PILASTRI IN CEMENTO ARMATO A STAFFE ISOLATE

 

Strutture in cemento armato

Trave ad armatura semplice

Trave ad armatura doppia

 

PILASTRI A SEZIONE RETTANGOLARE E CARICO ASSIALE

Formule di progetto

Formule di verifica

Pilastro con carico di punta

Tabella coefficiente w

PILASTRI A SEZIONE RETTANGOLARE E CARICO ECCENTRICO

Formule di progetto

Formule di verifica

Sezione parzializzata

Pilastro con carico di punta

 

 

Sezione pilastro in cemento armato a sezione quadrata o rettangolare.

Dati:

-         Rck  classe del calcestruzzo

-         x-x;y-y  assi principali d'inerzia

-         P  carico agente in sommità

-         H  altezza del pilastro

-         gc  peso specifico calcestruzzo armato

-         l1 - l2  lati del pilastro

 

I pilastri in cemento armato sono prevalentemente compressi o pressoinflessi, pertanto le barre dell'armatura longitudinale, solitamente di diametro f12 - f14, per effetto del carico di punta, tendono a "spanciare" verso l'esterno fessurando lo strato di calcestruzzo che ricopre i tondini d'acciaio. Le staffe hanno, quindi, la funzione di contrastare questo spostamento, lavorando a trazione, e devono avere una forma poligonale chiusa.

PILASTRO IN C. A. CARICATO ASSIALMENTE

Prendendo in considerazione un pilastro caricato assialmente e ricordando la formula generale dello sforzo normale:

Pilastro in cemento armato caricato assialmente e alto H

Sezione pilastro con centro di pressione nel baricentro della sezione e=0. Sezione totalmente reagente a compressione e diagramma delle tensioni s rettangolare

 

formula di verifica a sforzo normale semplice

imponendo il caso limite in cui scmax=scam, possiamo scrivere

formula di collaudo a sforzo normale semplice

La sezione resistente del pilastro è formata dall’area del calcestruzzo e dall’area delle barre longitudinali. Riteniamo quindi che ciascuna area possa sopportare rispettivamente il carico

carico che compete alla sezione di calcestruzzo

carico che compete alla sezione di acciaio

per cui il carico totale che il pilastro può sopportare, sarà:

Dalla teoria generale del cemento armato, ricordiamo sa=nsc e, sostituendo, possiamo scrivere

mettendo in evidenza sc otteniamo

l’espressione tra parentesi tonda rappresenta la sezione ideale resistente

otteniamo, infine

PROGETTO PILASTRO IN CEMENTO ARMATO

La normativa (D.M. 9 gennaio 1996 art. 5.3.4) stabilisce che “Nei pilastri soggetti a compressione centrata od eccentrica deve essere disposta un’armatura longitudinale di sezione non minore dello 0.8% della sezione di conglomerato strettamente necessaria……..”, e quindi ponendo

in quanto sezioni minori di acciaio produrrebbero tensioni eccessive nel calcestruzzo, per effetto della quota di carico Pc di competenza.

Occorre anche, lo stabilisce sempre l’art. 5.3.4 della normativa, limitare la sezione di acciaio imponendo il non superamento di una precisa percentuale (6% della sezione effettiva di calcestruzzo). Quantità maggiori di sezione farebbero lavorare le armature metalliche a carichi elevati, con il pericolo dell’innesco del carico di punta nelle barre longitudinali.

Perciò l’area d’acciaio risulta:

sostituendo, abbiamo

mettendo in evidenza Ac

ottenendo, in conclusione

L’art. 3.1.3 del D.M. 1996 “Norme tecniche per il calcolo, l’esecuzione ed il collaudo delle strutture in conglomerato cementizio armato normale e precompresso” afferma che nei pilastri calcolati a compressione semplice la tensione ammissibile, espressa in N/mm2

assume il valore ridotto

per s<25 cm

per s³25 cm

con s dimensione trasversale minima della sezione. Possiamo quindi scrivere

formula di progetto della sezione di calcestruzzo nei pilastri a staffe isolate

In sede di progetto il tecnico stabilisce un valore di r variabile tra 0.8% e 1%

Nel caso di sezione quadrata, il lato risulta

da arrotondare ai 5 cm superiori, questo per uniformare e limitare la tipologia delle casserature.

Nel caso di sezione rettangolare, il tecnico solitamente stabilisce la dimensione l1 di un lato, determinando l’altro:

Rispettando l’art. 5.3.4 della normativa, la sezione dei tondini d’acciaio deve rispondere alle seguenti condizioni:

formula progetto area armature longitudinali

scegliendo tra i due il valore maggiore e procedendo alla scelta dei diametri e del numero delle barre metalliche

Aceff rappresenta l’area calcestruzzo effettivamente realizzata

La scelta dell’armatura longitudinale deve rispettare le seguenti condizioni (art. 5.3.4):

-         il diametro delle barre non deve essere minore di 12 mm (f12)

-         il numero minimo di tondini deve essere almeno 4 per pilastri a sezione rettangolare o quadrata e 6 per quelli a sezione circolare (si consiglia la scelta di un numero pari, in modo da poter disporre simmetricamente i ferri nella sezione)

La staffatura, a sua volta, deve essere progettata secondo quanto dispone la normativa (art. 5.3.4):

-         il diametro del ferro di staffa non deve essere minore di 6 mm (f6) e di ¼ del diametro massimo delle barre longitudinali

-         l’interasse tra le staffe deve essere non maggiore di 15 volte il diametro minimo delle barre longitudinali, con un massimo di 25 cm

-         le staffe devono essere chiuse e conformate in modo da contrastare efficacemente gli spostamenti dei ferri longitudinali verso l’esterno.

Abbiamo visto che le barre longitudinali devono avere diametro non minore di f12, ma ricordiamo che difficilmente in commercio risultano reperibili valori dispari di f; la scelta, quindi, deve ricadere su f12 - f14 - f16 - f18.

Per quanto riguarda il diametro di staffa, abbiamo visto che esso deve essere almeno f6, anche se in pratica si utilizza quasi sempre f8 per concordare con quanto, di solito, si sceglie per le staffature delle travi.

Determiniamo l'interasse di staffa:

intervallo di staffe che non può superare il valore di 25 cm

 

VERIFICA PILASTRO IN CEMENTO ARMATO

Dopo aver progettato la sezione di calcestruzzo, la sezione delle barre longitudinali e la staffatura, occorre procedere con le operazioni di verifica. Noti il carico agente sul pilastro, le dimensioni di progetto (sezione ed altezza), l’area dei ferri e il peso specifico del cemento armato (gc=25 KN/m3), occorre controllare che risulti:

formula di verifica del calcestruzzo per i pilastri in cemento armato caricati assialmente

Essendo Pp il peso proprio del pilastro, dato da:

Dopo aver determinato la tensione massima nel calcestruzzo, possiamo ricavare la tensione nell'acciaio:

formula di verifica dell'acciaio per i pilastri in cemento armato caricati assialmente

 

Volendo conoscere il carico massimo che può gravare sul pilastro, possiamo scrivere:

da cui otteniamo

formula di collaudo che fornisce  l’intensità massima del carico applicabile in sommità del pilastro

 

PILASTRO IN CEMENTO ARMATO CARICATO DI PUNTA

Nel caso di pilastri snelli, cioè soggetti al fenomeno di instabilità flessionale (carico di punta), occorre maggiorare il carico agente di un coefficiente w dipendente, appunto, dalla snellezza l, per cui la formula di verifica diventa:

formula di verifica per i pilastri snelli in cemento armato caricati assialmente

Possiamo analizzare il problema mediante una semplice relazione empirica. Se risulta

rapporto tra altezza pilastro e lato minimo della sezione

in questo caso possiamo ritenere assente il carico di punta e, quindi, il coefficiente w risulta pari a 1.

Se invece risulta

quasi certamente abbiamo l’insorgenza del fenomeno di carico di punta e, quindi, occorre determinare in maniera precisa il valore della snellezza l.

Lo scienziato Eulero definisce la snellezza come rapporto tra la lunghezza libera di inflessione del pilastro ed il raggio minimo d’inerzia della sezione ideale resistente, cioè:

La lunghezza libera di inflessione lo, dipendente dal tipo di vincolo posti alle estremità del pilastro, alto H, assume i seguenti valori:

pilastro incastrato alla base e libero in sommità

pilastro incernierato alle due estremità

pilastro incastrato ad una estremità e incernierato all’altro

pilastro incastrato alle due estremità

Nella maggior parte dei casi si ipotizza il vincolo di cerniera alle estremità del pilastro.

Il raggio minimo d’inerzia della sezione ideale resistente è dato da:

in cui Imin risulta essere il momento minimo d’inerzia, calcolato rispetto all’asse x-x o rispetto all’asse y-y, della sezione in esame.

Il fenomeno di instabilità insorge per snellezza l>50 e, in questo caso il coefficiente di amplificazione w viene determinato tramite la tabella 13.IX dell’art. 3.1.12.1 della normativa, che riportiamo:

snellezza l

coefficiente w

50

1.00

70

1.08

85

1.32

100

1.62

La normativa segnala che snellezze l maggiori di 100 sono da considerarsi con particolare cautela.

Si consiglia, perciò, di progettare il pilastro limitando la snellezza a valori non maggiori di 100.

Per determinare il coefficiente w in corrispondenza di un valore l compreso tra due valori della tabella, occorre procedere con la interpolazione:

essendo l1 e l2 i valori tra i quali è compreso il valore della snellezza calcolata e w1 e w2 i corrispondenti coefficienti di amplificazione

 

TABELLA COEFFICIENTE w

Determiniamo la tabella del coefficiente w utilizzando un foglio elettronico (Microsoft ExcelÓ) in cui inseriamo la formule dell'interpolazione.

Vediamo nella tabella seguente come viene inserita la formula nelle celle del foglio di lavoro, come vengono inseriti i riferimenti alle celle e come viene utilizzato l’operatore logico (SE) nidificato:

 

 

A

B

1

snellezza l

coefficiente w

2

50

=SE(A2<=50;1;SE(A2<=70;1+(1,08-1)/(70-50)*(A2-50);SE(A2<=85; 1,08+(1,32-1,08)/(85-70)*(A2-70);SE(A2<=100;1,32+(1,62-,32)/(100-85)*(A2-5);"Diminuisci la snellezza"))))

Ecco il risultato

 

TABELLA COEFFICIENTI w IN FUNZIONE DELLA SNELLEZZA l

  

snellezza l

coefficiente w

 

snellezza l

coefficiente w

50

1

 

76

1,176

51

1,004

 

77

1,192

52

1,008

 

78

1,208

53

1,012

 

79

1,224

54

1,016

 

80

1,24

55

1,02

 

81

1,256

56

1,024

 

82

1,272

57

1,028

 

83

1,288

58

1,032

 

84

1,304

59

1,036

 

85

1,32

60

1,04

 

86

1,34

61

1,044

 

87

1,36

62

1,048

 

88

1,38

63

1,052

 

89

1,4

64

1,056

 

90

1,42

65

1,06

 

91

1,44

66

1,064

 

92

1,46

67

1,068

 

93

1,48

68

1,072

 

94

1,5

69

1,076

 

95

1,52

70

1,08

 

96

1,54

71

1,096

 

97

1,56

72

1,112

 

98

1,58

73

1,128

 

99

1,6

74

1,144

 

100

1,62

75

1,16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PILASTRI IN C. A. PRESSOINFLESSI

Questa sollecitazione è presente nelle strutture intelaiate dove, per la solidarietà tra pilastri e travi, il momento flettente alle estremità delle travi viene equilibrato da un momento M in sommità del pilastro, il quale risulta, quindi, soggetto a sforzo normale e momento flettente.

La sollecitazione di presso flessione, dovuta al carico assiale P e al momento flettente M, può essere ricondotto al caso di un carico eccentrico della distanza "e".

 

 

 

Per quanto studiato sul trasporto di una forza da un punto di applicazione ad un altro, possiamo scrivere:

oppure

PROGETTO PILASTRO PRESSOINFLESSO

Un pilastro pressoinflesso viene inizialmente dimensionato come se fosse semplicemente compresso, in quanto non è possibile esprimere una formula di progetto a pressoflessione, essendo incognite sia l'area della sezione Ac del calcestruzzo sia il modulo di resistenza Wy. Utilizziamo, quindi, le formule già viste nel progetto a sforzo normale semplice:

formula progetto sezione calcestruzzo

formula progetto armatura longitudinale

VERIFICA PILASTRO PRESSOINFLESSO

Determinate le dimensioni della sezione del pilastro, le sezioni dei ferri longitudinali e l’armatura di staffa, si procede con le formule di verifica a presso flessione:

formula generale della pressoflessione

Conoscendo l'eccentricità del carico, occorre confrontarla con il nocciolo centrale d'inerzia della sezione ideale del pilastro in modo da valutare se il centro di pressione C cade all'interno, sul bordo o all'esterno del nocciolo centrale d'inerzia.

centro di pressione interno al nocciolo d’inerzia e<k. Sezione totalmente reagente a compressione e diagramma delle tensioni s trapezoidale

centro di pressione sul bordo del nocciolo d’inerzia e=k. Sezione totalmente reagente a compressione e diagramma delle tensioni s triangolare

centro di pressione esterno al nocciolo d’inerzia e>k. Sezione in parte reagente a compressione e diagramma delle tensioni s parzializzato

 

Determiniamo innanzi tutto la semidiagonale del nocciolo centrale d’inerzia, pari a K, in modo da poterla confrontare con l’eccentricità di progetto “e” e, quindi, individuare in quale delle tre condizioni ricadiamo.

 

Ricordiamo prima la definizione di nocciolo centrale d’inerzia:

Il nocciolo centrale d’inerzia di una sezione è quella figura racchiusa da una linea, luogo geometrico dei centri relativi rispetto a tutti gli assi tangenti la sezione”.

Analiticamente si ricava la seguente relazione:

Sezione pilastro in cemento armato con piccola eccentricità

 

 

cioè, il prodotto della distanza e per la distanza x è uguale al raggio d’inerzia al quadrato, rispetto all’asse di flessione, in cui:

-         e distanza tra il centro di pressione C e il baricentro della sezione

-         x distanza tra l’asse neutro n-n e l’asse baricentrico y

-         il segno meno indica che le distanza x ed e stanno da parti opposte rispetto all’asse baricentrico y

-         i2y è il valore del raggio d’inerzia della sezione ideale reagentedel pilastro rispetto all’asse di flessione y.

Per quanto detto nella definizione del nocciolo centrale d’inerzia, nel caso in cui e=k deve senz’altro risultare x=b/2, per cui sostituendo nella precedente relazione, abbiamo

da cui

Ricaviamo, ora, il raggio d’inerzia iy2

sostituendo

 

ponendo

ed essendo

 

mettendo in evidenza ab

 

 

e semplificando

 

sostituendo nell’espressione di K, abbiamo

mettendo in evidenza b al numeratore dell’espressione

 

 

moltiplicando e dividendo per 6b il secondo addendo al numeratore, si ha

mettendo in evidenza

Quindi, possiamo scrivere

lunghezza semidiagonale nocciolo centrale d’inerzia

Il secondo fattore è certamente maggiore dell’unità, ciò significa che la semidiagonale del nocciolo centrale della sezione ideale reagente risulta maggiore del valore b/6, come avviene nella sezione rettangolare omogenea.

Indicativamente, nel caso in cui r=0,8% e n=15, possiamo ritenere K=b/5.3

Per semplicità, analizziamo solamente il caso di presso flessione con piccola eccentricità, cioè con il centro di pressione C interno o, al limite, sul bordo del nocciolo centrale d’inerzia della sezione (e<=k).

La sezione risulta interamente reagente a compressione dando origine alle tensioni scmax e scmin così espresse:

tensione massima a compressione nel calcestruzzo

 

 

tensione minima a compressione nel calcestruzzo

in cui

 

deve, inoltre, risultare che la media delle tensioni nel calcestruzzo non superi la tensione ammissibile ridotta a semplice compressione, cioè:

PILASTRO PRESSOINFLESSO A SEZIONE PARZIALIZZATA

pressoflessione con centro di pressione esterno al nocciolo centrale d’inerzia e>k

-   a  primo lato della sezione

-   b  secondo lato della sezione

-   Aac    sezione acciaio compresso

-   Aat    sezione acciaio teso

-   scmax  tensione max cls compresso

-   scmin  tensione max cls teso

-   t  distanza dell’asse n-n dal lembo teso

Nel caso in cui e>k l’asse neutro risulta interno alla sezione che risulta, quindi, parzializzata, vale a dire in parte compressa e in parte minore tesa. A questo proposito occorre richiamare l’art. 3.1.10 della Normativa:

“Se la posizione del centro di sollecitazione nei pilastri soggetti a presso flessione è tale che, pur essendo esterno al nocciolo centrale d’inerzia della sezione di conglomerato interamente reagente, la forza normale dia luogo a trazioni minori di 1/5 della tensione al lembo compresso, la sezione può essere verificata come interamente reagente purché la sezione d’armatura in zona tesa sia idonea ad assorbire la risultante della trazione alla tensione convenzionale di 175 N/mm2 per barre ad aderenza migliorata”.

È possibile, cioè, assumere nei calcoli la sezione Ac come interamente reagente. La formula di verifica a presso flessione è ancora valida:

tensione massima nel lembo compresso del calcestruzzo

 

 

tensione massima nel lembo teso del calcestruzzo

Queste formule sono valide se risulta, in valore assoluto:

Occorre, però, che la risultante degli sforzi di trazione Rt sia integralmente assorbita dalle sezioni di armatura Aat presente nella zona tesa in modo che

 

Vediamo come determinare la risultante degli sforzi di trazione Rt. Determiniamo la distanza t tra l’asse neutro e il lembo teso della sezione, scrivendo una relazione tra i due triangoli simili ABN e CDN del diagramma delle tensioni:

e sostituendo

 

applicando la proprietà del comporre

 

semplificando

 

distanza dell’asse neutro dal lembo teso della sezione

 

La risultante Rt è rappresentata dal prisma triangolare di base CDN, con profondità pari al lato a della sezione

risultante degli sforzi di trazione nella sezione di calcestruzzo

 

Possiamo ora controllare se lo sforzo di trazione nelle barre di armatura tesa risulta non superiore alla tensione convenzionale, imposta dalla Normativa pari a 175 N/mm2

verifica nell’acciaio teso

 

Nel caso in cui quest’ultima relazione non sia verificata, occorre aumentare la sezione delle armature in zona tesa.

 

In questa sede non prendiamo in considerazione il caso di pressoflessione con grande eccentricità, che produce tensioni di trazione nel calcestruzzo superiori a 1/5 della tensione di compressione nel lembo compresso, cioè

 

pressoflessione con grande eccentricità

VERIFICA PILASTRO PRESSOINFLESSO CON CARICO DI PUNTA

Nel caso in cui il pilastro abbia una snellezza l>50, occorre verificare con la seguente formula:

Tensione massima a compressione nel calcestruzzo di un pilastro pressoinflesso soggetto a carico di punta.

 

 

Tensione minima a compressione nel calcestruzzo di un pilastro pressoinflesso soggetto a carico di punta.

in cui

-         w rappresenta il coefficiente di amplificazione del carico e viene determinato utilizzando la tabella 13.IX delle Norme di calcolo, come già visto nei pilastri caricati assialmente e soggetti a carico di punta:

-         il coefficiente c, che moltiplica il momento flettente M, è dato da

dove N rappresenta il carico agente P e NE rappresenta il carico critico euleriano determinato per la snellezza relativa al piano di flessione e valutato per un modulo di elasticità convenzionale E*=0.4Ec.

Ricordiamo l’espressione del carico euleriano:

dove l0 rappresenta la lunghezza libera d’inflessione, che dipende sia dall’altezza del pilastro sia dai vincoli d’estremità. Nel caso più generale, ipotizzando vincolo a cerniera alle due estremità del pilastro, si pone l0=l.