ASINTOTI

 

 1 - ASINTOTI VERTICALI E ORIZZONTALI

 

 Già abbiamo parlato e imparato il calcolo degli asintoti verticali e orizzontali.

     Ricapitolando abbiamo detto :

Si dice che la retta x = x0 è asintoto verticale per la funzione y = f(x) , se x0 è un punto di discontinuità della funzione in cui si abbia

 

lim f(x) = ¥ ( - ¥ )

x->x0+

 

oppure

 

lim f(x) = ¥ ( - ¥ ) .

x->x0-

 

     Si noti che una funzione che non ha punti di discontinuità non ha asintoti verticali.

 

 

 

Si dice che la retta y = l  è asintoto orizzontale per la funzione y = f(x) , se si verifica almeno una delle seguenti condizioni :

 

lim f(x) = l

x->¥

 

oppure

 

lim f(x) = l .                                                                            

x->- ¥

 

 

2 - ASINTOTI OBLIQUI

 

 

     Gli asintoti obliqui possono aversi solo nel caso di funzioni definite in intervalli illimitati.

     Se si ha :

 

lim f(x) = ¥ ( - ¥  )            oppure              lim f(x) = ¥ ( - ¥  )

x->¥                                                             x->- ¥

 

è lecito chiedersi se esista un asintoto obliquo, ovvero se il grafico della funzione si accosti a quello di una retta d’equazione

 

y = mx + q            (m ≠ 0) .

 

   

 Perché il grafico della funzione f(x) si avvicini a quello della retta y = mx + q, bisogna che un punto P (x,f(x)) appartenente alla curva abbia distanza PK dalla retta tendente a 0 per x tendente all’infinito.

     Se la distanza PK tende a 0 per x tendente ad infinito, tenderà a 0 per x tendente ad infinito anche il segmento PH sulla verticale per P.

     Affinché ,quindi, y = mx + q sia asintoto obliquo della funzione f(x), dev’essere :

 

lim | f(x) – mx – q | = 0

x->∞

 

 

     Dividendo tutto per x ≠ 0 si otterrà :

 

.

 

Poiché è :

,

 

si avrà la condizione :

(a)   .

 

Perché quindi la retta y = mx + q sia un asintoto obliquo, occorre che sia finito e non nullo il limite precedente.

 

     Dal limite , si ricava :

(b)   ,

 

per cui , affinché la retta y = mx + q sia un asintoto obliquo, occorre che sia finito il limite precedente.

 

     y = mx + q , quindi , è un asintoto obliquo solo se il limite (a) è finito e non nullo e il limite (b) è finito .

 

     In maniera analoga si procede se

 

  lim f(x) = ¥ ( - ¥  )

 x->- ¥

 

ESEMPIO:

 

; . Vi è quindi la possibilità che vi siano asintoti obliqui .

 

Calcolo del primo asintoto :

 

 

per x tendente a -∞ si avrà un asintoto obliquo d’equazione y = x + 1 .

 

Calcolo del secondo asintoto :

 

 

per x tendente a ∞ si avrà un asintoto obliquo d’equazione y = x + 1 .

 

     Poiché sia per x tendente a ∞ che per x tendente a -∞ l’asintoto ha la stessa equazione, esso è unico e di

equazione pari a :

y = x + 1.