PILASTRI IN CEMENTO ARMATO A STAFFE ISOLATE
PILASTRI
A SEZIONE RETTANGOLARE E CARICO ASSIALE |
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PILASTRI
A SEZIONE RETTANGOLARE E CARICO ECCENTRICO |
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Sezione pilastro in cemento armato a sezione quadrata o rettangolare. Dati: - Rck classe del calcestruzzo - x-x;y-y assi principali d'inerzia - P carico agente in sommità - H altezza del pilastro - gc peso specifico calcestruzzo armato - l1 - l2 lati del pilastro |
I pilastri in cemento armato sono prevalentemente compressi o pressoinflessi, pertanto le barre dell'armatura longitudinale, solitamente di diametro f12 - f14, per effetto del carico di punta, tendono a "spanciare" verso l'esterno fessurando lo strato di calcestruzzo che ricopre i tondini d'acciaio. Le staffe hanno, quindi, la funzione di contrastare questo spostamento, lavorando a trazione, e devono avere una forma poligonale chiusa.
PILASTRO IN C. A.
CARICATO ASSIALMENTE
Prendendo in considerazione un pilastro caricato assialmente e ricordando la formula generale dello sforzo normale:
Pilastro in cemento armato caricato assialmente e alto H |
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Sezione pilastro con centro di pressione nel baricentro della sezione e=0. Sezione totalmente reagente a compressione e diagramma delle tensioni s rettangolare |
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formula di verifica a sforzo normale semplice |
imponendo il caso limite in cui scmax=scam, possiamo scrivere
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formula di collaudo a sforzo normale semplice |
La sezione resistente del pilastro è formata dall’area del calcestruzzo e dall’area delle barre longitudinali. Riteniamo quindi che ciascuna area possa sopportare rispettivamente il carico
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carico che compete alla sezione di calcestruzzo |
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carico che compete alla sezione di acciaio |
per cui il carico totale che il pilastro può sopportare, sarà:
Dalla teoria generale del cemento armato, ricordiamo sa=nsc e, sostituendo, possiamo scrivere
mettendo in evidenza sc otteniamo
l’espressione tra parentesi tonda rappresenta la sezione ideale resistente
otteniamo, infine
PROGETTO PILASTRO IN CEMENTO ARMATO
La
normativa (D.M. 9 gennaio 1996 art. 5.3.4) stabilisce che “Nei pilastri
soggetti a compressione centrata od eccentrica deve essere disposta
un’armatura longitudinale di sezione non minore dello 0.8% della sezione di
conglomerato strettamente necessaria……..”, e quindi ponendo
in quanto sezioni minori di acciaio produrrebbero tensioni eccessive nel calcestruzzo, per effetto della quota di carico Pc di competenza.
Occorre anche, lo stabilisce sempre l’art. 5.3.4 della normativa, limitare la sezione di acciaio imponendo il non superamento di una precisa percentuale (6% della sezione effettiva di calcestruzzo). Quantità maggiori di sezione farebbero lavorare le armature metalliche a carichi elevati, con il pericolo dell’innesco del carico di punta nelle barre longitudinali.
Perciò l’area d’acciaio risulta:
sostituendo, abbiamo
mettendo in evidenza Ac
ottenendo, in conclusione
|
L’art. 3.1.3 del D.M. 1996 “Norme tecniche per il calcolo, l’esecuzione ed il collaudo delle strutture in conglomerato cementizio armato normale e precompresso” afferma che nei pilastri calcolati a compressione semplice la tensione ammissibile, espressa in N/mm2
assume il valore ridotto
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per s<25 cm |
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per s³25 cm |
con s dimensione trasversale minima della sezione. Possiamo quindi scrivere
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formula di progetto della sezione di calcestruzzo nei pilastri a staffe isolate |
In sede di progetto il tecnico stabilisce un valore di r variabile tra 0.8% e 1%
Nel caso di sezione quadrata, il lato risulta
da arrotondare ai 5 cm superiori, questo per uniformare e limitare la tipologia delle casserature.
Nel caso di sezione rettangolare, il tecnico solitamente stabilisce la dimensione l1 di un lato, determinando l’altro:
Rispettando l’art. 5.3.4 della normativa, la sezione dei tondini d’acciaio deve rispondere alle seguenti condizioni:
formula progetto area armature longitudinali |
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scegliendo tra i due il valore maggiore e procedendo alla scelta dei diametri e del numero delle barre metalliche |
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Aceff rappresenta l’area calcestruzzo effettivamente realizzata |
La scelta dell’armatura longitudinale deve rispettare le seguenti condizioni (art. 5.3.4):
- il diametro delle barre non deve essere minore di 12 mm (f12)
- il numero minimo di tondini deve essere almeno 4 per pilastri a sezione rettangolare o quadrata e 6 per quelli a sezione circolare (si consiglia la scelta di un numero pari, in modo da poter disporre simmetricamente i ferri nella sezione)
La staffatura, a sua volta, deve essere progettata secondo quanto dispone la normativa (art. 5.3.4):
- il diametro del ferro di staffa non deve essere minore di 6 mm (f6) e di ¼ del diametro massimo delle barre longitudinali
- l’interasse tra le staffe deve essere non maggiore di 15 volte il diametro minimo delle barre longitudinali, con un massimo di 25 cm
- le staffe devono essere chiuse e conformate in modo da contrastare efficacemente gli spostamenti dei ferri longitudinali verso l’esterno.
Abbiamo visto che le barre longitudinali devono avere diametro non minore di f12, ma ricordiamo che difficilmente in commercio risultano reperibili valori dispari di f; la scelta, quindi, deve ricadere su f12 - f14 - f16 - f18.
Per quanto riguarda il diametro di staffa, abbiamo visto che esso deve essere almeno f6, anche se in pratica si utilizza quasi sempre f8 per concordare con quanto, di solito, si sceglie per le staffature delle travi.
Determiniamo l'interasse di staffa:
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intervallo di staffe che non può superare il valore di 25 cm |
VERIFICA PILASTRO IN CEMENTO ARMATO
Dopo aver progettato la sezione di calcestruzzo, la sezione delle barre longitudinali e la staffatura, occorre procedere con le operazioni di verifica. Noti il carico agente sul pilastro, le dimensioni di progetto (sezione ed altezza), l’area dei ferri e il peso specifico del cemento armato (gc=25 KN/m3), occorre controllare che risulti:
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formula di verifica del calcestruzzo per i pilastri in cemento armato caricati assialmente |
Essendo Pp il peso proprio del pilastro, dato da:
Dopo aver determinato la tensione massima nel calcestruzzo, possiamo ricavare la tensione nell'acciaio:
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formula di verifica dell'acciaio per i pilastri in cemento armato caricati assialmente |
Volendo conoscere il carico massimo che può gravare sul pilastro, possiamo scrivere:
da cui otteniamo
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formula di collaudo che fornisce l’intensità massima del carico applicabile in sommità del pilastro |
PILASTRO IN CEMENTO ARMATO CARICATO DI PUNTA
Nel caso di pilastri snelli, cioè soggetti al fenomeno di instabilità flessionale (carico di punta), occorre maggiorare il carico agente di un coefficiente w dipendente, appunto, dalla snellezza l, per cui la formula di verifica diventa:
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formula di verifica per i pilastri snelli in cemento armato caricati assialmente |
Possiamo analizzare il problema mediante una semplice relazione empirica. Se risulta
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rapporto tra altezza pilastro e lato minimo della sezione |
in questo caso possiamo ritenere assente il carico di punta e, quindi, il coefficiente w risulta pari a 1.
Se invece risulta
quasi certamente abbiamo l’insorgenza del
fenomeno di carico di punta e, quindi, occorre determinare in maniera precisa
il valore della snellezza l.
Lo scienziato Eulero definisce la snellezza come
rapporto tra la lunghezza libera di inflessione del pilastro ed il raggio
minimo d’inerzia della sezione ideale resistente, cioè:
La lunghezza libera di inflessione lo, dipendente dal tipo di vincolo posti alle estremità del pilastro, alto H, assume i seguenti valori:
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pilastro incastrato alla base e libero in sommità |
|
pilastro incernierato alle due estremità |
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pilastro incastrato ad una estremità e incernierato all’altro |
|
pilastro incastrato alle due estremità |
Nella maggior
parte dei casi si ipotizza il vincolo di cerniera alle estremità del pilastro.
Il raggio minimo d’inerzia della sezione ideale resistente è dato da:
in cui Imin risulta essere il momento minimo d’inerzia, calcolato rispetto all’asse x-x o rispetto all’asse y-y, della sezione in esame.
Il fenomeno di instabilità insorge per snellezza l>50 e, in questo caso il coefficiente di amplificazione w viene determinato tramite la tabella 13.IX dell’art. 3.1.12.1 della normativa, che riportiamo:
snellezza l |
coefficiente w |
50 |
1.00 |
70 |
1.08 |
85 |
1.32 |
100 |
1.62 |
La normativa segnala che snellezze l maggiori di 100 sono da considerarsi con particolare cautela.
Si consiglia, perciò, di progettare il pilastro limitando la snellezza a valori non maggiori di 100.
Per determinare il coefficiente w in corrispondenza di un valore l compreso tra due valori della tabella, occorre procedere con la interpolazione:
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essendo l1 e l2 i valori tra i quali è compreso il valore della snellezza calcolata e w1 e w2 i corrispondenti coefficienti di amplificazione |
Determiniamo la tabella del coefficiente w utilizzando un foglio elettronico (Microsoft ExcelÓ) in cui inseriamo la formule dell'interpolazione.
Vediamo nella tabella seguente come viene inserita la formula nelle celle del foglio di lavoro, come vengono inseriti i riferimenti alle celle e come viene utilizzato l’operatore logico (SE) nidificato:
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A |
B |
1 |
snellezza l |
coefficiente w |
2 |
50 |
=SE(A2<=50;1;SE(A2<=70;1+(1,08-1)/(70-50)*(A2-50);SE(A2<=85; 1,08+(1,32-1,08)/(85-70)*(A2-70);SE(A2<=100;1,32+(1,62-,32)/(100-85)*(A2-5);"Diminuisci la snellezza")))) |
Ecco il risultato
TABELLA
COEFFICIENTI w
IN FUNZIONE DELLA SNELLEZZA l
snellezza l |
coefficiente w |
|
snellezza l |
coefficiente w |
50 |
1 |
|
76 |
1,176 |
51 |
1,004 |
|
77 |
1,192 |
52 |
1,008 |
|
78 |
1,208 |
53 |
1,012 |
|
79 |
1,224 |
54 |
1,016 |
|
80 |
1,24 |
55 |
1,02 |
|
81 |
1,256 |
56 |
1,024 |
|
82 |
1,272 |
57 |
1,028 |
|
83 |
1,288 |
58 |
1,032 |
|
84 |
1,304 |
59 |
1,036 |
|
85 |
1,32 |
60 |
1,04 |
|
86 |
1,34 |
61 |
1,044 |
|
87 |
1,36 |
62 |
1,048 |
|
88 |
1,38 |
63 |
1,052 |
|
89 |
1,4 |
64 |
1,056 |
|
90 |
1,42 |
65 |
1,06 |
|
91 |
1,44 |
66 |
1,064 |
|
92 |
1,46 |
67 |
1,068 |
|
93 |
1,48 |
68 |
1,072 |
|
94 |
1,5 |
69 |
1,076 |
|
95 |
1,52 |
70 |
1,08 |
|
96 |
1,54 |
71 |
1,096 |
|
97 |
1,56 |
72 |
1,112 |
|
98 |
1,58 |
73 |
1,128 |
|
99 |
1,6 |
74 |
1,144 |
|
100 |
1,62 |
75 |
1,16 |
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PILASTRI IN C. A. PRESSOINFLESSI
Questa sollecitazione è presente nelle strutture intelaiate dove, per la solidarietà tra pilastri e travi, il momento flettente alle estremità delle travi viene equilibrato da un momento M in sommità del pilastro, il quale risulta, quindi, soggetto a sforzo normale e momento flettente.
La sollecitazione di presso flessione, dovuta al carico assiale P e al momento flettente M, può essere ricondotto al caso di un carico eccentrico della distanza "e".
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Per quanto studiato sul trasporto di una forza da un punto di applicazione ad un altro, possiamo scrivere:
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oppure |
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PROGETTO PILASTRO PRESSOINFLESSO
Un pilastro pressoinflesso viene inizialmente dimensionato come se fosse semplicemente compresso, in quanto non è possibile esprimere una formula di progetto a pressoflessione, essendo incognite sia l'area della sezione Ac del calcestruzzo sia il modulo di resistenza Wy. Utilizziamo, quindi, le formule già viste nel progetto a sforzo normale semplice:
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formula
progetto sezione calcestruzzo |
formula
progetto armatura longitudinale |
VERIFICA PILASTRO PRESSOINFLESSO
Determinate le dimensioni della sezione del pilastro, le sezioni dei ferri longitudinali e l’armatura di staffa, si procede con le formule di verifica a presso flessione:
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formula generale della pressoflessione |
Conoscendo l'eccentricità del carico, occorre confrontarla con il nocciolo centrale d'inerzia della sezione ideale del pilastro in modo da valutare se il centro di pressione C cade all'interno, sul bordo o all'esterno del nocciolo centrale d'inerzia.
centro di pressione interno al nocciolo d’inerzia e<k. Sezione totalmente reagente a compressione e diagramma delle tensioni s trapezoidale |
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centro di pressione sul bordo del nocciolo d’inerzia e=k. Sezione totalmente reagente a compressione e diagramma delle tensioni s triangolare |
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centro di pressione esterno al nocciolo d’inerzia e>k. Sezione in parte reagente a compressione e diagramma delle tensioni s parzializzato |
Determiniamo innanzi tutto la semidiagonale del nocciolo centrale d’inerzia, pari a K, in modo da poterla confrontare con l’eccentricità di progetto “e” e, quindi, individuare in quale delle tre condizioni ricadiamo.
Ricordiamo prima la definizione di nocciolo centrale d’inerzia:
“Il nocciolo centrale d’inerzia di una sezione è quella figura racchiusa da una linea, luogo geometrico dei centri relativi rispetto a tutti gli assi tangenti la sezione”.
Analiticamente si ricava la seguente relazione:
Sezione pilastro in cemento armato con piccola eccentricità |
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cioè, il prodotto della distanza e per la distanza x è uguale al raggio d’inerzia al quadrato, rispetto all’asse di flessione, in cui:
- e distanza tra il centro di pressione C e il baricentro della sezione
- x distanza tra l’asse neutro n-n e l’asse baricentrico y
- il segno meno indica che le distanza x ed e stanno da parti opposte rispetto all’asse baricentrico y
- i2y è il valore del raggio d’inerzia della sezione ideale reagentedel pilastro rispetto all’asse di flessione y.
Per quanto detto nella definizione del nocciolo centrale d’inerzia, nel caso in cui e=k deve senz’altro risultare x=b/2, per cui sostituendo nella precedente relazione, abbiamo
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da cui |
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Ricaviamo, ora, il raggio
d’inerzia iy2
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sostituendo |
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ponendo |
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ed essendo |
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mettendo in evidenza ab |
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e semplificando |
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sostituendo nell’espressione di K, abbiamo
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mettendo in evidenza b al numeratore dell’espressione |
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moltiplicando e dividendo per 6b il secondo addendo al numeratore, si ha
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mettendo in evidenza |
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Quindi, possiamo scrivere
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lunghezza semidiagonale nocciolo centrale d’inerzia |
Il secondo fattore è certamente maggiore dell’unità, ciò significa che la semidiagonale del nocciolo centrale della sezione ideale reagente risulta maggiore del valore b/6, come avviene nella sezione rettangolare omogenea.
Indicativamente, nel caso in cui r=0,8% e n=15, possiamo ritenere K=b/5.3
Per semplicità, analizziamo solamente il caso di presso flessione con piccola eccentricità, cioè con il centro di pressione C interno o, al limite, sul bordo del nocciolo centrale d’inerzia della sezione (e<=k).
La sezione risulta interamente reagente a compressione dando origine alle tensioni scmax e scmin così espresse:
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tensione massima a compressione nel calcestruzzo |
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|||
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tensione minima a compressione nel calcestruzzo |
|||
in cui |
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deve, inoltre, risultare che la media delle tensioni nel calcestruzzo non superi la tensione ammissibile ridotta a semplice compressione, cioè:
PILASTRO PRESSOINFLESSO A SEZIONE PARZIALIZZATA
pressoflessione con centro di pressione esterno al nocciolo centrale d’inerzia e>k - a primo lato della sezione - b secondo lato della sezione - Aac sezione acciaio compresso - Aat sezione acciaio teso - scmax tensione max cls compresso - scmin tensione max cls teso - t distanza dell’asse n-n dal lembo teso |
Nel caso in cui e>k l’asse neutro risulta interno alla sezione che risulta, quindi, parzializzata, vale a dire in parte compressa e in parte minore tesa. A questo proposito occorre richiamare l’art. 3.1.10 della Normativa:
“Se la posizione del centro di sollecitazione nei pilastri soggetti a presso flessione è tale che, pur essendo esterno al nocciolo centrale d’inerzia della sezione di conglomerato interamente reagente, la forza normale dia luogo a trazioni minori di 1/5 della tensione al lembo compresso, la sezione può essere verificata come interamente reagente purché la sezione d’armatura in zona tesa sia idonea ad assorbire la risultante della trazione alla tensione convenzionale di 175 N/mm2 per barre ad aderenza migliorata”.
È possibile, cioè, assumere nei calcoli la sezione Ac come interamente reagente. La formula di verifica a presso flessione è ancora valida:
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tensione massima nel lembo compresso del calcestruzzo |
|
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tensione massima nel lembo teso del calcestruzzo |
Queste formule sono valide se risulta, in valore assoluto:
Occorre, però, che la risultante degli sforzi di trazione Rt sia integralmente assorbita dalle sezioni di armatura Aat presente nella zona tesa in modo che
Vediamo come determinare la risultante degli sforzi di trazione Rt. Determiniamo la distanza t tra l’asse neutro e il lembo teso della sezione, scrivendo una relazione tra i due triangoli simili ABN e CDN del diagramma delle tensioni:
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e sostituendo |
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applicando la proprietà del comporre |
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semplificando |
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distanza dell’asse neutro dal lembo teso della sezione |
La risultante Rt è rappresentata dal prisma triangolare di base CDN, con profondità pari al lato a della sezione
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risultante degli sforzi di trazione nella sezione di calcestruzzo |
Possiamo ora controllare se lo sforzo di trazione nelle barre di armatura tesa risulta non superiore alla tensione convenzionale, imposta dalla Normativa pari a 175 N/mm2
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verifica nell’acciaio teso |
Nel caso in cui quest’ultima relazione non sia verificata, occorre aumentare la sezione delle armature in zona tesa.
In questa
sede non prendiamo in considerazione il caso di pressoflessione con grande
eccentricità, che produce tensioni di trazione nel calcestruzzo superiori a 1/5
della tensione di compressione nel lembo compresso, cioè
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pressoflessione con grande eccentricità |
VERIFICA PILASTRO PRESSOINFLESSO CON CARICO
DI PUNTA
Nel caso in cui il pilastro abbia una snellezza l>50, occorre verificare con la seguente formula:
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Tensione massima a compressione nel calcestruzzo di un pilastro pressoinflesso soggetto a carico di punta. |
|
|
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Tensione minima a compressione nel calcestruzzo di un pilastro pressoinflesso soggetto a carico di punta. |
in cui
- w rappresenta il coefficiente di amplificazione del carico e viene determinato utilizzando la tabella 13.IX delle Norme di calcolo, come già visto nei pilastri caricati assialmente e soggetti a carico di punta:
- il coefficiente c, che moltiplica il momento flettente M, è dato da
dove N rappresenta il carico agente P e NE rappresenta il carico critico euleriano determinato per la snellezza relativa al piano di flessione e valutato per un modulo di elasticità convenzionale E*=0.4Ec.
Ricordiamo l’espressione del carico euleriano:
dove l0 rappresenta la
lunghezza libera d’inflessione, che dipende sia dall’altezza del pilastro sia
dai vincoli d’estremità. Nel caso più generale, ipotizzando vincolo a cerniera
alle due estremità del pilastro, si pone l0=l.