Matematica è utopia?
di Valentina Cracco
e Francesca Grandi

Quando si chiede a un matematico come si possano conciliare i due termini, utopia e matematica, viene risposto che bisogna innanzitutto definire che cosa si intende esattamente con il termine "utopia" e che non si può parlare di utopia in ambiente scientifico, dal momento che la scienza si basa su assiomi certi e il metodo scientifico, basato sulla dimostrazione, non può presentare aspetti utopici.

Comunque, la più grande aspirazione del matematico è quella di applicare la dimostrazione a tutto. Si può vedere, per esempio, un aspetto utopico nella volontà, nel tentativo, nell'illusione di riuscire a decifrare tutta la realtà servendosi solamente di strumenti matematico-scientifici (come volevano i Pitagorici, per i quali il numero spiegava l'intera realtà: pari-donna, dispari-uomo). In questo senso, generalizzando, si potrebbe quindi risolvere il problema utopia-scienza, affermando che non sono utopici i principi, le basi su cui si fonda la scienza, bensì gli obiettivi che essa si pone: nella Bibbia pareva impossibile a Giosuè che fosse la terra a girare intorno al sole, ma Galileo sostenne e dimostrò il contrario; sulla Luna ci si poteva andare solo con l' ippogrifo, ne L'Orlando furioso, finché Armstrong non ci mise fisicamente piede nel luglio 1969...

Nel campo medico, il primo trapiantato ebbe vita breve e il medico che eseguì quell'operazione fu visto come uno "stregone", mentre ora le tecniche di trapianto si sono sviluppate e permettono di prolungare di molti anni la vita. La colonizzazione di Marte è un obiettivo già vagheggiato dalla fantascienza, che per ora sfugge ancora alla scienza, ma è solo questione di tempo... Anche se ora può apparire utopia la conquista da parte dell'uomo dello spazio del cosmo è molto probabilmente questione di tempo.

Le basi, gli assiomi sono certi, abbiamo detto. Ma questa conquista della certezza del punto di partenza della scienza, ottenuta, dopo secoli di ragionamenti e speculazioni filosofiche, nel corso del Seicento, grazie a Copernico, Keplero, Galileo e Newton può essere messa in dubbio. Il matematico, come abbiamo detto, vuole capire tutto con la dimostrazione: la dimostrazione è il mezzo che dà al matematico la certezza delle cose (problema della verità) la dimostrazione consiste nel ricavare un'asserzione da un'altra usando il ragionamento. In altri termini, per dimostrare un'asserzione (teorema) bisogna partire da altre asserzioni, le quali a loro volta hanno bisogno di essere dimostrate, il che fa capire che non si può dimostrare tutto perché da qualche affermazione bisogna pur partire. La matematica deduttiva, perciò, non viene presentata come una scienza sperimentale i cui teoremi devono essere accettati in quanto sono in accordo con l'osservazione.

Questa idea, cioè che una proposizione possa essere stabilita come conclusione di un ragionamento logico esplicito, risale agli antichi Greci i quali scoprirono quello che è noto come il "metodo assiomatico" e lo usarono per sviluppare la geometria in maniera sistematica. Gli assiomi costituiscono le "fondamenta" del sistema, i teoremi sono le "sovrastrutture", e sono ottenuti dagli assiomi con l'ausilio esclusivo dei principi della logica.

Nel Novecento il tramonto definitivo di questa impostazione logica è dovuto a Kurt Godel che in un articolo del 1931 affronta i problemi centrali e i fondamenti della matematica e dimostra l'impossibilità di ottenere coerenza e completezza dalla disciplina deduttiva. Quindi la più grande aspirazione dei matematici non si può realizzare: è un'utopia.