

                                            2][[i,2]]],{i,1,Length[punt]-1}]

{{19., 0.0833333}, {34., 0.25}, {45., 0.5}, {58., 0.75}, {79., 0.916667}}

Su programma chi sighit pesat lpduas chi est sa lista chi serbit a nois. A urtimu pesamus su graficu de sa funzione ripartidora e dd'amustramus paris cun sos puntos estremos. Nd abarrat unu foras, e t hiat a esser nezessariu a azungher ateras duas rigas de programma po che ddu buscare in su graficu.

lpduas=

      Insert[

        Flatten[

          Table[

           Append[

            {punt[[i]]},lpuna[[i]]],

                  {i,1,Length[punt]-1}],1],

                                          {punt[[1,1]],0},1]

{{4., 0}, {4., 0.0833333}, {19., 0.0833333}, {19., 0.25}, {34., 0.25}, {34., 0.5}, {45., 0.5}, {45., 0.75}, {58., 0.75}, {58., 0.916667}, {79., 0.916667}}

d2=Show[

Graphics[{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.01],

       Line[lpduas]},

AspectRatio->1,PlotRange->{{0,100},{0,1}},

AxesOrigin->{0,0},

           Axes->True]];

Show[u1,d2];