El círculo de Möhr
Mario de Lama
malar@arrakis.es
http://www.arrakis.es/~malar
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Creo que por la utilidad que este círculo tiene en el estudio de las tensiones, será del agrado de muchos. Para los que no esteis interesados en el tema pero si en la programación (sobre todo en los comandos gráficos) os recomiendo también este archivo, hallareis numerosos ejemplos de programación. En un principio el programa lo hice para la HP42 (mi primera HP) y todavía conservo el listado (naturalmente no dibuja el círculo). Si alguien lo desea puede encontrarlo en mohr.zip. Al final del archivo incluyo el listado con una explicación de cada línea. En caso de que sólo quieras utilizarlo, creo que una somera lectura te bastará para aprender a introducir los datos e interpretar los resultados.
En todo este documento, cuando se lea "S" habrá de leerse sigma y cuando se lea "T", tau.
Para empezar habrá que fijarse en que al enfrentarnos a uno de estos problemas, pueden presentarse dos casos:
Por todo lo anterior, al iniciarse el programa se nos pide elegir entre una de estas dos opciones, presentando en pantalla un menú con las teclas S12, Sxy y el mensaje: ¿Qué buscas,S12 ó Sxy?. Si presionamos Sxy se activa el indicador 6 y el programa continúa, en caso de presionar S12 el programa simplemente continúa. Aclarar que este archivo trata del programa MOHR.SGX (válido para la SX y la GX) que puedes encontrar en mohr.zip, el programa MOHR.GX, que también se incluye, es básicamente igual diferenciándose en la forma de introducir los datos, y que es totalmente gráfico.
A continuación aparecerá la pantalla para la entrada de datos (dependiendo del indicador 6 contendrá unas u otras etiquetas), tras dar los valores correspondientes presionamos ENTER con lo que iniciamos una cláusula IF THEN ELSE END que, dependiendo también del estado de 6, nos resolverá el caso que hemos seleccionado. Para la entrada de datos, seguid el criterio de signos del GROB.1; en él, las direcciones positivas son todas las que no tengan expresamente el signo negativo. Cuando demos el ángulo, este siempre será el que forma el eje 1 con la dirección X (el mismo que forma 2 e Y)
Para la resolución numérica se utilizan las seis fórmulas que aparecen en la figura (podéis ver que las dos primeras son en realidad cuatro, dependiendo del signo).
Podemos destacar en THEN (de la anterior cláusula IF), que si por equivocación hemos dado unos datos tal que S1 es menor que S2, el programa produce un error y termina, ya que siempre ha de ser al contrario o como mucho pueden ser iguales. En ELSE puede producirse un error al tratar de hallar el ángulo que nos da la dirección en que se producen las tensiones principales, esto se puede deber a que se anulen numerador y denominador o solo el denominador. En el primer caso está claro que la solución ha de ser cero, ya que el círculo es un punto en el que todas las direcciones son principales. El segundo caso nos daría infinito y por tanto el arcotangente de infinito es 90 grados, para que la calculadora no nos de error al dividir por cero, activamos al principio del programa el flag -22 de forma que la división por cero nos de MAXR (su arctang. es 90).
Tras esta cláusula hemos de presentar los resultados y preparar el programa para dibujar el círculo y dado que no hemos utilizado en THEN y ELSE los mismos nombres para las mismas variables, hemos de hacerlo ahora, para ello y al final de ELSE podéis ver que recupero todas las variables que voy a usar luego y las guardo con los nombres que hubiera utilizado THEN.
Como en la construcción del círculo calculo la escala con un tamaño prefijado de PICT, le doy a este las dimensiones por defecto de la 48.
El programa nos presenta ahora otro menú para optar entre ver o no el gráfico, si presionamos NO, el programa termina. Si optamos por SI, se presenta un mensaje de espera que sobrepone todo el área de estado (por ello el salto de línea que tiene "Un momento...").
Seguidamente se ponen en la pila una serie de GROBS, que han de pegarse al gráfico, y también las coordenadas del centro y el radio del círculo. Guardamos todo ello en variables locales e iniciamos el trazado. En caso de que sea un punto (radio=0), presenta un mensaje y termina.
Hacemos que todo ángulo mayor de 180 quede reducido al suplementario equivalente (tomando el resto de dividirlo por 180) esto se debe a que el programa ha de trazar un arco, para definir el ángulo de la dirección, de la siguiente manera:
Con XRNG e YRNG escalamos PICT de forma que el círculo siempre aparezca con un radio de 2 en coordenadas de usuario. Para ello se hace una simple proporción entre el tamaño del radio y de PICT en la realidad y en coordenadas de usuario:
De esta proporción y su equivalente para el eje Y, hemos de despejar Xreal e Yreal que son las que utilizamos para fijar el rango de trazado.
Ahora mostramos la pantalla gráfica (con PVIEW) para ver como se va dibujando el círculo y no aburrirnos mientras tanto. Tras centrar PICT en el centro del círculo ( CENTR ) comenzamos a trazar este, los ejes y la línea que junto al arco nos definirá el ángulo. Al trazar el arco nos encontramos otra complicación: La calculadora siempre los traza en sentido antihorario y si no damos los parámetros con mucho cuidado, podemos encontrarnos con que el arco trazado puede ser cualquier otro menos el indicado, hay que contemplar todas las posibilidades, de ahí las cláusulas IF que aparecen en el listado.
Lo siguiente puede parecer una tontada, pero creo que el círculo tiene una mejor presentación si conseguimos que los dos GROBS que nos forman Sx (el rectángulo negro y Sx) quedan centrados en el punto (Sx,Txy) y no como nos quedarían si para pegarlos, únicamente damos las coordenadas de este punto (ver GROB.3).
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Tras superar todas las pruebas, nuestra calculadora nos presentará algo parecido a la figura adjunta, su menú es el de la 48G,GX; los que tengan la 48S,SX les aparecerá el menú correspondiente. Podíamos haber presentado el dibujo directamente con { } PICT, en vez de con GRAPH (PICTURE en la G, GX) pero de esta forma habríamos perdido la posibilidad de movernos con el cursor por la pantalla y pedir el valor de las coordenadas cuando lo deseemos. Este valor solo reflejará datos reales mientras no salgamos del entorno gráfico, ya que al presionar ON el programa continúa y termina tras borrar PPAR y poner el menú de variables. Si volvemos al entorno gráfico nos encontraremos con el mismo dibujo, pero ahora las coordenadas son las de usuario, ya no está a escala.
Podéis ver que el programa podría reducirse mucho si quitamos el trazado del arco y algún que otro GROB, pero la verdad es que ocupa relativamente poca memoria y a cambio creo que ofrece una buena presentación. A continuación paso a comentar el listado, naturalmente he cortado el listado de los GROBS por cuestión de espacio, pero si tecleáis el programa, tened cuidado de poner todos los números seguidos (salvo los dos primeros grupos de cada uno). Pediría, como derechos de autor, que respetarais mi nombre en el dibujo. Podría decir "exijo" pero me haríais el mismo caso y queda peor.
El siguiente código corresponde al programa MOHR.SGX que puedes encontrar en mohr.zip.
En lo que sigue, donde se vea \S, \T, \A se leerán, respectivamente, las letras griegas sigma, tau y alfa.
Donde se vea <= , >= , ->, se leerá menor o igual, mayor o igual o flecha.
Todo lo que haya entre @ y final de línea, se considera un comentario y no forma parte del programa.
MOHR.SGX
« RCLF -> f @ Guarda el estado actual de los flag
« 6 CF -16 CF -17 CF @ Fija: rectangulares, sexages.
-18 CF -19 SF -22 SF @ crear complejo de 2 reales y
@ el resultado infinito es MAXR.
@ En las G,GX podeis poner:
@ {6 -16 -17 -18} CF {-19 -22} SF
{ { } { "\S12" « CONT» } @ Crea el menú para optar por \Sppal.
{ } { } { "\Sxy" @ o \S en una dirección dada.
« 6 SF CONT » } } TMENU @ Esta última activa el flag 6
"¿Qué buscas,\S12 ó \Sxy?"
PROMPT @ Muestra el menú y un mensaje.
"Dame los datos.ENTER" @ Crea un mensaje para INPUT
IF 6 FS?
THEN { ":\S1: @ Dependiendo del estado de 6,
:\S2: @ crea una u otra lista de
:\A:" } @ etiquetas para la entrada de
ELSE { ":\Sx: @ datos con INPUT.
:\Sy:
:\Txy:" }
END
{ { 1 0 } V } + INPUT @ Añade la posición del cursor y
OBJ-> 0 0 -> @ verificar datos.
a b c d t @ Crea 5 variables locales.
«
IF 6 FS? @ Si buscamos \S en una dir. 'X'
THEN a b -
IF 0 <
THEN f STOF 2 MENU @ En el caso de que \S1<\S2, se
" Error: @ ponen los flag iniciales y el menú
\S1 ha de ser >= que \S2" @ de variables. A continuación se
DOERR @ genera un error y acaba.
END
a b - 2 / c 2 * COS * DUP
a b + 2 / + DUP 'd' STO
'\Sx' ->TAG SWAP NEG a b +
2 / + '\Sy' ->TAG c 2 * SIN @ Halla y etiqueta \Sx,\Sy,\Txy
a b - 2 / * DUP 't' STO @ y finalmente \Tmáx.
'\Txy' ->TAG a b - 2 /
'\Tmáx' ->TAG
ELSE @ Si buscábamos \S principales
a b - 2 / SQ c SQ + (raiz) @ (raiz)= tecla a la drcha. de TAN.
DUP a b + 2 / DUP ROT @ Halla y etiqueta \S1 y \S2
+ '\S1' ->TAG ROT ROT
- NEG '\S2' ->TAG DUP2
c 2 * NEG a b - @ Para hallar '\A':
IF OVER 0 == @ Si 'c=0', ATAN dará 0. De esta
THEN DROP @ forma evitamos posibles 0/0.
ELSE / @ En el caso de que 'a-b=0'
END @ tendremos 'c/0= ±MAXR' (por
ATAN @ tener fijado el flag -22)
2 / '\A' ->TAG @ Etiqueta al ángulo
3 DUPN a c 5 LIST @ Hace una lista con \Sx, \Txyy
6 ROLL 6 ROLL - 2 / @ los resultados, etiqueta \Tmáx
'\Tmáx' ->TAG SWAP @ Almacena los elementos de la
OBJ-> DROP 't' STO 'd' STO @ lista en las variables que
'c' STO 'b' STO 'a' STO @ hubiera utilizado la claúsula
@ THEN (con el flag 6 activado)
@ Con la 48G-GX se puede hacer:
@ eliminar las dos últimas líneas
END @ y añadir: { a b c d t } STO
# 130d # 63d PDIM @ Dimensiona PICT.
{ { } { "SI" « @ Crea un menú para optar por
" Un momento... @ ver el círculo. 'NO' termina
" 1 DISP @ el programa tras poner los flag
CONT » } { } { } @ iniciales y el menú de variables.
{ "NO" « f STOF 2 MENU @ 'SI' lo continúa y muestra un mensaje
KILL » } } TMENU @ que se sobrepone al área de estado.
" ¿Vemos el círculo?
" @ Muestra el menú con un mensaje
1 DISP 1 FREEZE HALT @ y los resultados numéricos.
GROB 24 1 55555F @ GROB 'cadena de puntos'
GROB 9 6 00000410C510 @ GROB '\Sx'
A800A4104410
GROB 10 7 FF30FF30FF3 @ GROB 'rectángulo negro'
0FF30FF30FF
30FF30
GROB 24 15 0000420000
0500045545
4C42AAA44C @ GROB 'copy-right' (mi firma)
9AA4838A49
F08A0C0182
033280C252
0022320812
5204025202
04010008F0
GROB 8 5 0EE85E522E @ GROB '\S2'
GROB 8 5 06E454542E @ GROB '\S1'
GROB 20 7 00000004425 @ GROB '\Tmáx'
0EC65504457
20454550844
550000000
a b + 2 / a b - 2 / @ Calcula el centro y el radio
p \Sx cu F \Sa \Sb \T @ Almacena todo en variables.
C r
«
IF a b ==
THEN f STOF 2 MENU @ Si \S1=\S2 el programa termina
"El círculo es un pto. @ tras poner los flag iniciales
" DOERR @ y el menú de variables.
END
c ABS 180 MOD @ Hallamos el complementario de \A
c SIGN * 'c' STO
r 3.25 * DUP NEG SWAP @ Escala PICT para que el radio
r 1.6 * DUP NEG SWAP @ sea siempre de 2 unidades en
YRNG XRNG @ coordenadas de usuario.
C 0 R->C DUP CENTR @ Centra PICT con el círculo.
{ # 0d # 0d } PVIEW @ Muestra la pantalla de gáficos
DRAX @ Traza los ejes.
r 0 360 ARC @ Traza la circunferencia.
PICT {#36d #34d} \Sa REPL @ Pega en PICT los GROBS: \S1, \S2,
PICT {#87d #34d} \Sb REPL @ puntos y \Tmáx. Las coordenadas van
PICT {#22d #7d} \T REPL @ en coord. de puntos porque son ctes.
PICT {#42d #12d} p GOR @ para todos los posibles círculos.
PICT d t R->C @ Prepara los argum. para pegar \Sx.
DUP C 0 R->C LINE @ Línea del centro al punto (\Sx,\Txy).
C 0 R->C r 1.8 / c 2 * @ Halla centro y radio del arco
IF 6 FS?C @ '2\A'
THEN 0 @ Mira si el arco lo traza de:
IF c 0 >=
THEN SWAP @ 1º, 2\A a 0
END @ 2º, 0 a 2\A
ELSE
IF c t * 0 <=
THEN NEG 0
IF c 0 <= @ 3º, (-2\A) a 0
THEN SWAP @ 4º, 0 a (-2\A)
END
ELSE 180 SWAP
IF c 0 <=
THEN NEG 180 - @ 5º, 180 a (-180+|2\A|)
ELSE - 180 @ 6º, (180-|2\A|) a 180
END
END
END
ARC @ Traza el arco del ángulo.
C->R PPAR DUP 2 GET SWAP @ Halla las coor. para colocar
1 GET - C->R 21 / ROT @ los GROBS 'rectángulo' y '\Sx'
+ SWAP .9 * 26 / ROT SWAP @ de forma que sus centros
- SWAP R->C DUP2 @ coincidan con el pto. (\Sx,\Txy).
cu GOR @ Pega el GROB 'rectángulo'.
\Sx GXOR @ Pega '\Sx'.
PICT {#106d #41d} F REPL @ Pega la firma.
GRAPH @ Muestra el entorno gráfico,
@ (en las G,GX será PICTURE).
'PPAR' PURGE f STOF 2 MENU @ Al salir de PICT pone el menú de
» @ variables, los flag iniciales
» @ y borra 'PPAR'
»
»