Capitulu ottavu
Contos de matematicas antigas
8.1
Cristianu Goldbach. (1690-1764).
Su matematicu amigu nostru no t'hiat haer tentu importantzia peruna in s'istoria de sa matematica si no po haer pesadu a Eulero in d'una litera una chistione lanosa in su 1742. Goldbach osservait chi in totus sa proas fattas, onni numeru paris, escludiu su duos po issu e totu paris e primu, haiat pothidu esser apresentadu comente una summa de duos numeros primos.
Issu pediat tando a Eulero de dimustrare chi custa propriedade est bona e valida po totus sos numeros paris, o mancari a amustrare unu esempiu in contrariu. Lenardu Eulero no zetzesit mai una arresposta a custa pregunta, e ne mai nd est istada djada una da e tando. Sa origine de sa dificultatade paret chi istet in su fattu prufundu de natura cunzetuale chi sos numeros primos funi definidos cun sa multiplica mentres chi sa chistione pesada implicat sa summa. Faeddande cun meda zeneralidade est difizile istabilire ligamentos intra sas propriedades formales de sa moltiplica de numeros intreos de una parte e sa summa de sos matessi numeros a un'atera.
Finas a pagu tempus coladu una dimustratzione de sa ipotesi, cunzettura ddi naran sos tecnicos de sa matematica de sa lozica e de sa filosofia, pariat a largu mannu e impossibile a dda sighire. Unu risultadu de importu e mancu tantu attesu istesit cunsighidu in su 1931 de unu zovanu matematicu russu, Schnirelmann (1905-1938) su cales dimustresit chi onni numeru intreu positivu podet esser presentadu comente una summa de non prus de treghentamila numeros primos. Custu risultadu est cosa de rier a paragone de sa pregunta orizinaria de tiu Cristianu Goldbach, ma non de mancu si est tratadu de unu primu passu a tretu de djare una arresposta.
Sa dimustratzione est direta a s'ozetu chi analitzat e costructiva. E prus a canta a nois in su tempus aterunu matematicu russu, Vinogradov, impreande metodicas de sa teoria de sos numeros imprestadas de Hardy, Littlewood e Ramanujam hat diminuidu su numeru dae treghentamila a batoro. S'est acosiadu meda a sa pregunta de Goldbach. Ma ddu hat una diferentzia manna intra sa dimustratzione de Schnirelmann e cussa de Vinogradov, fortzis prus sinnificante ancora de sa diferentzia intra treghentamila e batoro. Su chi Vinogradov hat de aberu dimustradu est chi a suponner chi s'agaten infinidos numeros intreos no iscumponibiles in a su massimu sa summa de batoro numeros primos nos faghet urruer in d'una contradditzione. Sa dimustratzione sua po assurdu, no est nè directa nè costructiva.
De tando sa ipotesi de Goldbach no hat fattu passo a inantis de carchi sinnificadu, ma de tantu in tantu torrat de moda, prus e prus cando enin fattos progredire ateros problemas no isortos e meda famados de sas matematicas, comente est capitadu pagu tempus coladu a s'urtimu teorema de Fermat. Sa ipotesi de Goldbach torrat de moda fintzas cando carchi libru de fortuna ona nde arreproponet s'indimustrabilidade sua, comente po esempiu est capitadu in custos annos apena colados cun sa publicatzione de Godel Escher Bach, una eterna ghirlanda brillante de Douglas Hofstadter.
Est beru chi sos teoremas de incumpletesa de Godel no escludin chi in d'unu sistema formale includente sos assiomas de Zuseppe Peano e sas lezes ordinarias de sa lozica matematica, medas teoremas beros sian indimustrabiles, (in custu sensu s'intrat una divisione intra sa beridade e sa dimustratzione) e, massimu de sas aversidades, talunos teoremas dimustrabiles arresurtan farzos cando si proat a potentziare su sistema irrichindeddu de ateros ulteriores assiomas.
Unu jogu delicadu meda de ecuilibrios a intro de su limbazu de sos simbolos, de sas lezes chi ddis faghen achistare unu sensu, sa semantica, e de sas regulas chi istabilin comente pesare propositziones zustas, sa sintassi.
Esistin de siguru finzas de sos tempos antigorios classicos problemas de importu mannu mai isortos, in sa zeometria s'in prus, ma finzas in s'aritmetica, in sa lozica, e in d'unu sinnificadu de prezisare bene in sa matessi analisi moderna, e chi sos matematicos aregos antigos bidesin chena poder isvilupare.
8.2
Sos matematicos antigos han lassadu a sa ziviltade occidentale, como paret de moda, una eredidade manna: duas hamus a narrer, ma comente hamus a bier de totuna cosa si tratat: sos aregos, a diferentzia de sos tzinesos, de sos egitzios, de sos indianos e de sos babilonesos arribesint a cumprire sa idea de sa matematica cun dimustratzione. Dimustrare cheret narrer po sos aregos antigos torrare a contu de sas beridades matematicas, fintzas de cuddas sas prus evidentes, a printzipios primos sos prus semplizes, (sos assiomas, sos postulados e sas definitziones),faghende una dedutzione cun d'una cadena de arresonamentos dispostos e espostos in manera oportuna in d'una serie de teoremas, de lemmas e corollarios.
S'imbentu de sa matematica cun dimustratzione est s'elementu su prus de importu de totu sa traditzione antiga, prus puru de s'imbentu de sa democratzia politica, sa idea de sa cales naschit e s'isvilupat esistende paris a sa idea de sa matematica cun dimustratzione: solu una sotziedade chi si fundat susu sa democratzia politica podet permitere sa idea chi unu processu dimustrativu esseret pothidu e esseret depidu cumbincher a totu cuddos chi cundividian talunos prinzipios a cumone, e sos risultados dimustrados esseren tantu prus utiles cantu mazore esseret istada sa parte posta in sa cuntierra politica. Sa matematica cun dimustratzione est tando su chirru nobile de sa metodica politica democratica.
No nos depimus meravitzare de cantu a sa zente cumuna pagu importet de sa ipotesi de Goldbach: ischire si unu numeru paris pothat essere esprimidu cales una summa de duos numeros primos no intrat in sas chistiones chi sa zente afrontat d'onnia die. No de mancus s'istoria de sa matematica est prena de esempios de problemas de pagu importu, chistiones banales solu a una oghiadedda in pitzu in pitzu e masprestu a una analisi profunda fertiles de implicatziones filosoficas e issientificas chi han sinnadu s'isviluppu de sa cultura nostra e de su modu nostru de cumprender e intendere su mundu.
Si contat chi in Persia a unu re esserent arregaladu su jogu de sos iscacos, carchi milliaia de annos colados,e issu nd'esseret abarradu gasi cuntentu de si cch'esser lassadu andare a promitere solu po piaghere suu de esaudire cale si siet esseret istadu su disizu de s'imbentore issoro. Su matematicu imbentore de su jogu gosi haiat proadu sos cricos a su re: cherzo unu ranu e trigu in sa prima domo, duos in sa segunda, batoro in sa terza e gasi a sighire arreddoppiande fintzas a s'urtima. A su prinzipe no ddi parzesit beru de haer incontradu una persona intelligente gasi e de pagas pretesas e ordinesit de acuntentare seduta stante s'ospite. Manna fudi istada sa meravitza cando dd' haiant fattu a ischire chi mancari cch'esserent isboidadu totus sa cassias de trigu de totus sos magasinos de totu su mundu, s'annu e po ateros chent'annos ancora, haiant a essere istados a largu mannu ancora de accuntentare su matematicu imbentore. Sa sessantabatoresima domo de sa iscachiera haiat haer depidu cuntenner 2^64 ranos de trigu, unu istrabiliante numeru de deghenoe cifras pari a 9 223 372 036 854 775 808 (noe miliardos de miliardos de ranos de trigu!). Su re fudi suferente de una sindrome connota e comente insensibilidade a sos numeros mannos, maladia chi est ancora endemica in medas partes de su mundu.
Si in su contu de su prinzipe arresurtan bene cuados lazos de natura teorica, diferente meda fud'istada sa pregunta de s'oracolo de Delo a una tropa de fideles chi fuan andados a su tempiu suu a pedire gratzias. Custos fideles, cuntentos medas de cantu su deus ddis haiat promissu ddi domandesin e ite esseren pothiu faer po ddu arricambiare de tantas atentziones. E s'oraculu preguntesit chi dd'esseren pesadu unu marmaru cubu a su doppiu de cuddu susu su cales fintzas a tando istesit collocadu. Ancora prus cuntentos de sas pagas pretesas de su deus si cche torresin a domo: su marmaru a s'istatua de Apollo cch'est ancora in su marmista. Sos matematicos antigos pretendian chi sos problemas zeometricos essere isortos impreande solu riga e cumpassu, no s'amitian ateras aliagas e no fuana bonas sas solutziones aprossimadas. Po acutentare a Apollo sos fideles t'hian haer depidu pesare unu cubu su ispigulu de su cales esseret misuradu k=2^(1/3)*h inue h est sa misura de s'ispigulu betzu. Ddu hat cherfidu 2000 annos prima de dimustrare chi su problema no podiat esser isortu solu cun riga e cun cumpassu, e sa natura noa de su numeru chi nois modernos declaramus comente sa raighina cubica de duos, unu numeru irratzionale diferente de sos numeros ratzionales cun sos cales operaian sos aregos, fudi istada in gradu de iscuncuessare totus sas creidorias de sos matematicos classicos. E cando pagu tempus a pustis haian recuidu a domo s'iscoberta de sa incumensurabilidade de sa diagonale de su cuadradu cun su latu rispectivu isorbende su problema de sa raighina cuadrada de duos, sos pitagoricos non si funi retentos ne mancu de fronte a unu crimine, assassinande a unu cumpanzu issoro chi haiat iscoviadu s'iscoberta, po cuare a su mundu intreu de no haer sa balentia de afrontare e isorber su problema.
Su numeru (1+Sqrt[5])/2, (GoldenRatio), su raportu de oro, fudi tantu tentu in cunsideru de sos aregos, paris cun su reziprocu suu, de esser elettu a rapresentare sos criterios de proportzionalidade in tra sas partes de unu totu chi s'esserat pothidu cunsiderare bellu e armoniosu. Si tratat de su mai meda mentovadu raportu aureu, su sinnificadu pretzisu de su cales, in teoria de sos numeros, in alzebra, in filosofia e in teoricas de s'arte de pintare hat depidu aspetare prus de mill'annos a dd'acrarare cun cabu. Cosa arrenessida a Lenardu Pisanu Fibonacci, unu majarzu prus che unu matematicu, mi haiat nau unu alunnu meu a sa fine de unu istudiu istoricu e matematicu susu custu filosofo mannu, dilliriadu po s'istudiu de sos matematicos arabos e classicos. E fintzas sos risultados de Fibonacci, a unu zertu puntu, paren cunverzere a s'ipotesi de Goldbach. A tempus.
8.3
In calincuna manera intropeddadu a su problema pesadu de sos matematicos pitagoricos de sa incomensurabilidade, hamus a narrer de sa impossibilidade de agatare unu suttamultiplu adeguadu chi istet in modu esattu unu numeru intreu de ortas in d'unu segmentu de rectilinea, de unu lados de su cuadradu cun sa rispectiva diagonale, est su problema de rectificare su cricu, de agatare unu segmentu longu cantu a unu cricu de su cales siat connotu su diametru.
Semper solu cun riga e cumpassu. Sa diagonale de su cuadradu, mancari siat esprimida de unu numeru irratzionale, Sqrt[2], si podet semper custruire cun riga e cumpassu, e a ddu fagher est fazile. Su cuadradu est luego a pustis de su triangulu de lados uguales, su poligono regulare su prus semplize. Sos aregos ischiant chi aumentande sos lados de unu poligono regulare inscrittu in d'unu cricu si aprossimaiat cun d'unu gradu de pretzisione arbitraria sa misura de su cricu in cunsideru.
Si sa diagonale de su cuadradu si podet costruire cun riga e cumpassu poite non s'hat a poder fagher ater e tantu cun su diametru de su cricu chi est una zeneralitzatzione de su poligono regulare cun d'unu numeru de lados infinidu? Luego issos han depidu fagher sos contos cun sos latzos chi s'Infinidu ddis parada. Si su cricu esserat misuradu batoro, ( su perimetru de su cuadradu), sa diagonale de su cales medit Sqrt[2]), su diametru a isse relativu mediat batoro divididu po Pi aregu, su malefamudu 3.14...
E Pi aregu non solu arresurtada de esser irratzionale, ma de prus non costruibile cun riga e cumpassu in su sensu chi pretendiant sos matematicos. Po ateros dua mill'annos funi istadas pregonadas metodicas de rectificatzione de su cricu, macchè, su cricu non d'hat cherfidu s'intesa, finzas a cando non benesit dimustrada sa impossibilidade definitiva de sa rectificatzione e sa natura irratzionale e trscendente de su numeru Pi aregu.
Carchi matematicu s'hat leadu su tentu de calculare a manos finzas milli cifras deghimales de Pi aregu cun sa intentzione de nde poder iscoberrer una leze semplice de cumpositzione. Oe unu bonu calculadore benit testadu faghendeddi calculare unu milione de cifras de Pi aregu. Abarrat sa impossibilidade de isorbere esattamente su problema.
In ateros aresonamentos hamus torradu a contu de ateros problemas, sos numeros amigos, sos numeros primos, sos numeros de Mersenne, s'urtimu teorema de Fermat, sos numeros ciclicos e ateras curiosidades. E tando in custas isfidas intellettuales si collocat s'ipotesi de Goldbach.
Nois non pensamus mancu unu pagu de dd'haer dimustrada. In calincun'atera ocasione nd'hamus arresonadu de su poite. Ma sa matematica non podet esser prus, in sas iscolas una jumpada in su desertu: chie dd'istudiat ddu e depet leare gustu: e su gustu prus mannu est a si misurare cun sos problemas e a chircare de nd'irboligare calincunu. Medas bortas serbit s'intelligentzia, ma unu pagu de fortuna non guastat. Cun salude a totus.