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Capitulu sestu
Unu rebus antigu

a_domo_(in_custu_file)

tantu, fibonacci, amitimus.


In d'un'opera de matematica databile a su 1225, Flos, Lenardu Pisanu Fibonacci publicat sas raighinas de una ecuatzione de tertzu gradu, una cubica hamus a narrer como, e sa cosa ispantat s'istudiosu modernu po sa prezisione numerica e po sas metodicas.
Sa ecuatzione in chistione est x^3+2 x^2+10 x==20, e sa raighina chi Fibonacci esibit, in notatzione sessagesimale est:1;22;7;42;33;4;40. Coincidente cun sa raighina moderna fintzas a sa cifra sa e doighi. Ma si sas metodicas po ddas isorber funi istadas imbentadas tres seculos a pustis, de inue Fibonacci hat imparadu a tratare custas ecuatziones? Unu suspectu nois ddu tenimus.

(a_domo)


6.1


Tantu po cumintzare nois chircamus sas raighinas de s'ecuatzione cun sa funtzione preparada Solve. Sa ecuatzione chi semus analitzande est connota in s'universu mundu cun su numene de ecuatzione de Lenardu. Nde dimandamus a su calculadore una aprossimatzione de binti cifras a pustis de sa virgula. Essende chi Fibonacci haiat traballadu in notatzione sessagesimale, po fagher unu cunfrontu hamus a cunvertire sa raighina sua in notatzione deghimale.


saraighina=N[Solve[x^3+2 x^2+10 x==20],20]
{{x -> 1.3688081078213726352},
{x -> -1.6844040539106863176 + 3.4313313501976922172 I},
{x -> -1.6844040539106863176 - 3.4313313501976922172 I}}


Sa ecuatzione de Lenardu tenet tre raighinas: una reale e duas cumplessas: Fibonacci connoschiat solu sa reale , mancari esseret pothiu calculare sas raighinas cumplessas, cun sas tecnicas matematicas a dispositzione no t'hiat a essere istadu in gradu de interpretare in peruna manera custas raighinas. E tando sos arresonamentos chi sighin si riferint totus a sa raighina reale.
Nde dda ogamus de s'imparis.


modernafib=saraighina[[1,1,2]]
1.3688081078213726352


E a pustis dda ponimus a cunfrontu cun sa raighina de sa ecuatzione calculada da e Fibonacci.


antigafib=N[Expand[
1+(22/60)+7 (1/60)^2+42 (1/60)^3+33 (1/60)^4+
4 (1/60)^5+40 (1/60)^6],20]

1.36880810785322359396
N[antigafib-modernafib]
                -11
3.1851 10


Si biet chi sa diferentzia tra s'una e s'atera cumintzat a si notare a sa de doighi cifras deghimales. Unu miraculu. (a_domo).


6.2


Fibonacci ischidiat agatare sas raighinas de una ecuatzione a coeficientes numericos sena duda peruna. Prus e prus ischidiat faer custu cun sas ecuatziones de segundu gradu. E tando su problema de sos cunillos de Fibonacci ateru no est si no una metodica po isorbere sas ecuatziones de segundu gradu a coeficientes numericos.


Clear[F]
F[0]:=1
F[1]:=1
F[n_]:=F[n]=F[n-1]+F[n-2]


Sa serie de Fibonacci si calculat fazilmente summande tra issos sos duos termines chi prezedint cussu leadu in cunsideru:


Table[F[k],{k,0,10}]

{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89}


Prus pagu est connota sa propriedade de sa serie chi dividinde unu termine po su termine chi enit prima si aprossimat bene unu numeru famadu: su raportu aureu.


N[GoldenRatio]
1.61803
Table[N[F[k]/F[k-1]],{k,10,20}]
{1.61818, 1.61798, 1.61806, 1.61803, 1.61804, 1.61803,

1.61803, 1.61803, 1.61803, 1.61803, 1.61803}


E su numeru de oro, unu numeru chi tenet unu riferimentu pretzisu cun sos cunillos de tiu Lenardu, est una raighina de custa ecuatzione: x^2 - x -1 = 0 , chi essende de segundu gradu, de raighinas nde tenet duas. Si cunsideret solu sa segunda. Fibonacci non connoschiat sos numeros negativos:


N[Solve[x^2-x-1==0]][[2]]

{x -> 1.61803}

(a_domo).


6.3


Amitimus de cherrer agatare, cando nde tenen de reales, sas raighinas de una ecuatzione de segundu gradu iscritta sutta custa forma: x^2==b+a x. Custa ecuatzione, si narat, tenet una forma caracteristica: F[n]=b F[n-2]+a F[n-1], chi innestat unu prozedimentu ricursore, e permitit de calculare una raighina cun sa formula F[n-1]/F[n-2].
Po esempiu a piaghere nostru sa ecuatzione x^2-3 x+2==0 enit isorta ponende a x=1, e x=2.
Ponimus cun passatzos alzebricos faziles:


x^2-3x+2 == 0;
x^2 == 3x-2;
x == 3 - 2/x
Y[n]=3 Y[n-2]-2 Y[n-1];


N[Solve[x==3 x-2]]
{{x -> 1.}}
Clear[Y];
Y[0]:=0.9
Y[1]:=0.6
Y[n_]:=Y[n]=N[3 Y[n-1]-2 Y[n-2]]
Table[Y[k],{k,1,10}]

{0.6, 0., -1.2, -3.6, -8.4, -18., -37.2, -75.6, -152.4, -306.}
N[Y[40]/Y[39]]
2.


Troppu in presse. Si s'ecuatzione essere istada tando x^2-3 x+5==0, chi amitit una de custas duas raighinas x=4.192582...dda t'haiamus posta in custa forma:


x^2-3 x-5 == 0;
x^2 == 3 x+5;
x == 3 + 5/x;


T[n] = 3 T[n-1]+5 T[n-2];
Clear[T];
T[0]:=1
T[1]:=1
T[n_]:=T[n]=N[3 T[n-1]+5 T[n-2]]
N[T[20]/T[19],7]

4.192582
N[Solve[x^2-3 x-5==0],7]
{{x -> -1.192582}, {x -> 4.192582}}


Est una metodica chi si podet fintzas impreare in sa crica de sas solutziones de ateras ecuatziones. Po esempiu custa chi si narat de Padovan, (leamus in cunsideru semper solu sa raighina reale):

raigh=N[Solve[x==1/x^2+1/x+1],10]

{{x -> 1.839286755},{x -> -0.4196433776 + 0.6062907292 I},
{x -> -0.4196433776 - 0.6062907292 I}}
raigh[[1,1,2]]
1.839286755
A[0]:=1
A[1]:=1
A[2]:=1
A[n_]:=A[n]=A[n-3]+A[n-2]+A[n-1]
padraigh=N[A[50]/A[49],10]

1.839286755


Non podimus negare chi Fibonacci connoschiat a s'antiga custu algoritmu po irboligare ecuatziones. E custu algoritmu hat impreau po sa ecuatzione de Lenardu: sa sua. Rimandamus a su quadernu de mathematica n.2 Fibonacci po una discussione de custa chistione, chi po sas implicatziones chi pesat non deghet a esser mentovada inoghe. (a_domo).


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