Io credo nell'uomo, e questo vuol dire
che credo nella sua ragione!
Gran parte della matematica che conosciamo e' lineare, ma viene
da chiedersi se il mondo in cui viviamo sia lineare oppure no. In
genere e' con la matematica lineare che studiamo i fenomeni
naturali o progettiamo sistemi fisici. Ma fino a che punto un
sistema lineare puo' studiare e spiegare il mondo? e allo stesso
tempo, quanto sono reali gli oggetti del mondo matematico? spesso
si risponde a questa domanda che gli oggetti matematici sono solo
concetti.
I numeri che
usiamo per misurare tutto cio' che e' reale sono numeri "reali",
questi numeri sono chiamati "reali" perche' sembrano
fornire le grandezze richieste per misurare distanze, angoli,
tempi, energia, date, temperature….Tuttavia il rapporto tra
numeri definiti "reali" e le quantità fisiche non e'
cosi' esattamente definito. Il sistema dei numeri reali ha per
esempio la proprieta' che fra due di essi se ne trova sempre un
terzo, non e' certo quello che accade a distanze fisiche o a
tempi: continuando a dividere la distanza fisica tra due punti,
si arriverebbe alla scala quantistica ove cesserebbe di avere
qualsiasi significato. Allo stesso modo si avrebbe per intervalli
di temo sempre piu' piccoli.
Sono i numeri
reali sempre soluzioni ai problemi? Nel 1545 Gerolamo Cardano
scopri' che per risolvere certe equazioni era costretto ad
accettare la "radice quadrata" di un certo numero
negativo. Questi numeri chiamati "immaginari" hanno la
proprieta' di risolvere alcuni problemi. Non sono inventati, essi
semplicemente esistono.
La matematica e'
invenzione o scoperta? E' uno strumento inventato per capire la
natura oppure e' la natura che nel manifestare i suoi fenomeni
"produce" matematica? la risposta non e' certa. Gli
automatismi finora sono stati progettati per funzionare secondo
una matematica lineare. Linearizzare un fenomeno porta a errori;
tuttavia diventa lecito per quantita' infinitesimali. Ma la somma
di tutti i tratti infinitesimali di una linea non da' la linea
stessa. In tal caso la somma non darebbe il tutto. Quindi se si
trova un'equazione valida a descrivere un fenomeno confinato nell'infinitesimo,
la stessa equazione non sara' vera se applicata al fenomeno in
generale. Un esempio macroscopico e' la corsa di una biglia: se
si lancia una biglia facendola correre su un tavolo, e' facile
prevedere secondo le leggi del moto la traccia della biglia per
piccolissimi intervalli di tempo, ma non sara' possibile di certo
prevedere dove andra' a finire la sua corsa sul tavolo. Quando si
considera lineare un fenomeno che tale non e', si commette un
errore che porta all'imprevedibilita'. Se si lancia una seconda
biglia conferendo un leggero (anche infinitesimo) di scostamento
dalla posizione dell'altra, si avra' che le due traiettorie
saranno molto vicine nei primi tratti per poi divergere anche
notevolmente. Questo vuol dire che piccole differenze iniziali,
portano a grandi divergenze finali.
Si e' accennato
ai numeri immaginari, questi numeri compongono quelli che sono
chiamati numeri complessi: una parte reale ed una parte
immaginaria. Un generico numero complesso e' del tipo Z2+C,
dove sia Z sia C sono complessi (l'espressione canonica di un
numero complesso e' Z=R+J dove R è un numero reale e J un numero
immaginario pari a v-1). Costruiamo una relazione del tipo Z
= Z2+C, questo significa applicare una relazione Z2+C
al numero stesso Z2+C. Si supponga di dare a Z il
valore nullo, mentre a C un valore diverso da zero e reiteriamo
per un certo numero di volte la suddetta relazione. Questa
operazione equivale ad attribuire alla variabile Z il suo valore
immediatamente precedente. In termini fisici e' come se avessimo
un sistema ad anello che riporta all'ingresso cio' che e' in
uscita. Si otterrebbe una serie del tipo: 0, C, C2+C,
C4+2C3+C2+C, …A seconda del
valore di C (che resta costante), i valori di Z rappresentano
punti che hanno una certa disposizione nel piano complesso.
Ebbene per C=0 la rappresentazione rimane invariata nel tempo ed
e' il punto di coordinate nulle. Ma per C=-J oppure +J, la nuvola
di punti pur variando nel tempo resta imprigionata in una regione.
Per altri valori di C, ciò potrebbe ancora accadere e produrre
perfino figure simili a forme realmente esistenti, per altri
ancora la rappresentazione potrebbe improvvisamente uscire da una
regione e divergere all'infinito. E' interessante notare che per
valori di C molto vicini, le due rappresentazioni appaiono simili
per diversi cicli, ma poi divergono fortemente. Questo fatto e'
molto interessante perche' mostra, come si accennava per il caso
delle biglie, che pur partendo da valori molto prossimi a lungo
andare le rappresentazioni si differenziano con gran velocita'
fino a produrre figure del tutto diverse (personalmente ho
provato con un computer a reiterare la relazione scritta sopra
dando a C una volta il valore 0+J ed un'altra volta il valore 0+j0,9999999,
ebbene dopo pochi cicli ho ottenuto forme completamente diverse).
Se la relazione considerata fosse quella di un fenomeno fisico (naturale)
e la rappresentazione raffigurasse l'evoluzione del fenomeno, si
noterebbe che pur adottando un metodo deterministico che e'
quello dell'algoritmo Z2+C, non sarebbe assolutamente
possibile prevedere l'evoluzione di quel fenomeno, a
partire da quella di un altro ad esso simile.
Per riassumere
possiamo dire allora che in termini informatici esistono due modi
fondamentali di calcolare: il modo deterministico secondo
cui si passa da un punto ad un altro attraverso una funzione ed
il modo non deterministico secondo cui da un singolo punto
si può arrivare in punti diversi. Da qui la definizione di CAOS.
In regime caotico la funzione che descrive il processo e' molto
sensibile a piccole variazioni del punto di applicazione. La
funzione attraverso la quale vengono collegati i punti e'
deterministica, ma se per qualche limite di misurazione un punto
A viene confuso con un altro punto B suo vicino, cosa che accade
nella realtà umana, la funzione si comporta in modo non
deterministica. Il CAOS e' il tributo da pagare all'indeterminismo.
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