PROGETTO STRUTTURE INFLESSE IN CEMENTO ARMATO

Strutture in cemento armato

Pilastri a staffatura semplice

Trave ad armatura doppia

TRAVI A SEZIONE RETTANGOLARE ED ARMATURA SEMPLICE
Formule di verifica	Formule di progetto	Coefficienti s-r-t	Esempio tabella r-t	Verifica al taglio

Il progetto della sezione di una trave in cemento armato consiste nella determinazione delle dimensioni geometriche e dell’area dei tondini di ferro, essendo noto il momento flettente agente sulla sezione e avendo stabilito sia le caratteristiche dei materiali sia la percentuale di armatura compressa rispetto a quella tesa.

Definiamo come sezione ideale resistente la somma della sezione di calcestruzzo compresso con le aree delle armature tese e compresse, rese omogenee mediante l’uso del coefficiente n.

Armatura semplice (consideriamo solamente l’acciaio in zona tesa)

DETERMINAZIONE ASSE NEUTRO

Assegnati: classe del calcestruzzo R_ck

Tipo di ferro FeB__k

b larghezza della trave

% armatura tesa m =Acciaio compresso/Acciaio teso

rapporto a=h’/h

Sezione di una trave in cemento armato sottoposta ad un momento flettente positivo M. Individuazione della posizione dell’asse neutro (separa la zona compressa da quella tesa), e grafico dell’andamento lineare delle tensioni. Rc: Risultante tensioni di compressione Rt: Risultante tensioni di trazione z: braccio della coppia interna

Dal diagramma di ripartizione delle tensioni, per la similitudine dei triangoli, abbiamo:

applicando la proprietà del comporre:

semplificando y all'interno della parentesi tonda, abbiamo

moltiplicando tra loro gli estremi e i medi della proporzione si ha:

ponendo

coefficiente dipendente esclusivamente delle caratteristiche dei materiali assunti in sede di progetto

otteniamo, infine

distanza dell’asse neutro dal lembo compresso

FORMULE DI VERIFICA NEL CALCESTRUZZO E NELL’ACCIAIO

La formula, precedentemente determinata, fornisce la distanza dell’asse neutro in funzione delle sole tensioni nel calcestruzzo e nell’acciaio. Rideterminiamola, considerando anche le dimensioni geometriche della sezione di calcestruzzo e le sezioni di acciaio.

Nella flessione semplice retta l’asse neutro passa per il baricentro della sezione ideale resistente, e quindi risulta nullo il momento statico della sezione resistente rispetto allo stesso asse:

da cui

risolvendo l’equazione di secondo grado, prendendo il solo valore positivo

distanza dell’asse neutro dal lembo compresso in funzione delle dimensioni geometriche della sezione di calcestruzzo e la sezione di acciaio teso

Determiniamo ora le formule di verifica del calcestruzzo e dell’acciaio, imponendo la condizione di equilibrio alla rotazione di una generica sezione, soggetta ad un momento flettente esterno pari a M.

La risultante delle tensioni di compressione nel calcestruzzo R_c è rappresentata dal volume del prisma triangolare del diagramma delle tensioni nella sezione di calcestruzzo:

La risultante delle tensioni di trazione nell’acciaio R_t è data da:

Il braccio della coppia interna R_c e R_t vale

Imponendo l’equilibrio alla rotazione, cioè M_i = M_e = M e prendendo ora in esame la risultante di compressione si ha:

da cui

formula di verifica del calcestruzzo compresso in una sezione rettangolare ad armatura semplice

Prendendo in esame la risultante di trazione abbiamo:

da cui

formula di verifica dell’acciaio teso in una sezione rettangolare ad armatura semplice

FORMULE DI PROGETTO NEL CALCESTRUZZO E NELL’ACCIAIO E DETERMINAZIONE DEI COEFFICIENTI r – t

La formula di progetto della sezione in calcestruzzo ed il coefficiente r si ottengono partendo dalla formula di verifica del calcestruzzo compresso:

sostituendo ad y il valore sh e imponendo che la tensione s_c possa uguagliare s_cam, cioè

moltiplicando numeratore e denominatore per 3 e mettendo in evidenza h

e quindi

da cui

applicando le regole sui radicali, possiamo scrivere

il primo radicale lo poniamo pari al coefficiente r ed abbiamo

coefficiente dipendente esclusivamente dalle caratteristiche dei materiali assunti in sede di progetto

formula di progetto dell’altezza utile di una trave a sezione rettangolare ed armatura semplice

Nello stesso modo, partendo dalla formula di verifica dell’acciaio teso, otteniamo la formula di progetto dell’acciaio teso ed il coefficiente t.

sostituendo ad y il valore sh ed imponendo che la tensione s_a possa uguagliare il valores_aam, cioè

mettendo in evidenza h otteniamo

sostituendo ad h il valore, precedentemente determinato,

otteniamo

da cui

ponendo

coefficiente dipendente esclusivamente dalle caratteristiche dei materiali assunti in sede di progetto

otteniamo

moltiplicando numeratore e denominatore per

portando M dentro radice e semplificando, si ottiene:

formula di progetto dell’acciaio teso in una trave a sezione rettangolare ed armatura semplice

FORMULE PER IL DIMENSIONAMENTO
Altezza h sezione trave (cm)	Sezione acciaio teso (cm^2)

ESEMPIO DI CALCOLO DEI COEFFICIENTI s – r – t PER ARMATURA SEMPLICE

Determiniamo le tabelle dei coefficienti s – r – t utilizzando un foglio elettronico (Microsoft ExcelÓ) in cui inseriamo le formule dei suddetti parametri. Stabiliamo prima i dati dei materiali:

DATI
Rck	FeB	scam (N/mm^2)	saam (N/mm^2)	m	n
30	44	9.75	255	0	15

Vediamo nella tabella seguente come vengono inserite le formule nelle celle del foglio di lavoro, come vengono inseriti i riferimenti (relativi e assoluti) alle celle e come viene utilizzato l’operatore logico (SE)

Formule per il calcolo dei coefficienti
	A	B	C	D	E	F
1	Rck	FeB	scam (N/mm^2)	saam (N/mm^2)	m	n
2	30	44	=6+(A2-15)/4	=SE(B2=44;255;SE(B2=38;215; "Inserisci il valore di 38 - 44"))	0	15
3
4	sc (N/mm^2)		s (N/mm^2)	r (N/mm^2)		t (N/mm^2)
5	valore		=$F$2*A5/($D$2+$F$2*A5)	=RADQ(6/(A5*(3-C5)*C5))		=C5*D5*A5/(2*$D$2)

Calcoliamo i valori di s – r – t, sia in N/mm² e sia in Kg/cm², facendo variare la s_c da 1 a 11 N/mm². Ecco il risultato

TABELLA s - r - t PER R_CK 30 e FeB44k – ARMATURA SEMPLICE (m=0)

	A	B	C	D	E	F	G	H
1	Rck	FeB	scam (N/mm^2)	saam (N/mm^2)	scam (Kg/cm^2)	saam (Kg/cm^2)	m	n
2	30	44	9,75	255	97,5	2600	0	15
3	sc (N/mm^2)	sc (Kg/cm^2)	s (N/mm^2)	s (Kg/cm^2)	r (N/mm^2)	t (N/mm^2)	r (Kg/cm^2)	t (Kg/cm^2)
4	1,0	10	0,055555556	0,05455233	6,05633926	0,000659732	1,9323835	0,0002028
5	1,1	11	0,060773481	0,05968198	5,52593407	0,00072434	1,7630332	0,0002226
6	1,2	12	0,065934066	0,06475628	5,08387822	0,000788708	1,6218922	0,0002424
7	1,3	13	0,071038251	0,0697761	4,70978376	0,000852838	1,5024506	0,0002621
8	1,4	14	0,076086957	0,07474232	4,38908786	0,000916732	1,4000588	0,0002818
9	1,5	15	0,081081081	0,07965579	4,11111111	0,000980392	1,3113067	0,0003013
10	1,6	16	0,086021505	0,08451736	3,86784395	0,00104382	1,2336372	0,0003209
11	1,7	17	0,090909091	0,08932783	3,6531614	0,001107019	1,1650944	0,0003403
12	1,8	18	0,095744681	0,09408802	3,46229962	0,001169989	1,1041574	0,0003597
13	1,9	19	0,100529101	0,0987987	3,29149765	0,001232732	1,0496253	0,000379
14	2,0	20	0,105263158	0,10346064	3,13774673	0,001295251	1,0005374	0,0003982
15	2,1	21	0,109947644	0,1080746	2,9986112	0,001357548	0,9561161	0,0004174
16	2,2	22	0,114583333	0,11264131	2,87209824	0,001419624	0,915725	0,0004365
17	2,3	23	0,119170984	0,1171615	2,7565616	0,00148148	0,8788385	0,0004555
18	2,4	24	0,12371134	0,12163587	2,65062942	0,00154312	0,8450187	0,0004745
19	2,5	25	0,128205128	0,12606511	2,55314932	0,001604543	0,8138975	0,0004934
20	2,6	26	0,132653061	0,13044991	2,4631462	0,001665753	0,7851636	0,0005122
21	2,7	27	0,137055838	0,13479092	2,37978945	0,001726751	0,7585518	0,000531
22	2,8	28	0,141414141	0,13908881	2,30236709	0,001787538	0,7338348	0,0005497
23	2,9	29	0,145728643	0,14334421	2,23026534	0,001848116	0,7108166	0,0005683
24	3,0	30	0,15	0,14755775	2,16295228	0,001908487	0,6893274	0,0005869
25	3,1	31	0,154228856	0,15173005	2,0999646	0,001968653	0,6692192	0,0006054
26	3,2	32	0,158415842	0,1558617	2,04089692	0,002028614	0,6503626	0,0006239
27	3,3	33	0,162561576	0,15995329	1,98539298	0,002088373	0,6326439	0,0006423
28	3,4	34	0,166666667	0,16400542	1,93313844	0,002147932	0,6159626	0,0006606
29	3,5	35	0,170731707	0,16801864	1,88385488	0,002207291	0,60023	0,0006789
30	3,6	36	0,174757282	0,17199351	1,83729483	0,002266452	0,5853669	0,0006971
31	3,7	37	0,178743961	0,17593058	1,79323754	0,002325416	0,5713029	0,0007153
32	3,8	38	0,182692308	0,17983039	1,75148554	0,002384187	0,5579749	0,0007334
33	3,9	39	0,186602871	0,18369346	1,71186157	0,002442763	0,5453264	0,0007514
34	4,0	40	0,19047619	0,18752031	1,67420611	0,002501148	0,5333064	0,0007694
35	4,1	41	0,194312796	0,19131145	1,63837522	0,002559343	0,5218689	0,0007873
36	4,2	42	0,198113208	0,19506737	1,60423864	0,002617348	0,5109724	0,0008052
37	4,3	43	0,201877934	0,19878857	1,57167825	0,002675166	0,5005791	0,000823
38	4,4	44	0,205607477	0,20247552	1,54058665	0,002732798	0,4906548	0,0008407
39	4,5	45	0,209302326	0,20612869	1,51086599	0,002790245	0,4811682	0,0008584
40	4,6	46	0,212962963	0,20974854	1,48242694	0,002847509	0,4720908	0,0008761
41	4,7	47	0,216589862	0,21333554	1,45518776	0,00290459	0,4633965	0,0008937
42	4,8	48	0,220183486	0,21689011	1,42907351	0,002961491	0,4550614	0,0009112
43	4,9	49	0,223744292	0,22041271	1,4040154	0,003018212	0,4470634	0,0009287
44	5,0	50	0,227272727	0,22390376	1,37995011	0,003074755	0,4393824	0,0009461
45	5,1	51	0,230769231	0,22736369	1,3568193	0,003131121	0,4319998	0,0009635
46	5,2	52	0,234234234	0,2307929	1,33456912	0,003187312	0,4248983	0,0009808
47	5,3	53	0,237668161	0,2341918	1,31314977	0,003243329	0,4180621	0,000998
48	5,4	54	0,241071429	0,2375608	1,29251516	0,003299172	0,4114765	0,0010152
49	5,5	55	0,244444444	0,24090029	1,27262253	0,003354844	0,4051277	0,0010324
50	5,6	56	0,247787611	0,24421065	1,25343219	0,003410345	0,3990031	0,0010495
51	5,7	57	0,251101322	0,24749227	1,23490723	0,003465676	0,393091	0,0010666
52	5,8	58	0,254385965	0,25074551	1,21701327	0,00352084	0,3873803	0,0010836
53	5,9	59	0,257641921	0,25397074	1,19971827	0,003575836	0,3818609	0,0011005
54	6,0	60	0,260869565	0,25716833	1,18299235	0,003630667	0,3765231	0,0011174
55	6,1	61	0,264069264	0,26033862	1,16680755	0,003685333	0,3713582	0,0011343
56	6,2	62	0,267241379	0,26348196	1,15113774	0,003739836	0,3663576	0,0011511
57	6,3	63	0,270386266	0,2665987	1,13595843	0,003794176	0,3615136	0,0011678
58	6,4	64	0,273504274	0,26968918	1,12124668	0,003848355	0,3568189	0,0011845
59	6,5	65	0,276595745	0,27275372	1,10698094	0,003902373	0,3522666	0,0012012
60	6,6	66	0,279661017	0,27579264	1,09314099	0,003956233	0,3478502	0,0012178
61	6,7	67	0,282700422	0,27880628	1,07970779	0,004009935	0,3435637	0,0012344
62	6,8	68	0,285714286	0,28179494	1,06666344	0,00406348	0,3394013	0,0012509
63	6,9	69	0,288702929	0,28475893	1,05399107	0,004116869	0,3353576	0,0012673
64	7,0	70	0,291666667	0,28769855	1,04167478	0,004170103	0,3314277	0,0012837
65	7,1	71	0,294605809	0,29061412	1,02969955	0,004223184	0,3276066	0,0013001
66	7,2	72	0,297520661	0,29350591	1,0180512	0,004276112	0,3238899	0,0013164
67	7,3	73	0,300411523	0,29637422	1,00671634	0,004328888	0,3202733	0,0013327
68	7,4	74	0,303278689	0,29921933	0,9956823	0,004381514	0,3167527	0,001349
69	7,5	75	0,306122449	0,30204153	0,98493706	0,00443399	0,3133243	0,0013651
70	7,6	76	0,308943089	0,30484109	0,97446926	0,004486318	0,3099844	0,0013813
71	7,7	77	0,311740891	0,30761828	0,96426813	0,004538498	0,3067297	0,0013974
72	7,8	78	0,314516129	0,31037336	0,95432343	0,004590531	0,3035569	0,0014134
73	7,9	79	0,317269076	0,31310661	0,94462547	0,004642419	0,3004628	0,0014294
74	8,0	80	0,32	0,31581828	0,935165	0,004694162	0,2974446	0,0014454
75	8,1	81	0,322709163	0,31850862	0,92593327	0,004745761	0,2944993	0,0014613
76	8,2	82	0,325396825	0,32117789	0,91692194	0,004797217	0,2916245	0,0014772
77	8,3	83	0,328063241	0,32382633	0,90812306	0,004848531	0,2888174	0,001493
78	8,4	84	0,330708661	0,32645419	0,89952908	0,004899704	0,2860758	0,0015088
79	8,5	85	0,333333333	0,32906169	0,89113279	0,004950738	0,2833972	0,0015246
80	8,6	86	0,3359375	0,33164909	0,88292731	0,005001632	0,2807796	0,0015403
81	8,7	87	0,338521401	0,33421661	0,8749061	0,005052387	0,2782208	0,0015559
82	8,8	88	0,341085271	0,33676447	0,86706289	0,005103006	0,2757188	0,0015716
83	8,9	89	0,343629344	0,33929291	0,85939172	0,005153488	0,2732717	0,0015871
84	9,0	90	0,346153846	0,34180215	0,85188686	0,005203834	0,2708777	0,0016027
85	9,1	91	0,348659004	0,34429239	0,84454286	0,005254045	0,2685351	0,0016182
86	9,2	92	0,351145038	0,34676387	0,83735449	0,005304122	0,2662422	0,0016336
87	9,3	93	0,353612167	0,34921678	0,83031676	0,005354067	0,2639973	0,001649
88	9,4	94	0,356060606	0,35165134	0,82342488	0,005403879	0,261799	0,0016644
89	9,5	95	0,358490566	0,35406776	0,81667427	0,005453559	0,2596458	0,0016798
90	9,6	96	0,360902256	0,35646623	0,81006053	0,005503109	0,2575363	0,0016951
91	9,7	97	0,36329588	0,35884695	0,80357945	0,005552529	0,2554691	0,0017103
92	9,8	98	0,365671642	0,36121012	0,79722699	0,00560182	0,253443	0,0017255
93	9,9	99	0,36802974	0,36355594	0,79099927	0,005650983	0,2514566	0,0017407
94	10,0	100	0,37037037	0,36588459	0,78489256	0,005700019	0,249509	0,0017558
95	10,1	101	0,372693727	0,36819626	0,7789033	0,005748927	0,2475988	0,0017709
96	10,2	102	0,375	0,37049114	0,77302805	0,00579771	0,245725	0,001786
97	10,3	103	0,377289377	0,37276941	0,7672635	0,005846368	0,2438865	0,001801
98	10,4	104	0,379562044	0,37503125	0,76160647	0,005894902	0,2420824	0,001816
99	10,5	105	0,381818182	0,37727683	0,75605392	0,005943312	0,2403116	0,001831
100	10,6	106	0,384057971	0,37950634	0,75060291	0,005991599	0,2385732	0,0018459
101	10,7	107	0,386281588	0,38171993	0,7452506	0,006039764	0,2368663	0,0018607
102	10,8	108	0,388489209	0,38391779	0,73999427	0,006087807	0,23519	0,0018756
103	10,9	109	0,390681004	0,38610008	0,73483129	0,00613573	0,2335436	0,0018904
104	11,0	110	0,392857143	0,38826696	0,72975914	0,006183533	0,2319261	0,0019051

VERIFICA AL TAGLIO

Trave isostatica in c.a. ad una campata e due sbalzi laterali
	- schema strutturale e carichi agenti - diagramma del taglio - diagramma del momento - schema longitudinale dei ferri di armatura - sezione trasversale costante - staffatura trave - distribuzione delle tensioni t

Le travi, oltre che a flessione, sono generalmente sollecitate a sforzo di taglio con valori massimi in corrispondenza dei vincoli e minimi in campata. La verifica al taglio viene eseguita in corrispondenza dello sforzo massimo T_max e la tensione tangenziale unitaria t_max, in corrispondenza dell'asse neutro n-n, è data dalla seguente formula generale:

T = valore dello sforzo di taglio S = momento statico della sezione di calcestruzzo compresso rispetto all'asse neutro b = larghezza della sezione in corrispondenza dell'asse neutro In = momento d'inerzia della sezione ideale resistente rispetto all'asse neutro y = distanza dell'asse neutro dal lembo compresso

Nel caso in esame:

Poiché l'asse neutro è baricentrico rispetto alla sezione ideale reagente, deve risultare nullo il momento statico della sezione rispetto all'asse n-n. Quindi, abbiamo:

cioè

e sostituendo nell'espressione del momento d'inerzia

Sostituendo, ora, nell'espressione della tensione tangenziale unitaria massima:

e quindi, semplificando

La quantità (h-y/3) non è altro che la distanza z tra le risultanti delle tensioni di compressione e di trazione nella sezione inflessa, che possiamo assumere pari a 0.9h, e quindi avremmo

formula di verifica al taglio nel calcestruzzo

Le Norme di calcolo (D.M. 14/02/1992), all'art. 3.1.4, stabiliscono che non è richiesta la verifica delle armatura al taglio quando le tensioni tangenziali massime nel calcestruzzo non superano il valore t_c0, ottenuto dall'espressione

(N/mm^2)

Se le tensioni tangenziali superano il valore t_c0, le armature metalliche (staffe e ferri piegati) devono assorbire integralmente tali sforzi, affidando alle staffe non meno del 40% dello sforzo globale di scorrimento.

La massima tensione tangenziale per solo taglio non deve superare il valore

(N/mm^2)

Sempre la Normativa all'art. 5.3.2, impone che in ogni caso si devono prevedere staffe aventi sezione complessiva non inferiore a 0.10b^* cm²/m, essendo b^* la larghezza (ipotetica della trave) corrispondente a t=t_c0, con un minimo di 3 staffe a metro e comunque passo non superiore a 0.8 volte l'altezza utile della sezione.

Le barre di armatura devono essere ancorate in zona di conglomerato possibilmente compresso e allontanate dal lembo teso, oppure inclinate non meno di 45° sulla traiettoria di compressione. Nelle barre ad aderenza migliorata possono essere omessi gli uncini di ancoraggio alle estremità.

Vediamo come si effettua il calcolo delle armature al taglio (t_cmax>t_c0) nelle travi a sezione costante con ferri piegati e staffe disposte, per semplicità esecutiva, a passo costante.

Occorre, inizialmente, determinare lo sforzo totale di scorrimento nella zona di trave maggiormente sollecitata al taglio. Analizzando la trave riportata in figura, notiamo il T_max in corrispondenza dell'appoggio di destra e la zona di trave d maggiormente sollecitata; pertanto lo sforzo massimo di scorrimento è dato da:

Sforzo di scorrimento totale da far assorbire alle armature

Applicando l'ipotesi di Mörsch, determiniamo lo sforzo di scorrimento assorbito dai ferri piegati presenti nella zona di trave d

schema di ferro piegato a 45° e sezione con un piano verticale

Poiché la tensione tangenziale agisce nel piano della sezione retta della trave, essa incontrerà la sezione del tondino a 45°, per cui l'area resistente di un sagomato di sezione A_p sarà A_pÖ2. Pertanto, supposto A_p l'area complessiva dei ferri piegati presenti nel tratto d della trave, si ha che lo sforzo di scorrimento assorbito dalle armature piegate, essendo s_a la tensione ammissibile nell'acciaio, vale:

sforzo di scorrimento assorbito dai ferri piegati

Ricaviamo, per differenza tra lo sforzo di scorrimento totale e lo sforzo assorbito dai piegati, lo sforzo di scorrimento da far assorbire alle staffe:

ricordando che deve risultare

Ricavato lo sforzo di scorrimento da far assorbire alle staffe, determiniamo, ora, il numero delle staffe da montare nel tratto di trave d, calcolando il rapporto tra lo sforzo S_s, rimasto alle staffe, e lo sforzo di scorrimento assorbito da una singola staffa con n_b bracci, diametro di ferro f e sezione A_s

sforzo di scorrimento assorbito da una staffa di sezione As e nb bracci

Il numero delle staffe, da posizionare nel tratto d, è

Calcoliamo il passo di staffa nel tratto d, che confermeremo per l'intera lunghezza della trave

passo di staffatura

L'intervallo di staffatura, ora calcolato, deve essere confrontato con gli intervalli imposti dalla normativa di calcolo, cioè:

3 staffe a metro		1° passo di staffa
0.8*h		2° passo di staffa
		3° passo di staffa

L'intervallo di staffa da mettere in opera è quello che soddisfa tutte le condizioni, cioè quello di valore minore.

Nel caso, abbastanza comune, di una trave a sezione costante e carico ripartito uniforme, le staffe si posizionano a interasse costante su tutta la trave mentre si determina la posizione di piegatura dei ferri sagomati mediante la costruzione del diagramma del momento resistente.

Determinazione del punto di piegatura nei ferri sagomati

- diagramma del momento flettente agente

- diagramma del momento resistente nelle armature

Dopo aver disegnato lo schema longitudinale delle armature metalliche e aver calcolato quanti di queste possono essere piegate per resistere al taglio, occorre determinare i punti di piegatura in modo che non manchino le barre necessarie per resistere alla trazione dovuta alla flessione.

Il momento resistente M_R in una sezione di trave con area acciaio A_a si determina mediante la formula, inversa, di verifica a flessione nell'acciaio

Ora possiamo calcolare, a partire dalla sezione a momento massimo,

- il valore del momento resistente con tutte le armature resistente a flessione

- il valore del momento resistente nelle armature, dopo la piegature delle prime barre

- il valore del momento resistente nelle armature, dopo la piegature delle altre barre metalliche

- si riporta, nella stessa scala di rappresentazione del diagramma del momento agente, a partire dalla linea di riferimento, il valore di ciascun momento resistente

- si verifica se il diagramma resistente così ottenuto, ricopre con un certo margine il diagramma del momento agente.