"Ci sono due famosi labirinti in cui la nostra ragione spesso si perde problema della libertà e necessità da un lato, dall’altro continuità e infinito" (Leibniz).
In queste pagine si propone un itinerario di matematica per le classi finali della scuola secondaria, con l’uso della rete ma anche degli strumenti didattici tradizionali, che affronta un tema particolarmente affascinante, alla base di gran parte del pensiero matematico e filosofico. Il tema attraversa l’intera storia della matematica e il lavoro di tanti matematici ha cercato di "imbrigliare" questo concetto e, in un certo senso, di "addomesticarlo".

David Hilbert (1921) afferma:
L’infinito! Nessun altro problema ha mai scosso così profondamente lo spirito umano; nessuna altra idea ha stimolato così proficuamente il suo intelletto; e tuttavia nessun altro concetto ha maggior bisogno di chiarificazione che quello di infinito".

Molto di quello che si studia in matematica si incentra su tali concetti. L’infinito è un concetto caratteristico della matematica. In geometria si parla di "infinita" prolungabilità della retta, della possibilità di suddividere un segmento in n parti uguali, con n che può essere "grande quanto si vuole"; di approssimazione dell’area del cerchio con poligoni regolari inscritti e circoscritti, ecc.
In analisi matematica, che non dimentichiamolo si chiama anche "infinitesimale", l’infinito è continuamente presente in tutti i problemi ed anzi se ne fa un uso "disinvolto". Non si può parlare di concetti fondamentali della matematica – come quelli di continuità, di derivabilità e di integrabilità di una funzione – senza fare uso della nozione di limite di una funzione. Ebbene, nella nozione di limite, che nella storia della matematica ha richiesto un tempo lunghissimo per la sua definizione, si utilizza continuamente la nozione di "infinito" ed esistono dei teoremi che insegnano quasi a fare un calcolo con gli "infiniti". L’infinito viene quindi dominato e quasi sottoposto ad un calcolo algebrico nello studio dell’analisi matematica. Questo "dominio" sull’infinito, raggiunto progressivamente con la sistemazione dell’analisi matematica, costituisce un apprendistato piuttosto faticoso quando un allievo inizia lo studio dei limiti di funzione. L’analisi matematica costituisce la base di tutti gli studi scientifici, in particolare costituisce il linguaggio della fisica e di tutte le discipline scientifiche e tecnologiche che utilizzano lo strumento matematico.

Da queste considerazioni di carattere didattico consegue la proposta di questo itinerario didattico volto ad approfondire il concetto di infinito, per farne scoprire la valenza culturale ed anche per comprendere il legame della matematica con la filosofia e per far avvicinare gli allievi ad alcuni momenti particolarmente significativi del pensiero matematico.

Per una prima introduzione al concetto di "infinito", si può consultare la seguente pagina nel bellissimo sito creato da Alexander Bogomolny, professore di matematica nella "Iowa University", USA:

http://cut-the-knot.com/do_you_know/few_words.html#infinity

L’infinito è causa di paradossi e antinomie (o contraddizioni). Negli Elementi di Euclide si trova l’affermazione "il tutto è maggiore della parte", che viene superata in Cantor. Anche Galileo si scontra con i paradossi dell’infinito: i quadrati "perfetti", i quadrati dei numeri naturali, sono tanti quanti sono i numeri naturali. Quando si tratta di insiemi infiniti l’affermazione "il tutto è maggiore della parte" non è più valida; tale affermazione, anzi, può essere usata per definire un insieme infinito, come farà Richard Dedekind alla fine dell’Ottocento.

Una delle più grandi "rivoluzioni" del pensiero matematico si sviluppa nella seconda metà dell'Ottocento quando viene introdotta, per opera soprattutto di Georg Cantor (1845-1918), la teoria degli insiemi, che sarà alla base di tutta la matematica del Novecento. Cantor introduce il concetto di "cardinalità" di un insieme e dimostra che la cardinalità dell’insieme dei numeri reali, detta anche "cardinalità del continuo", è maggiore di quella del numerabile (cardinalità dell’insieme dei numeri naturali). Questo significa che è impossibile mettere in corrispondenza biunivoca l’insieme dei numeri naturali con l’insieme dei numeri reali. Con un celebre procedimento Cantor dimostra invece che l’insieme dei numeri razionali può essere posto in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali e che quindi l’insieme dei razionali è un insieme numerabile.

Con Lucio Lombardo Radice, possiamo dunque dire che "Georg Cantor scopre, misura e classifica il transfinito".

L'itinerario qui descritto è stato proposto in una classe quinta di liceo scientifico per la preparazione di un "percorso pluridisciplinare" per l’esame di Stato. Il nuovo esame prevede infatti la possibilità per gli studenti di presentare, all'inizio del colloquio, un argomento dell'ultimo anno di corso che sia stato approfondito da tutta la classe o individualmente nel corso dell’ultimo anno.

L’argomento si presta particolarmente bene ad essere affrontato da diversi punti di vista, con il contributo di diverse discipline di studio, in modo, appunto, "pluridisciplinare". Nell'ambito di tale percorso, per quanto riguarda la matematica, gli argomenti svolti sono stati i seguenti:

In classe sono stati affrontati i seguenti argomenti; alcuni di essi sono delle letture, altri invece sono delle vere e proprie parti del programma di matematica sperimentale (del Piano Nazionale per l’Informatica e dei programmi della Commissione Brocca):

• I paradossi di Zenone di Elea; Achille e la tartaruga

Achille e la tartaruga

• I pitagorici e la scoperta delle grandezze incommensurabili
• Euclide e l’infinità dei numeri primi, (in Elementi, libro IX, proposizione 20):
  

Proposizione IX.20. Eistono numeri primi in numero maggiore di quanti numeri si voglia proporre.

• Approfondimenti sulla definizione di limite
• Gli asintoti di una funzione
• La definizione di limite: limite di una successione e limite di una funzione;
• Infiniti e infinitesimi
• Calcolo infinitesimale: le successioni e le serie
• Bernhard Bolzano, I paradossi dell’infinito (Paradoxien des Unendlichen)

Alcuni esempi di insiemi tra loro in corrispondenza biunivoca (hanno la stessa cardinalità):

• Due segmenti qualunque possono essere messi in corrispondenza biunivoca tramite una proiezione centrale.

I punti di AB sono tanti quanti quelli di A’B’

• Un semicirconferenza aperta (senza i punti estremi) può essere messa in corrispondenza biunivoca con una retta. Ad ogni punto P della semicirconferenza corrisponde un punto P’ e viceversa ad ogni punto P’ della retta corrisponde un punto della semicirconferenza.

In definitiva, quindi, ogni intervallo aperto può essere messo in corrispondenza biunivoca con l’insiemi dei punti di una retta. Quindi i punti di una retta sono "tanti quanti" sono i punti di un intervallo aperto. Nella figura seguente tale corrispondenza viene illustrata in modo completo.

Si considera un segmento aperto AB e si disegna una semicirconferenza (aperta) tangente al segmento nel punto medio H di AB. Ad un punto P del segmento AB, faciamo corrispondere il punto Q (basta mandare la perpendicolare per P al segmento AB). Si considera ora la semiretta OQ di origine O. Tale semiretta fa corrispondere al punto Q il punto P’ della retta AB.

In questo modo abbiamo stabilito una corrispondenza biunivoca tra il segmento (aperto) AB e la retta r.

Un altro esempio paradossale che si può presentare in classe, per approfondire il concetto di infinito, va sotto il nome di "albergo di Hilbert". Si tratta di uno strano albergo, con un numero infinito (numerabile) di stanze. Anche se l’albergo ha le stanze tutte occupate, è sempre possibile accogliere un nuovo cliente o addirittura liberare un numero indinisto di stanze. Ad esempio si possono spostare tutti i clienti nelle stanze di numero pari e si liberano tutte le infinite stanze di numero dispari. Si veda il seguente sito:

http://www.c3.lanl.gov/mega-math/workbk/infinity/inhotel.html

- La teoria degli insiemi di G. Cantor; cardinalità di un insieme; la parte può essere uguale al tutto; insiemi finiti ed infiniti.

La cardinalità dei numeri naturali viene indicata da Cantor con il simbolo À ₀ (aleph con 0), si tratta della prima lettera dell’alfabeto ebraico con l’indice 0. Ogni insieme che possa essere messo in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei naturali ha la stessa cardinalità dei numeri narurali. Ad esempio l’insieme dei numeri pari, che è un sottoinsieme dei numeri naturali, ha la stessa cardinalità dell’insieme dei numeri naturali. In questo senso, dunque, la parte può essere "uguale" al tutto.

• Dal numerabile al continuo; confronto tra insiemi infiniti

Nelle figure seguenti è riportata la dimostrazione che l’insieme dei numeri razionali assoluti è un insieme numerabile; la stessa dimostrazione può essere ripetuta per l’insieme dei numeri razionali relativi.
Nella prima riga vengono scritti tutte le frazioni con numeratore 1 e denominatore un numero intero; nella seconda riga scriviamo tutte le frazioni con numeratore 2, e così via… In questo modo vengono scritti tutti i numeri razionali assoluti, eventualmente anche con delle ripetizioni. Le frecce indicate nella figura, che procedono in senso diagonale, mostrano la possibilità di mettere in una unica "fila" i numeri razionali assoluti.

Possiamo anche scrivere come indica la seguente figura, che indica una corrispondenza biunivoca tra i razionali assoluti ed i numeri naturali. Quindi:

Il passo successivo che si può introdurre in classe è quello di dimostrare che i numeri reali dell’intervallo (0, 1) non possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali.

La dimostrazione viene condotta per assurdo. Supponiamo che i numeri reali dell’intervallo (0, 1) formino un insieme numerabile. In questo caso sarà possibile scriverli in un "elenco" numerabile in cui ciascun numero reale tra 0 e 1 sarà contrassegnato da un numero naturale n. Il primo numero reale dell’intervallo, si potrà scrivere come:

dove a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆,… sono le cifre dopo la virgola.

Costruiamo ora, seguendo il procedimento di Cantor, un nuovo numero reale compreso tra 0 ed 1, che non è elencato nella figura seguente.

Il numero ha come prima cifra 0. Al primo posto dopo la virgola si si sceglie una cifra diversa da a₁, al secondo posto si sceglie una cifra diversa da b₂, al terzo posto si sceglie una cifra diversa da c₃,…

Con questo procedimento, detto "diagonale", viene costruito un numero reale certamente compreso tra 0 e 1, ma che è diverso da tutti quelli dell’elenco precedente, contro l’ipotesi che l’elenco indicasse tutti i numeri compresi tra 0 e 1. Si è arrivati dunque ad un assurdo. Pertanto l’insieme dei numeri reali dell’intervallo ]0, 1[ non è "numerabile". Ne consegue pertanto che l’insieme dei numeri reali non può essere posto in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. La "cardinalità" (o "potenza") dei numeri reali è quindi maggiore della cardinalità del numerabile. La cardinalità dei numeri reali si chiama cardinalità del "continuo".

• I punti del piano (e dello spazio) sono "tanti quanti" sono i punti di una retta.

A proposito di quest’ultimo teorema lo stesso Cantor, in una lettera a Dedekind del 1877, afferma: "Lo vedo ma non ci credo !".

Si visiti il sito:

http://cut-the-knot.com/do_you_know/cantor.html

In effetti il teorema è molto sorprendente perché in esso si afferma la possibilità di costruire una corrispondenza biunivoca tra i punti di una retta ed i punti del piano.

In classe è stata fatta la dimostrazione che l’intervallo aperto ]0, 1[ può essere messo in corrispondenza biunivoca con il quadrato aperto "unitario" di vertici (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1).

Per convincersi della possibilità di mettere in corrispondenza i punti di una retta ed i punti del piano, si possono vedere delle curve particolari, che riempiono il piano, nella seguente pagina:

http://cut-the-knot.com/do_you_know/hilbert.html

Una delle curve più famose che "riempie" il piano è la curva di Peano.

Peano propone l’esempio di una curva "ricorsiva che, al limite, riempie tutto il piano. Talvolta tale curva viene anche chiamata curva di Hilbert. Si veda la seguente pagina dove, tramite un "applet" un programma che "vive" in una pagina Web, è possibile fare esperimenti interattivi sulla curva di Peano:

Ci sono analoghe curve che "riempiono tutto lo spazio" e che stabilisco dunque una corrispondenza biunivoca tra i punti di una retta ed i punti dello spazio.

• I paradossi e le antinomie

Lucio Lombardo Radice in un suo libro, L’infinito, Editori Riuniti, Roma 1981, dà le seguenti definizioni di paradosso e di antinomia:

paradosso = affermazione incredibile, contraria alla opinione corrente ed intuitiva;

antinomia = contraddizione; si ha una antinomia se in una data teoria è possibile dimostrare dimostra una affermazione e contemporaneamente la sua negazione (p ed anche "non p").

• La crisi dei fondamenti della matematica

Usando la teoria degli insiemi è possibile costruire delle antinomie. La più famosa delle antinomie è quella di Bertrand Russell (1902). Agli inizi del Novecento si sviluppa la "crisi dei fondamenti" della matematica e nascono dubbi sulla teoria degli insiemi e sulla sua assiomatizzazione. A proposito di questi dubbi David Hilbert (1921) afferma: "Nessuno ci scaccerà dal paradiso che Cantor ha creato per noi".

• L’ipotesi del continuo (Kuth Godel e Paul Cohen)

Che cos’è l’ipotesi del continuo ? Tra la cardinalità dei razionali e quella dei reali esiste una cardinalità intermedia?
Nella prima metà del XX secolo ai matematici si è posta tale questione che è di natura simile a quella del V postulato degli Elementi di Euclide: "L’ipotesi del continuo è vera o falsa?" Si trattava di dimostrare che non c’era un cardinale intermedio tra "aleph0" e "aleph1", tra il numerabile e il continuo.
La risposta è stata data in modo graduale. Nel 1939 Kurt Godel dimostrò che non si poteva dimostrare che l’ipotesi del continuo fosse falsa rimanendo nel quadro della teoria degli insiemi. Nel 1963 Paul Cohen dimostrò che non si poteva dimostrare che l’ipotesi del continuo fosse vera nel quadro della teoria degli insiemi. Dunque la questione dell’ipotesi del continuo è indecidibile. Si può supporre che non esista un cardinale intermedio tra il numerabile e il continuo, come si può supporre il contrario. Questo non creerà contraddizioni.

Attività della classe con l’uso della rete; elenco dei siti consultati

La rete offre ormai una miriade di siti dedicati alla matematica ed al suo insegnamento.
Il sito che è stato maggiormente utilizzato, con la guida dell’insegnante è stato il seguente:
MacTutor History of Mathematics Archive (Università di St.Andrews, Scozia)

Probabilmente si tratta del miglior sito di Storia della matematica in rete, da dove si possono ricavare le biografie di centinaia di matematici e molte altre informazioni interessanti di storia della matematica. Tra l'altro c'è la possibilità di consultare e di prelevare articoli monografici di storia della matematica.
Altri materiali interessanti si possono ritrovare nei seguenti siti:

http://www.vordenker.de/gunther_web/achill1.htm

http://www.uwec.edu/Academic/Curric/andersrn/cardinalweb.htm

http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/HistMath.html

La rete, quindi, può essere un ottimo strumento per trovare risorse didattiche per l'insegnamento e l'apprendimento della matematica. Quasi tutti gli studenti sanno ormai usare la rete e i programmi di navigazione (browsers); l’insegnante dovrebbe insistere particolarmente sull’uso dei "motori di ricerca". L’insegnante ha segnalato agli allievi i siti più noti e di verificata qualità scientifica. In particolare l’insegnante ha guidato gli allievi alla consultazione di alcuni siti dedicati alla storia della matematica. Questo ha permesso di prelevare diversi materiali, sotto forma ipertestuale, e la raccolta di testi, immagini, biografie di matematici e immagini collegati all’argomento scelto.

Verifiche
Sulle attività svolte gli studenti hanno preparato una sintesi del lavoro, in forma ipertestuale usando semplicemente il programma Word oppure un "editor" per costruire pagine in formato HTML adatte al Web. Tali materiali sono stati presentati all’esame di stato di liceo scientifico come approfondimento degli studenti e della classe.
L’insegnante, al termine del percorso didattico, ha inoltre costruito una prova semistrutturata di verifica sotto forma di questionario con risposte chiuse o a breve risposta aperta.

Conclusione
La rete, se usata opportunamente, può almeno in parte integrare la consultazione di libri o riviste, data la vastità di risorse e di siti, di buon livello scientifico, presenti in rete. Esistono siti di matematica, ad esempio quelli citati, che sono ben curati e di livello almeno equivalente a molti dei libri di storia della matematica reperibili in una normale biblioteca scolastica, con la possibilità di prelevare diverso materiale su tutti i principali temi della matematica e della sua storia. L’intervento dell’insegnante risulta comunque fondamentale e decisivo in tutte le fasi del lavoro, nella scelta dei siti e soprattutto per l’analisi e la selezione dei materiali. Gli allievi hanno bisogno di essere guidati per evitare la dispersione ed il sovraccarico di informazioni, a volte non pertinenti, che si possono trovare in rete. E’ quindi importante che il docente - o un gruppo di docenti - abbia controllato la validità scientifica dei siti e abbia fatto uno studio preliminare di quelli più validi dal punto di vista didattico. Occorre infine un controllo puntuale dei tempi di lavoro in classe ed è quindi opportuno costruire delle mappe per la "visita guidata" dei siti da assegnare agli allievi in modo da sapere cosa cercare e quali materiali prelevare dalla rete, fermo restando che negli allievi si vuole sviluppare la capacità di utilizzare ed organizzare i materiali recuperati dalla rete.

Libri e altri materiali consultati
- B. Bolzano, Paradossi dell’infinito, Feltrinelli, Milano 1964;
- W. Dunham, Viaggio attraverso il genio. I grandi teoremi della matematica, Zanichelli, Bologna1992;
- Euclide, Gli Elementi, Utet, Torino 1970;
- L. Lombardo Radice, L’infinito, Editori Riuniti, Roma 1981;
- C. Sitia, Le stranezze dell’infinito, Quaderno di lavoro del Centro Ricerche Didattiche "U. Morin", Paderno del Grappa, 2000;
- P. Zellini, Breve storia dell’infinito, Adelphi, Milano 1980.