Capitulu cuartu

 Sos teoremas de sas probabilidades

bae a de nantis                    indighe

 4.1

 

 Clear[J,W,K,U,Ø,a,b,c,d,x,y,z,gr]

 Su graficu

 disunu=Graphics[{RGBColor[1,0,0],Circle[{-1,2},2]}];

disduos=Graphics[{RGBColor[0,1,0],Circle[{0,0},2]}];

distres=Graphics[{RGBColor[0,0,1],Circle[{1,2},2]}];

label1=Graphics[Text[FontForm["W",{"Palatino-Italic",18}],{2.,-1.6}]];

label2=Graphics[Text[FontForm["K",{"Palatino-Italic",18}],{2.5,4.}]];

label3=Graphics[Text[FontForm["J",{"Palatino-Italic",18}],{-2.5,4.}]];

label4=Graphics[Text[FontForm["x",{"Helvetica-Bold",12}],{1.,.8}]];

etich11=Graphics[Text[FontForm["c",{"Helvetica-Bold",12}],{0,1.3}]];

etich12=Graphics[Text[FontForm["b",{"Helvetica-Bold",12}],{-1.,.8}]];

etich13=Graphics[Text[FontForm["a",{"Helvetica-Bold",12}],{0.,-1.}]];

etich14=Graphics[Text[FontForm["z",{"Helvetica-Bold",12}],{2.,2.}]];

etich15=Graphics[Text[FontForm["d",{"Helvetica-Bold",12}],{-2.,2.}]];

etich16=Graphics[Text[FontForm["y",{"Helvetica-Bold",12}],{0.,2.7}]];

graf1=Show[disunu,disduos,distres,label1,label2,label3,label4,etich11,

etich12,etich13,etich14,etich15,etich16,AspectRatio->1,

DisplayFunction->$DisplayFunction];

 

K:=List[c,x,y,z];

W:=List[a,b,c,x];

J:=List[b,c,d,y];

U:=Union[K,W,J]

Ø:=List[]

 

Union[U,Ø]

{a, b, c, d, x, y, z}

Intersection[U,Ø]

{}

Complement[U,Ø]

{a, b, c, d, x, y, z}

U

{a, b, c, d, x, y, z}

 In custu graficu sos imparis J,K,W fun eventos, sos elementos issoro fun eventos, sos risurtaos de sas operaziones de unione, intersezione, cumpletamentu relativu e assolutu e de produttu cartesianu pesan ateros eventos. Sa unione de J,K,W pesat unu imparis chi definimus Universu. Ponimus chi sos eventos elementares a,b,c,d,x,y,z sian ecuiprobabiles e sian a duos a duos incumpatibiles. Issos fun in custu cuntestu indipendentes. Esist tando una funzione chi assinnat a d onni eventu unu numeru in tra sas lacanas de zero e unu chi si narat probabilidade de s'eventu. Si pedit chi sa probabilidade de U siat uguale a unu e sa probabilidade de su imparis boidu siat uguale a zero. Custu cheret narrer chi assumancus unu eventu de cuddos prevedios in U s'hat a verificare de siguru, e mai hat a capitare chi s'in d hat a verificare ateros.

 prob[t_,l_List]:=

                           If[MemberQ[l,t],1/Length[U],0];

 Custa funzione a onni elementu de U assinnat una probabilidade. Ddas carculamus totas e notamus chi sos eventos fun ecuiprobabiles, sa summa issoro est uguale a unu, no esistit sa probabilidade de carchi cosa chi no siat unu eventu. Sas funzione triballat preguntandedda a numene prob cun duos argumentos, su numene de s'eventu pediu e s'imparis de su cales est elementu. s est su numene de su ispaziu finiu de probabilidade, sa summa de sas probabilidades de sos elementos de s est 1.

 

S=Table[prob[U[[k]],U],{k,1,Length[U]}]

  1   1   1   1    1  1  1

{-,   -,  -,  -,  -,  -,   -   }

 7   7   7  7   7    7  7

Table[U[[i]],{i,1,Length[U]}]

{a, b, c, d, x, y, z}

Apply[Plus,s]

s

 Sos elementos de U fun a duos a duos incumpatibiles e fun indipendentes. Si narat eventu totale cussu chi si presentat si de duos si nde acrarat o s'unu o s'ateru. Semus in custu ocasione tratande de eventos incumpatibiles. Pesamus una funzione, chi si narat probtot chi carculat sa probabilidade totale po duos eventos incumpatibiles. Sa probabilidade totale hat a esser sa summa aritmetica de sas probabilidades de sos duos eventos.

 probtot[u_,v_]:=Apply[Plus,{prob[u,U],prob[v,U]}]

probtot[a,b]

2

-

7

 Unu eventu si narat cumpostu de ateros duos cando de sos duos s'unu e s'ateru si verifican in sa matessi ora. Sa probabilidade cumposta, semus chistionande de eventos indipendentes, hat a esser su produttu aritmeticu de sas probabilidades de sos duos eventos.

 probcump[u_,v_]:=prob[u,U]*prob[v,U]

probcump[a,b]

1

--

49

 Aplicande sa propriedade associadora de sa summa e de sa moltiplicazione si poden leare in cunsideru sas probabilidades totales e cumpostas de prus de duos eventos. Cun particulare riguardu a sa probabilidade totale si mustrat chi sa probabilidade chi de unu ispaziu assumancus unu de sos eventos si verifichet est unu:

J,K,W fun tres imparis no boidos, a issos si podet assinnare una probabilidade segundu cantu prezisan sos assiomatas de su carculu e segundu cantu disponet sa funzione nostra. Sighimus sa semplifica chi sos eventos sian ecuiprobabiles, e tando sa probabilidade de J est sa probabilidade totale de sos elemtos suos, gasi su matessi po K e W. Sa funzione po assinnare una probabilidade a custos eventos chi fun imparis como si narat p e  tenet po argumentu su imparis leadu in cunsideru.

 p[cs_List]:=Length[cs]/Length[U];

{p[J],p[K],p[W]}

     4     4       4

{   -,     -,      -}

   7      7     7

 Pesamus sa funzione chi carculat sa probabilidade totale de duos imparis tenende a contu chi como non fun prus eventos incumpatibiles. E tando bisonzat in su contu a nde che ogare cuddos eventos cunsideraos duas bortas, hamus a narrer sa intersezione de sos duos imparis. E pesamus finzas sa formula po sa probabilidade cumposta, sa probabilidade chi de duos eventos si presentet s'unu e s'ateru. Sos eventos ddos cunsideramus semper indipendentes.

 ptotdue[as_List,bs_List]:=

(Length[as]+Length[bs]-Length[Intersection[as,bs]])/Length[U]

{ptotdue[J,K],ptotdue[J,W],ptotdue[K,W]}

 6  6  6

{-,  -,  -}

 7  7  7

pcompdue[ds_List,es_List]:=(Length[ds] Length[es])/Length[U]^2;

{pcompdue[J,K],pcompdue[W,J]}

 16  16

{--,    --}

 49  49

 Sa probabilidade totale de tres eventos cumpatibiles est una zeneralizazione de sa formula po duos eventos. Est de notare chi si a su postu de unu terzu eventu ponimus su eventu impossibile sa formula si podet impreare po duos eventos.

 ptottre[hs_List,ks_List,js_List]:=(Length[hs]+

Length[ks]+Length[js]-Length[Intersection[hs,ks]]-

Length[Intersection[hs,js]]-Length[Intersection[ks,js]]+

Length[Intersection[hs,ks,js]])/Length[U];

ptottre[J,K,W]

1

ptottre[J,K,Ø]

6

-

7

ptotdue[J,K]

6

-

7

 Su eventu cumpostu po tres est sa moltiplicazione de sas probabilidades de sos tres eventos, essende issos indipendentes.

 pcomptre[as_List,bs_List,cs_List]:=

(Length[as]*Length[bs]*Length[cs])/Length[U]^3;

pcomptre[J,K,W]

64

---

343

pcompdue[J,K]

16

--

49

 Sa probabilidade contraria est sa probabilidade chi unu eventu non si verifichet mai.

 pcontr[as_List]:=1-(Length[as]/Length[U]);

pcontr[J]

3

-

7