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Hobby musicale

Scale musicali

Il "cent"
Generalità scale
Scala pitagorica
Progressione ciclica
Scala zarliniana
Scala temperata
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LE SCALE MUSICALI


IL "CENT": L'UNITA' DI MISURA DEGLI INTERVALLI MUSICALI

L'intervallo musicale fra due suoni si esprime con il rapporto fra le rispettive frequenze; l'intervallo di "ottava" è un particolare intervallo in cui il cui rapporto di frequenze fra i suoni è pari a 2. Per calcolare le ottave superiori (o inferiori) di un suono è pertanto necessario moltiplicare (o dividere) la frequenza considerata per 2, 4, 8, 16, ..., cioè 21, 22, 23, 24, ..., dove gli esponenti 1, 2, 3, 4, ..., rappresentano il numero di ottave contenute nell'intervallo. Grafico ottaveDal grafico, nell'esempio riferito alla nota LA 440 Hz ma valido nella forma per qualsiasi altra nota, si evince che l'andamento delle frequenze musicali è di tipo logaritmico. Il "cent", l'unità di misura degli intervalli musicali ideata da Alexander Ellis (1814-1890) ed oggi universalmente accettata, è per questo motivo un'unità di misura logaritmica; infatti deriva dalla divisione dell'ottava in 1200 particelle proporzionali. Il rapporto fra due frequenze pari a 1 cent è 1.00057779 e corrisponde a 2(1/1200), ovvero alla radice milleduecentesima di 2. Le formule di conversione per passare da cents a rapporti e viceversa, indicando con C i cents e con R i rapporti, sono:

C = 3986.313714 log10 R

R = 2 (C/1200)

in cui la costante 3986.313714 rappresenta semplicemente il moltiplicatore che consente di ottenere 1200 cents dal logaritmo in base 10 di 2, ovvero dal logaritmo del rapporto di due frequenze distanti un'ottava. Rispetto ai rapporti di frequenze, la conversione in cents consente di effettuare con semplicità le operazioni di addizione, sottrazione e confronto fra gli intervalli, tipica delle unità di misura logaritmiche, come risulterà chiaramente dall'analisi delle singole scale musicali. Considerando poi che la minima variazione di altezza percepibile dall’orecchio umano è circa 2 cents in particolari condizioni di ascolto e circa 10 cents durante le esecuzioni musicali "dal vivo", il risultato della conversione da rapporti a cents può essere arrotondato all'intero più vicino, semplificando ulteriormente le operazioni matematiche. Infine, se necessario, i valori in cents possono essere convertiti in Hertz utilizzando la formula seguente:

Fx = Fr 2 ((Cx-Cr)/1200)

dove:
Fx è il valore di frequenza desiderato
Fr è la frequenza, in hertz, della nota di riferimento (es. LA = 440 Hz)
Cx è il valore, in cents, della nota di cui si desidera conoscere la frequenza
Cr è il valore, in cents, della nota di riferimento (es. LA = 900 cents)


GENERALITA' SULLE SCALE MUSICALI

Qualsiasi scala musicale è costruita nell'ambito di un'ottava ed è formata da una serie di suoni ordinati per altezza crescente; la quantità e il valore dei suoni derivano dal sistema usato per la costruzione della scala stessa. I suoni (o note) si ripetono con intervalli analoghi nelle ottave superiori e inferiori; all'interno di una qualsiasi ottava i rapporti degli intervalli, rispetto al primo grado della scala, sono compresi fra 1 e 2, ovvero fra 0 e 1200 cents. Un valore minore di 1 (o un valore maggiore di 2), cioè un intervallo al di fuori dell'ottava di riferimento, può essere riportato entro i limiti semplicemente moltiplicando (o dividendo) per 2 ed eventualmente ripetendo l'operazione fino ad ottenere un risultato compreso fra 1 e 2. Analogamente, quando l'unità di misura è il cent, un valore negativo (o un valore maggiore di 1200 cents) può essere riportato entro i limiti semplicemente sommando (o sottraendo) 1200 cents ed eventualmente ripetendo l'operazione fino ad ottenere un risultato compreso fra 0 e 1200 cents. I sistemi musicali che analizzeremo, in ordine cronologico, sono la scala greca (o pitagorica), la scala naturale (o zarliniana) e la scala temperata (o equalizzata); qualsiasi altro sistema musicale è riconducibile ad uno di questi tre fondamentali.


LA SCALA GRECA O PITAGORICA

La scala greca o pitagorica prende il nome dal grande matematico Pitagora (nato nel 570 a.C.) che fu storicamente il primo ad analizzare scientificamente i criteri adottati dai costruttori di strumenti musicali dell’epoca. L'origine di questa scala deve essere ricercata, con molta probabilità, nella natura stessa dell'uomo che, fin dalle origini, ha spontaneamente scoperto ed accettato determinati intervalli musicali, escludendone altri. La costruzione matematica della scala pitagorica è basata sul rapporto 3/2 fra gli intervalli di quinta; pertanto con una progressione di 21 termini ad intervalli di quinta (FAb, DOb, SOLb, REb, LAb, MIb, SIb, FA, DO, SOL, RE, LA, MI, SI, FA#, DO#, SOL#, RE#, LA#, MI#, SI#) ed opportune conversioni di ottava, si determinano tutti i valori da assegnare ai gradi della scala. In pratica non tutti i 21 termini della progressione, che rappresentano la massima ampiezza teorica della scala, hanno avuto un impiego musicale pratico; ad esempio, nel repertorio gregoriano, l’unica alterazione presente è il SI bemolle (SIb). Le seguenti tavole illustrano nei dettagli le modalità di costruzione matematica di questa scala musicale. La "Progressione 3/2 base FAb" mostra i rapporti matematici degli intervalli di quinta, da FAb a SI#, riferiti a FAb e compresi fra (3/2)0 e (3/2)20, espressi in frazioni e in numeri decimali. La "Progressione 3/2 base DO", che consente di rappresentare la scala nella forma abituale, riferita a DO, è praticamente lo scorrimento dei valori della "Progressione 3/2 base FAb" nell'intervallo compreso fra (3/2)-8 e (3/2)12. I rapporti matematici degli intervalli sono espressi in frazioni e in numeri decimali e gli stessi valori, dopo la conversione nell'ambito di un'ottava, sono espressi in cents. La "Scala base DO ordinata" è la rappresentazione finale della scala musicale con le note ordinate secondo l'altezza crescente dei corrispondenti valori in cents. Un sistema certamente più semplice per costruire la scala greca o pitagorica è quello che utilizza la progressione dei cents al posto delle frazioni, come indicato nella tavola "Progressione 702 cents". Con questo sistema, però, al SI# risulta assegnato il valore di 24 cents, contro i 23 cents determinati con il metodo delle frazioni. Questa differenza è dovuta all'impiego, nella progressione delle quinte, del valore arrotondato 702 cents (anzichè 701,955), che arriva a formare un'eccedenza di 1 cent con l'arrotondamento dell'ultimo termine (SI#). Dal punto di vista musicale e pratico la differenza è assolutamente trascurabile, dal punto di vista matematico è più corretto il valore di 23 cents, che è anche sintomatico dell'andamento non uniforme della progressione. Dall'analisi della scala completa, calcolata con la progressione dei cents, si osserva che il valore di ogni alterazione (bemolle o diesis) dista 114 cents dalla nota non alterata, che gli intervalli diatonici sono di 204 cents (ad eccezione degli intervalli MI-FA e SI-DO che sono di 90 cents) e che l'eccedenza del MI# sul FA e del SI# sul DO è di 24 cents. Dall'ascolto armonico della scala, suonando uno degli intervalli contemporaneamente al fondamentale, risultano consonanti l'unisono, l'ottava, la quinta, e la quarta mentre risultano dissonanti la terza e la sesta. L'avvento della polifonia ha determinato il progressivo abbandono della scala greca o pitagorica, risultata inadatta proprio per le dissonanze degli intervalli di terza e di sesta.


PROGRESSIONE CICLICA DI 12 TERMINI DELLA SCALA PITAGORICA

Nell’ottima pubblicazione del prof. Pietro Righini "Le scale musicali - leggende - pregiudizi - realtà", edita da Zanibon, una delle principali fonti bibliografiche utilizzate per la realizzazione di questo articolo, a pagina 8, sono riportate le seguenti considerazioni, che citiamo testualmente:

"Una particolarità che si riscontra nella progressione ciclica, di 12 in 12 termini basati sul rapporto di quinta, è quella di fornire, per ogni ciclo, un'eccedenza di 24 cents rispetto alla somma di cents costituita dalle ottave contenute nel ciclo stesso. Ogni ciclo, infatti, comporta 8424 cents (12 x 702 = 8424) e poichè ciascuna ottava vale 1200 cents, è chiaro che in 8424 cents ci stanno 7 ottave con 24 cents di avanzo. Per neutralizzare questa eccedenza dobbiamo sommarla a tante altre fino a raggiungere il valore di un'ottava intera. Praticamente si tratta di sommare 50 cicli, ognuno dei quali, fornendo 24 cents, contribuisce a totalizzare i 1200 che occorrono per formare un'ottava. Se si tiene conto che ogni termine vale 702 cents (tale è infatti la grandezza dell'intervallo di quinta, 3/2) e che ogni ciclo è composto di 12 termini, si vede subito che 50 cicli corrispondono a 600 termini (12 x 50 = 600), per un totale di 421200 cents (702 x 600 = 421200), equivalenti, infine, a 351 ottave (421200 / 1200 = 351)."

Dalla pagina 9 della stessa pubblicazione, riportiamo ancora:

"Possiamo ora constatare che anche il ciclo dei 600 rapporti di quinta, del quale si è detto poco prima, può trovare conclusione analoga se si assume, come rapporto da applicare ad ognuno dei 600 microintervalli che compongono quella scala, la radice 600ª di 2. Infatti la progressione (3/2)600 (dopo la riduzione di tutti i valori nell'ambito di un'ottava) porta ad una scala di 600 gradini di 2 cents ciascuno, così come ci porta la radice 600ª di 2 (1,00115), il cui rapporto vale appunto 2 cents."

Come già affermato precedentemente, il valore corretto del rapporto dell'intervallo di quinta (3/2), derivante dalla formula di conversione da rapporti a cents, è 701,955 cents. In una progressione molto estesa l'impiego del valore arrotondato 702 cents introduce, evidentemente, degli errori dovuti alla differenza di 0,045 cents moltiplicata per il numero dei termini considerati. Infatti un ciclo composto da 12 termini non comporta 8424 cents (12 x 702 = 8424) bensì 8423 cents (12 x 701,955 = 8423,46) e, a maggior ragione, un ciclo composto da 600 termini non comporta 421200 cents (600 x 702 = 421200) bensì 421173 cents (600 x 701,955 = 421173), con una differenza netta di 27 cents. Comunque, anche volendo considerare l'esempio dal punto di vista puramente didattico, considerando per semplicità il valore arrotondato di 702 cents, si dimostra facilmente che una progressione di 600 termini (3/2)600, dopo la riduzione di tutti i valori nell'ambito di un'ottava, non porta ad una scala di 600 gradini di 2 cents ciascuno, bensì ad una scala di 200 gradini di 6 cents ciascuno. Le seguenti tavole, denominate "Ciclo progressivo di 600 termini di 702 cents ciascuno" e "Ciclo ordinato di 600 termini di 702 cents ciascuno", dimostrano che i valori si ripetono a passi di 200 cents e mantengono, dopo la riduzione di tutti i valori nell'ambito di un'ottava, un passo costante di 6 cents fra i gradini della scala. Quindi i gradini risultanti, di valore pari a 6 cents ciascuno, non corrispondono alla radice 600ª di 2 (1,00115), bensì alla radice 200ª di 2 (1,00347), il cui rapporto vale appunto 6 cents. In conclusione, visto che il valore intero di 702 cents usato nella progressione estesa delle quinte non è corretto, possiamo affermare che non esiste un punto di "chiusura" della scala pitagorica che, dal punto di vista puramente teorico, è infinita come la progressione da cui è originata.


LA SCALA NATURALE O ZARLINIANA

La scala naturale o zarliniana, definita nei suoi aspetti teorici dal veneziano don Gioseffo Zarlino (1517-1590), è stata l’evoluzione e il completamento degli studi per la costruzione di una scala musicale rispondente alle nuove esigenze della polifonia. Le consonanze di questa scala sono senza dubbio le più esatte sotto tutti i punti di vista e costituiscono ancora oggi il riferimento nei confronti fra gli intervalli armonici. La costruzione matematica di questa scala è basata sul rapporto 5/4 fra gli intervalli di terza (386 cents) e sul rapporto 3/2 fra gli intervalli di quinta (702 cents). Quindi, partendo dal DO uguale a 0 cents, si assegna al MI il valore di 386 cents ed al SOL il valore di 702 cents. Il DO (fondamentale della triade DO-MI-SOL) è anche la quinta della triade FA-LA-DO mentre il SOL (quinta della triade DO-MI-SOL) è anche la fondamentale della triade SOL-SI-RE. Applicando gli stessi rapporti della triade DO-MI-SOL alla triade FA-LA-DO e mantenendo i valori nell'ottava di riferimento, si ottiene FA uguale a 498 cents (0 cents - 702 cents + 1200 cents) e LA uguale a 884 cents (498 cents + 386 cents), fermo restando il DO uguale a 0 cents. Analogamente, con la triade SOL-SI-RE, fermo restando il SOL già calcolato uguale a 702 cents, si ottiene SI uguale a 1088 cents (702 cents + 386 cents) e RE uguale a 204 cents (702 cents + 702 cents - 1200 cents), dopo la conversione all'ottava di riferimento. Calcolati quindi i termini della scala di DO maggiore (DO, RE, MI, FA, SOL, LA, SI), sempre utilizzando la tecnica sopra esposta degli "Accordi perfetti maggiori", si determina la scala di RE maggiore, ponendo come fondamentale il RE, poi la scala di MI maggiore, ponendo come fondamentale il MI, e così via, fino al SI. E’ facile osservare che ogni intervallo di terza maggiore (es. DO-MI) vale 386 cents mentre ogni intervallo di terza minore (es. MI-SOL) vale 316 cents; la differenza di 70 cents è il valore di ciascuna alterazione bemolle (b) o diesis (#) rispetto alla nota non alterata. In questo modo, per differenza, si calcolano tutte le alterazioni mancanti, fino ad ottenere i valori delle note nelle 21 "Scale maggiori" e i 21 termini della scala nelle sette principali tonalità (DO, RE, MI, FA, SOL, LA, SI), eliminando tutte le note con le doppie alterazioni (bb e ##), come illustrato nella tavola "Tonalità non allineate a DO". Come è facile osservare, al variare della tonalità, ciascuna nota ha fino a due differenti valori di intonazione. Nella tavola conclusiva "Tonalità allineate a DO" sono illustrati i valori delle note della scala zarliniana, nelle diverse tonalità, allineati al valore DO= 0 cents. Le difficoltà tecniche di composizione e di esecuzione, dovute alla differenziazione fra i diesis ed i bemolli ed alla presenza di due diverse grandezze per ogni intervallo, hanno portato in breve tempo al superamento della scala zarliniana. Infatti è evidente che per l’intonazione degli strumenti musicali a suoni fissi, come ad esempio l’organo, non potendo costruire una tastiera con tutti i suoni teoricamente previsti, si è dovuti ricorrere a dei compromessi, cercando di privilegiare le tonalità più usate dai compositori dell’epoca, a scapito delle altre. A titolo di esempio, per il confronto con la scala zarliniana teorica, riportiamo i valori di intonazione delle note utilizzati dal grande organaro Gaetano Callido (1727-1813) nell'organo della chiesa di S. Maria Goretti, già S. Agostino, in Corinaldo (AN), precisando che anche oggi, nella costruzione degli organi a canne destinati prevalentemente all’esecuzione del repertorio polifonico antico, si utilizzano intonazioni derivanti da adattamenti della scala zarliniana.


LA SCALA TEMPERATA O EQUALIZZATA

La scala temperata o equalizzata, ideata dall'organista e musicologo Andreas Werckmeister (1645-1706), deriva dalla divisione dell'ottava in dodici intervalli proporzionali. Questa scala è, ancora oggi, il compromesso ottimale fra le esigenze della melodia e dell'armonia; la grande innovazione, rispetto alle scale precedenti, è stata l’introduzione dell'intervallo di semitono che, dividendo proporzionalmente a metà il tono, ha comportato l'equivalenza delle alterazioni diesis e bemolle fra due qualsiasi gradi consecutivi. Si è così avuta la riduzione del numero dei termini da 21 a 12, anche se le note hanno conservato il doppio nome originario (alterazione 'b' e '#' per ogni termine), con conseguente semplificazione della tecnica di composizione e di esecuzione musicale (si pensi, ad esempio, alla trasposizione da una tonalità all’altra). La costruzione matematica di questa scala è basata sulla formula generale 2x/n (con 'x' e 'n' interi positivi), dove 'n' rappresenta il numero complessivo dei termini della scala e 'x', compreso fra 0 e 'n-1', rappresenta il termine considerato. In questo caso, ponendo 'n' pari a 12 e facendo variare 'x' fra 0 e 11, si ottengono i valori di tutti i gradi della scala rispetto al primo grado (DO), come illustrato nella tavola "Scala temperata". Anche l'unità di misura degli intervalli musicali, il cent (la centesima parte del semitono temperato), deriva dalla stessa formula generale, ponendo 'n' uguale a 1200 e 'x' uguale ad 1. Con lo stesso procedimento, cambiando i parametri 'n' e 'x', è possibile creare una scala musicale composta da un qualsiasi numero di gradi equalizzati anche se, in pratica, le composizioni musicali costruite su scale diverse da 12 termini non hanno avuto, finora, particolare successo.


Grafico di riepilogo degli intervalli delle scale musicali (valori in cents)


BIBLIOGRAFIA

Pietro Righini: "Le scale musicali - leggende - pregiudizi - realtà" ed. G. Zanibon
Pietro Righini: "L'acustica per il musicista - fondamenti fisici della musica" ed. G. Zanibon
Alberto Turco: "Il canto gregoriano - corso fondamentale" ed. Torre d'Orfeo
Renzo Silvestri: "Le scale musicali per pianoforte" ed. G. Ricordi
Mauro Ferrante: "L'organo della Chiesa di Sant'Agostino in Corinaldo" ed. Pàtron
Paolo Peretti: "Organi storici delle Marche - gli strumenti restaurati" ed. Nardini


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Data ultima revisione: Gennaio 2003.