Metodo dei rettangoli

 

Suddividiamo l’intervallo [a, b] in n parti uguali di lunghezza e indichiamo con y0 , y1 , y2,…yn

i valori che la funzione assume in corrispondenza dei punti di suddivisione x0, x1, x2,…xn :

y0 = f(x0), y1 = f(x1), y2 = f(x2),…, yn = f(xn)

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Calcoliamo le somme:

 

per le quali sappiamo che

 

infatti la prima somma rappresenta l’area del plurirettangolo formato dai rettangoli aventi base h ed altezza il valore della funzione f(x) negli estremi sinistri degli intervalli di suddivisione, mentre la seconda rappresenta l’area del plurirettangolo in cui l’altezza dei rettangoli ha il valore che la funzione assume negli estremi destri degli intervalli.

Possiamo quindi assumere tali somme come valore approssimato dell’integrale definito:

 

(*) somma dell’integrale inferiore

(**) somma dell’integrale superiore

 

Il metodo consiste nell’approssimare la curva f(x) con una curva a gradini; si suppone cioè che in ogni intervallo

[xi, xi+1 ] con i = 0, …, n – 1 la funzione rimanga costante e la si sostituisce con una retta parallela all’asse delle x avente equazione y = y1 (formula (*)), oppure y = yi+1 (formula (**)).

L’errore che si commette prendendo come valore approssimato dell’integrale definito il valore dato dalla (*) o dalla (**) è tanto minore quanto più grande è il numero n di suddivisioni.

 

 

 

ESEMPIO

Calcoliamo il valore approssimato dell’integrale mediante le formule dei rettangoli, suddividendo l’intervallo [0, 4] in 4 parti uguali.

grafico2.jpg (18797 byte)

Costruiamo prima di tutto la tabella

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e applichiamo prima la formula (*)

poi la formula (**)

Confrontiamo i valori ottenuti con il valore esatto dell’integrale, che è

da cui: