MATEMATICA E LABORATORIO

Triennio

FINALITÀ DELL'INSEGNAMENTO

L'insegnamento della matematica nel triennio di una scuola secondaria superiore amplia e prosegue quel processo di preparazione culturale e di promozione umana dei giovani che è iniziato nel biennio; in armonia con gli insegnamenti delle altre discipline, esso contribuisce alla loro crescita intellettuale ed alla loro formazione critica.

Lo studio della matematica, infatti, in questa fase della vita scolastica dei giovani, promuove in essi:

· il consolidamento del possesso delle più significative costruzioni concettuali;

· l'esercizio ad interpretare, descrivere e rappresentare ogni fenomeno osservato;

· l'abitudine a studiare ogni questione attraverso l'esame analitico dei suoi fattori;

· l'attitudine a riesaminare criticamente ed a sistemare logicamente quanto viene via via conosciuto ed appreso.

Queste finalità di carattere generale, che sono culturali ed educative e pertanto comuni a tutti gli indirizzi di studio, si integrano nei singoli istituti con le loro finalità specifiche e si adattano alle loro esigenze; in ciascuno di questi, infatti, la contiguità con le materie di indirizzo e la necessità dell'interdisciplinarità non consentono che l'insegnamento sia condotto in modo autonomo e distaccato e richiedono anzi che esso acquisti prospettive ed aspetti particolari in relazione alle caratteristiche dell'indirizzo.

In particolare, nel triennio di qualsiasi istituto tecnico, l'insegnamento della matematica ha il compito di sviluppare anche le conoscenze connesse con la specificità dell'indirizzo e di contribuire a rafforzare - sul piano dell'astrazione e della sintesi formale - lo studio dei modelli applicativi tipici delle discipline professionali; in tal modo esso concorre a fare acquisire ai giovani quella mentalità tecnica che consentirà loro di inserirsi più efficacemente nel mondo professionale o di affrontare serenamente studi tecnico-scientifici a livello superiore.

OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO

Il presente programma mira ad inserire le competenze raggiunte dagli studenti alla fine del biennio in un processo di maggiore astrazione e formalizzazione.

Alla fine del triennio lo studente deve dimostrare di:

· possedere le nozioni ed i procedimenti indicati e padroneggiarne l'organizzazione complessiva, soprattutto sotto l'aspetto concettuale;

· sapere individuare i concetti fondamentali e le strutture di base che unificano le varie branche della matematica;

· avere assimilato il metodo deduttivo e recepito il significato di sistema assiomatico;

· avere consapevolezza del contributo della logica in ambito matematico;

· avere rilevato il valore dei procedimenti induttivi e la loro portata nella risoluzione dei problemi reali;

· avere compreso il valore strumentale della matematica per lo studio delle altre scienze;

· saper affrontare a livello critico situazioni problematiche di varia natura, scegliendo in modo flessibile e personalizzato le strategie di approccio;

· saper elaborare informazioni ed utilizzare consapevolmente metodi di calcolo e strumenti informatici;

· saper tradurre e rappresentare in modo formalizzato problemi finanziari, economici e contabili attraverso il ricorso a modelli matematico-informatici.

ARTICOLAZIONE DEI CONTENUTI

Tema 1. Elementi di logica e di informatica

1.1) Approfondimento del procedimento deduttivo: concetti primitivi ed assiomi; definizioni e teoremi; regole d'inferenza e dimostrazioni. Principio d'induzione.

1.2) Coerenza ed indipendenza di un sistema di assiomi.

1.3) Elementi di teoria degli automi e degli algoritmi. Funzioni computabili.

1.4) Insiemi di dati e loro strutture notevoli.

1.5) Procedure ricorsive e loro rapporto con le procedure iterative.

1.6) Ampliamento delle strutture dei linguaggi. Pacchetti applicativi.

L'approfondimento del procedimento deduttivo, già avviato nel biennio e sviluppato gradualmente nell'arco dell'intero triennio, porterà lo studente, anche attraverso la sistemazione assiomatica della geometria euclidea, all'acquisizione del concetto di teoria matematica.

La trattazione degli automi, degli algoritmi e degli insiemi di dati e loro strutture viene affrontata ad un livello di maggiore formalizzazione rispetto allo studio effettuato durante il biennio.

Nel trattare le procedure ricorsive occorre che il docente si preoccupi di applicarle a semplici contesti concreti e di evidenziare sia la loro differenza concettuale con le procedure iterative sia l'opportunità di scegliere tra le une e le altre.

L'aspetto applicativo dell'informatica deve essere affrontato sia rafforzando ed ampliando la conoscenza dei linguaggi di programmazione studiati nel biennio in modo da dominarne le strutture e le procedure fondamentali sia utilizzando quei prodotti software che per le loro caratteristiche costituiscono nel contempo strumenti di professionalità ed occasione per studiare modelli, sistemi, processi.

Tema 2. Geometria del piano

2.1) Piano cartesiano: ellisse, iperbole.

2.2) Le trasformazioni geometriche nel piano: affinità e sue proprietà.

2.3) Il problema della misura: lunghezza ed area.

d) La sistemazione assiomatica della geometria euclidea.

Le coniche devono essere definite come luoghi geometrici e le loro equazioni riferite a sistemi di assi cartesiani opportunamente scelti; è opportuno estendere lo studio a semplici luoghi geometrici che conducono ad equazioni algebriche di grado superiore al secondo.

L'introduzione delle trasformazioni affini, che prosegue il tema delle trasformazioni lineari nel piano, deve tendere a far recepire allo studente il concetto del progressivo ampliamento dei relativi gruppi di trasformazioni ed a far vedere come le proprietà che caratterizzano le varie figure vanno restringendosi man mano che si passa dalla geometria della congruenza a quella affine.

Il problema della misura va affrontato con un approccio molto generale, con particolare riferimento al calcolo della lunghezza della circonferenza e dell'area del cerchio, ed essere inquadrato anche sotto il profilo storico.

Lo studio della geometria euclidea è completato con il riesame critico ed il concatenamento logico degli argomenti di geometria euclidea già studiati, nonché il richiamo del sistema di assiomi prima dato o la enucleazione di quello sottinteso.

Tema 3. Insiemi numerici e strutture

3.1) Numeri reali e continuità della retta.

3.2) Strutture algebriche fondamentali. Strutture d'ordine.

3.3) Matrici e loro composizione, determinanti. Sistemi lineari. Spazio vettoriale sul corpo reale.

La definizione di numero reale sarà collegata con la proprietà di completezza della retta.

Le strutture algebriche e d'ordine devono essere introdotte non come una classificazione teorico-formale, ma come ambienti operativi i cui elementi possono essere di varia natura e nei quali è possibile risolvere classi di problemi diversi. In particolare, è opportuno stimolare l'osservazione di proprietà strutturali nella composizione di trasformazioni geometriche.

Lo studio delle matrici e dei determinanti, oltre a consentire la risoluzione dei sistemi lineari, deve servire a chiarire il significato di spazio vettoriale ed a semplificare particolari strutture algebriche. La trattazione dei sistemi lineari è legata alla soluzione di problemi concreti, compresi quelli relativi a questioni di ottimizzazione. Nello studio degli spazi vettoriali ci si deve limitare a dare i concetti di dipendenza lineare di vettori, di base e di componenti di un vettore rispetto ad essa.

Tema 4. Funzioni ed equazioni

4.1) Potenze ad esponente reale. Logaritmi e loro proprietà. Funzione esponenziale e funzione logaritmica. Equazioni esponenziali e logaritmiche.

4.2) Funzioni circolari.

4.3) Funzioni lineari di due variabili. Massimo e minimo di una funzione lineare di due variabili sottoposta a vincoli lineari.

Gli esercizi di applicazione dei concetti di esponenziale e di logaritmo e quelli sulle relative equazioni devono essere limitati ai casi più semplici; per il calcolo del logaritmo di un numero o del numero di dato logaritmo è opportuno fare ricorso a strumenti automatici di calcolo.

Lo studio delle funzioni circolari deve essere limitato alla loro definizione ed alle principali relazioni.

Per quanto riguarda le funzioni di due variabili lo studio va limitato ai casi più semplici, con il ricorso alla rappresentazione sul piano cartesiano mediante curve di livello. Il calcolo del massimo e del minimo si effettuerà con esempi che consentano soluzioni soddisfacenti senza far ricorso all'analisi.

Tema 5. Analisi infinitesimale e numerica

5.1) Progressioni aritmetica e geometrica. Successione numerica e limite di una successione. Il numero p e il numero e.

5.2) Limite di una funzione. Funzione continua. Derivata di una funzione.

5.3) Studio di una funzione e sua rappresentazione grafica.

5.4) Applicazioni in economia: domanda ed offerta, costi, ricavi, profitti.

5.5) Interpolazione. Risoluzione approssimata di equazioni e sistemi. Derivazione n umerica.

L'introduzione dei concetti di limite, continuità e derivabilità deve essere accompagnato da un ventaglio quanto più ampio possibile di loro impieghi in ambiti matematici ed extramatematici ed arricchita dalla presentazione ed illustrazione di opportuni controesempi che serviranno a chiarire i concetti stessi.

Ai valori approssimati di p e di e è possibile pervenire attraverso l'uso di strumenti automatici di calcolo.

Lo studente va abituato all'esame di grafici di funzioni algebriche e trascendenti ed alla continua deduzione di informazioni dallo studio di un andamento grafico. Per questo appare importante fare acquisire una mobilità di passaggio dal grafico di una funzione a quello della sua derivata.

Nello scegliere i modelli matematici vanno considerati in prevalenza quelli di tipo economico avendo cura di accordarsi con i docenti delle discipline professionali per la scelta del momento e degli esempi opportuni. In particolare vanno esaminati i modelli che si riferiscono all'andamento della domanda e dell'offerta di un prodotto, allo studio dei costi e dei ricavi di un bene o servizio, all'analisi finanziaria e del reddito, avendo cura di ricercare per ciascuno di essi forme efficaci di rappresentazione (lineare, parabolica, esponenziale).

Nella determinazione del valore di una funzione in un dato punto, nella risoluzione di equazioni e di sistemi vanno utilizzati i metodi del calcolo numerico quando l'impiego dei metodi tradizionali risulta di difficile applicazione.

Gli argomenti di analisi numerica devono essere rappresentativi di problemi risolvibili mediante metodi "costruttivi" che permettano la determinazione delle loro soluzioni con una precisione arbitraria ed in un numero finito di passi eseguibili da un calcolatore.

Tema 6. Elementi di probabilità e statistica.

6.1) Speranza condizionata.

6.2) Distribuzione binomiale, normale e di Poisson. Teorema di Bernoulli.

6.3) Nozioni fondamentali di statistica inferenziale: teoria del campione, teoria della stima, verifica delle ipotesi, inferenza bernoulliana.

Gli elementi di probabilità previsti in questo tema rispondono all'esigenza di abituare lo studente ad effettuare modellizzazioni, non soltanto deterministiche, di situazioni problematiche.

Lo studio degli automi, previsto dal tema n. 1, e delle loro transizioni consente di ampliare le osservazioni all'esame di processi non deterministici, utilizzando analoghe rappresentazioni, quali grafi, regole ed altro, e di esaminare l'evoluzione tendenziale di un fenomeno.

Le nozioni di statistica inferenziale vanno inserite nel quadro più ampio del problema di decisione in condizioni di certezza e di incertezza, anche per dare allo studente un'idea sufficiente delle procedure seguite da questa scienza nel campo socio-economico. In questo contesto il teorema di Bayes sarà opportunamente ripreso ed applicato.

Tema 7. Elementi di matematica finanziaria ed attuariale.

7.1) Situazioni economiche e principio di equivalenza finanziaria.

7.2) Valutazioni di rendite.

7.3) Ammortamenti.

7.4) Probabilità di vita e di morte. Assicurazioni sulla vita.

Nell'affrontare lo studio della matematica finanziaria ed attuariale occorre evitare la risoluzione di problemi che richiedano calcoli particolarmente laboriosi e ripetitivi, dovendo privilegiare la padronanza concettuale e la consapevolezza delle procedure seguite.

Si deve in ogni caso evidenziare il significato economico delle prestazioni che caratterizzano le diverse operazioni.

Tema 8. Ricerca operativa.

8.1) Problemi di ottimizzazione in una e in due variabili.

8.2) Programmazione lineare: formalizzazione del modello; risoluzione con il metodo grafico e con il metodo del simplesso.

Il docente deve mettere in luce che l'insegnamento della ricerca operativa deve fondarsi, non tanto su un insieme di tecniche, quanto sul suo essere metodo di analisi e di risoluzione dei problemi. Essa, infatti, utilizza di volta in volta quelle tecniche, più o meno complesse, che sono indicate da un preciso modello matematico.

È opportuno affrontare problemi di massimo e di minimo assoluti che si possono risolvere con il ricorso ad elementari rappresentazioni grafiche oppure al cosiddetto "metodo delle proprietà note", proprietà che saranno dimostrate nei casi più semplici.

Nell'applicazione del metodo del simplesso, quando il sistema delle equazioni che traduce quello dei vincoli ha più variabili, si consiglia il metodo del "pivot", supportato da un programma eseguibile al calcolatore. Non è prevista la dimostrazione delle proprietà delle matrici alle quali si ricorre applicando questo metodo.

INDICAZIONI METODOLOGICHE

I contenuti sopra illustrati, seguendo il metodo adottato dal programma per il biennio, di cui il presente programma è il naturale proseguimento, sono distribuiti per "temi", allo scopo di dare risalto ai concetti fondamentali attorno a cui si aggregano i vari argomenti; la loro ripartizione per anno, nella quale si terrà conto del valore propedeutico che alcuni argomenti di matematica hanno rispetto ad altre discipline previste dall'ordinamento o da un eventuale progetto di sperimentazione attivato nell'istituto, sarà effettuata dagli organi collegiali nell'ambito della loro programmazione didattica. In ogni caso alla fine del triennio il programma deve risultare sviluppato per intero.

Ed ancora, analogamente a quanto è suggerito nel programma per il biennio, il docente avrà cura di predisporre il suo itinerario didattico in modo da mettere in luce analogie e connessione tra argomenti appartenenti a temi diversi, allo scopo di realizzarne l'integrazione e di facilitarne la comprensione da parte degli studenti.

Nel ribadire le indicazioni metodologiche suggerite nel programma per il biennio, si insiste sull'opportunità che l'insegnamento sia condotto per problemi; si prospetti cioè una situazione problematica che stimoli i giovani, dapprima a formulare ipotesi di soluzione mediante il ricorso non solo alle conoscenze già possedute ma anche alla intuizione ed alla fantasia, quindi a ricercare un procedimento risolutivo e scoprire le relazioni matematiche che sottostanno al problema, infine alla generalizzazione e formalizzazione del risultato conseguito ed al suo collegamento con le altre nozioni teoriche già apprese.

Si ricorda a questo proposito che il termine problema va inteso nella sua accezioni più ampia, riferito cioè anche a questioni interne alla stessa matematica; in questo caso potrà risultare didatticamente proficuo storicizzare la questione presentandola come una successione di tentativi via via portati a livello di rigore e di astrazione sempre più spinti.

L'insegnamento per problemi non esclude però che il docente faccia ricorso ad esercizi di tipo applicativo, sia per consolidare le nozioni apprese dagli studenti, sia per far acquisire loro una sicura padronanza del calcolo.

In questo quadro s'inserisce l'esigenza della sistemazione assiomatica della geometria euclidea, la quale condurrà lo studente a riflettere sul significato dei termini matematici, sui loro limiti e sulla loro portata e ad acquisire un modello deduttivo che è diventato modello paradigmatico di ogni altra sistemazione razionale.

L'uso dell'elaboratore elettronico sarà via via potenziato utilizzando strumenti e metodi propri dell'informatica nei contesti matematici che vengono progressivamente sviluppati. Si citano alcuni esempi di argomenti nei quali il contributo informatico può essere particolarmente significativo: calcolo approssimato delle soluzioni di un'equazione algebrica o trascendente e di sistemi lineari, applicazioni al calcolo differenziale ed integrale, rappresentazione grafica di una funzione, applicazioni a fatti probabilistici e statistici.

Oltre a permettere l'approfondimento delle conoscenze, dei linguaggi e dei metodi propri dell'informatica, esso consente anche, mediante la visualizzazione di processi algoritmici non attuabile con elaborazione manuale, la verifica sperimentale di nozioni teoriche già apprese e rafforza a sua volta negli studenti l'attitudine all'astrazione ed alla formalizzazione per altra via conseguita.

Il docente infine terrà presenti, ai fini della preparazione professionale degli studenti, le connessioni della matematica con le discipline tecniche d'indirizzo e darà a ciascun argomento uno sviluppo adeguato alla sua importanza nel contesto di queste discipline.

In ogni caso la realtà operativa (aziendale) costituirà il punto di riferimento di ogni trattazione, in modo da dotare il giovane, che sarà chiamato a svolgere un'attività di tipo decisionale per la quale non possono bastare intuito ed esperienza, di rigorosi metodi di analisi, di capacità relative alla modellizzazione di situazioni anche complesse, di abilità connesse al trattamento di dati, che gli consentiranno di effettuare scelte consapevoli e razionali.

MODALITÀ DI VERIFICA E DI VALUTAZIONE

Le fasi di verifica e valutazione dell'apprendimento devono essere strettamente correlate e coerenti, nei contenuti e nei metodi, col complesso di tutte le attività svolte durante il processo di insegnamento-apprendimento della matematica. La valutazione non deve quindi ridursi ad un controllo formale sulla padronanza delle sole abilità di calcolo e di particolari conoscenze mnemoniche degli studenti: deve invece vertere in modo equilibrato su tutte le tematiche e tenere conto di tutti gli obiettivi evidenziati nel presente programma.

A tal fine l'insegnante si avvarrà di verifiche scritte e orali. Le verifiche scritte potranno essere articolate sia sotto forma di problemi tradizionali, sia sotto forma di "test"; potranno anche consistere in brevi relazioni su argomenti specifici proposti dal docente o nella stesura (individuale o a piccoli gruppi) di semplici programmi costruiti nell'ambito del laboratorio di informatica. Le interrogazioni orali saranno volte soprattutto a valutare le capacità di ragionamento e i progressi raggiunti nella chiarezza e nella proprietà di espressione degli studenti.

Si raccomanda altresì, non soltanto all'inizio del triennio, un'attenta ricognizione dei livelli di partenza ed intermedi dei singoli studenti, mediante accertamenti opportunamente calibrati, anche al fine di intraprendere azioni mirate di consolidamento e, se necessario, di recupero, prima di procedere oltre con lo sviluppo del programma.

 

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