Su jogu
"Opineddu, Su Attu e Marzane ian'appena finiu de chenare. Ca non teniana gana ona Marzane si ch'iad pappau una pudda cott'a buddiu e Su Attu tres chilos de zarrette frissiu. 'Bies Opineddu,incominzad'a isterrere Marzane, su tempus nos ha' leau a truba. Jeo seo urruttu e seo tantos annos zoppu. Compare Su Attu este zurpu 'e naschidorzu. Non tenimus amparu perunu. Pero': poberos si, ma po onestade! Nois non semus comente jajos nostros chi si ch'ian furau s'oro a jaju tuu, bonanima. Nois semus impresarios de s'intelligenzia. Nois ponimus a fruttu solu ideas geniales. E nde tenimus una chi anda' bene a tie. Cantu es chi t'ha zau PappaFogu? Sessantabattoro marengos de oro? Menzus de cussu non poded'essere. Arrea ca m'acconzo su bacculu e benzo a t'ammustrare su progettu. Tue pones su capitale e nois ponimus su triballu. Este unu progettu continentale, roba iscientifica, matematica pura. Nois amus dimostrau chi 64 este uguale a 65. Amus costruiu una iscacchiera, comente risultada de sos disegnos. In ite consisti' su triballu: bastad'a sistemare sos 64 marengos de oro, unu in d'ogni quadrateddu de sa iscacchiera quadrada. Nois in d'unu minutu dd'ismontamus e dda ricomponimus ind'una iscacchiera rettangulare tale e quale sos pezzos comente funi.Non t'accattas de nudda,Opineddu? Su quadratu este dividiu in duos triangulos rettangulos congruentes, sos catetos de sos cales misurana otto e tres,e in duos trapezios congruentes cun sas bases maiores chi misuran chimbe e sas minores tres. Custas matessis figuras, senza truccu e senza ingannu ddas rimontamus a faere su rettangulu chi no hada mancanzia peruna.Ja ddu creo. Si nois contamus bene in su rettangulu ddu ad'unu quadrateddu in prusu, e duncas unu marengu 'e oro in prusu. Bastad'a faer s'operazione sessantabattoro ortas ind'una die e amus arreddoppiau su capitale. Ind'un'annu semus milionarios. Ite seo nande milionarios, miliardarios! Su progettu si narada sujogu, e dd'ada istudiau Compare Su Attu, ca este unu attu siamesu, et este iscrittu tottu in sardu, po esser prus craru e ddu cumprendere senza si depede iscrebeddare. Abbadiadiddu e poi bie' due ite mi narrere.
sujogu[a_,b_,c_]:=
Module[{quadratu,rettangulu,l1,l2,l3,l4,
j=a,h=b,k=c},
pq=Table[N[x+I y],
{x,0,k},{y,0,k}];
coordquad=Map[{Re[#],Im[#]}&,pq,{2}];
orquad=Map[Line,coordquad];
verquad=Map[Line,Transpose[coordquad]];
quadratu=Show[Graphics[Join[orquad,verquad]],
AspectRatio->Automatic,
DisplayFunction->Identity];
pr=Table[N[x+I y],
{x,k+2,k+h+2},{y,0,k+h}];
coordrett=Map[{Re[#],Im[#]}&,pr,{2}];
orizzrett=Map[Line,coordrett];
verrett=Map[Line,Transpose[coordrett]];
rettangulu=Show[Graphics[Join[orizzrett,verrett]],
AspectRatio->Automatic,
DisplayFunction->Identity];
l1=Show[Graphics[{RGBColor[1,0,0],
Thickness[0.008],
Line[
{{0,0},{k,0},{k,k},{0,k},{0,0},{k,j},{0,j}}]}],
DisplayFunction->Identity];
l2=Show[Graphics[{RGBColor[1,0,0],
Thickness[0.008],
Line[{{j,j},{h,k}}]}],
DisplayFunction->Identity];
l3=Show[Graphics[{RGBColor[1,0,0],
Thickness[0.008],
Line[
{{k+2,0},{h+k+2,0},{h+k+2,h+k},{k+2,h+k},
{k+2,0},{h+k+2,h+k}}]}],
DisplayFunction->Identity];
l4=Show[Graphics[{RGBColor[1,0,0],
Thickness[0.008],
Line[
{{k+2,k},{k+2+j,k},{k+2+h-j,h},{k+2+h,h}}]}],
DisplayFunction->Identity];
Show[quadratu,rettangulu,l1,l2,l3,l4,
DisplayFunction->$DisplayFunction];];
sujogu[3,5,8]
Opineddu abbarresit'a bucca aperta. Uguales sas figuras de sa suddivione ma unu quadrateddu in prusu: unu marengu 'e oro in prusu. In pagu tempus capitalistas! E poi, cun custas bravas personas! Ma comente che oghesit su bussittu de una buzzacca po disponnere sos marengos in sa iscacchiera Su Attu e Marzane isparisessin che lampos cun s'oro e cun sas bonas intenziones.
A nois nos'este abarrau su progettu e l'ispiegamus facilmente cun sardas disquisiziones: In sa espressione de sujogu podimus notare chi su truccu funzionada solu cando sos argumentos funi termines consecutivos de sa seride fibonacci,(rimandamus su lettore interessau a un'attera pelea letteraria chi tene'titolu propriu fibonacci). Senz'intrare in dettaglios tecnicos infadosos e non meda significantes como, affirmamus chi prusu es mannu s'indighe de su termine de sa serie de fibonacci chi consideramus e prusu, semplificande s'espressione comparid'unu termine infinitesimale chi misurada s'area de su quadrateddu chi essidi po miraculu. Custu fattu chered narrere chi po numereddos pitticcos su quadratu 'e sa suddivione fatta de Marzane no este uguale a sa ricumposizione rettangulare. Ma po numeros mannos, meda mannos, tale disuguaglianzia isparid,e sas cosas torran'a postu. Cun bona paghe de Opineddu..
Expand[
Simplify[
Divide[
Expand[
(f[n]+f[n-1]) f[n-1]-f[n]^2-1],-f[n-1]^2]]]/.
{f[n]^2/f[n-1]^2->N[GoldenRatio^2],
f[n]/f[n-1]->N[GoldenRatio]}
-2
0. + f[-1 + n]
De cando Sa Regione ha fattu sos rimboschimentos a opinu, sos Opineddos de omo nostra funi aumentaos meda.
Ma non nde mancana finas in s'antiga. Thiu Martine e sa terza D de sa Ragioneria de Macumere.
Il Progetto della Volpe e del Gatto
(*tutto ciò che scriviamo dentro le parentisi e l'asterisco viene ignorato dal programma*)
ilgioco[j_,h_,k_]:=
(*ilgioco[j,h,k], disegna un rettangolo e un quadrato che sembrano ricavati con le stesse figure geometriche, due triangoli e due trapezi, ma che hanno aree differenti. j,h,k sono tre numeri naturali che appartengono alla serie di
Fibonacci, se si vuole che il trucco venga a galla, si pongano altri numeri.*)
Module[{quadrato,rettangolo,l1,l2,l3,l4},
(*Module[{var}] costringe le variabili che sono suoi argomenti ad essere interni al programma*)
pq=Table[N[x+I y],
{x,0,k},{y,0,k}];
(*pq è l'abbreviazione di punti del quadrato. Consiste in un insieme di numeri complessi della forma a+bI. Table è un iteratore, x e y le sue variabili, nel campo di variabilità che ha per estremo inferiore zero ed estremo superiore k*)
coordquad=Map[{Re[#],Im[#]}&,pq,{2}];
(*coordquad significa coordinate del quadrato. E' un insieme di coppie di numeri che nel piano cartesiano sono le coordinate dei punti dove linee orizzontali e linee verticali si incontrano*)
(*Map[arg] è una funzione che si applica a una lista di numeri, o di altre cose, in questa occasione separa le parti reali dalle parti imaginarie dei numeri di forma a+bI per farne una coppia di forma <a,b>*)
(*#, il cancelletto,e &,la e commerciale, sono delle abbreviazioni per la funzione Function[arg], anzi diciamo che si tratta della notazione postfissa di Function*)
orquad=Map[Line,coordquad];
(*orquad vuol dire orizzontali del quadrato. Line fuori da un contesto grafico è una funzione che in modo formale congiunge punti con tratti lineari. In questa occasione le coppie numeriche di coordquad, che rappresentano coordinate di punti nel piano cartesiano sono relazionate tra di loro in modo che da un punto all'altro passi una linea orizzontale.Map fa in modo che Line sia applicata a tutte le coppie di coordquad*)
verquad=Map[Line,Transpose[coordquad]];
(*verquad è la abbreviazione di verticali del quadrato.Per poter disegnare linee verticali le coordinate di un punto si devono scambiare: x deve diventare y e viceversa. Questo compito nell'insieme di numeri coordquad viene assolto dalla funzione Transpose[arg]*)
quadrato=Show[
Graphics[
Join[orquad,verquad]],
AspectRatio->Automatic,
DisplayFunction->Identity];
(*quadrato è il nome che diamo a un oggetto grafico fatto con le linee orizzontali e verticali orquad e verquad. DisplayFunction->Identity inibisce al programma l'output grafico. Oltre,quando ci servirà il grafico, toglieremo questa chiave*)
pr=Table[N[x+I y], {x,k+2,k+h+2},{y,0,k+h}];
(*pr sta per punti del rettangolo*)
coordrett=Map[{Re[#],Im[#]}&,pr,{2}];
(*coordrett sta per coordinate del rettangolo*)
orizzrett=Map[Line,coordrett];
(*orizzrett sta per orizzontali del rettangolo*)
verrett=Map[Line,Transpose[coordrett]];
(*verrett sta per verticali del rettangolo*)
rettangolo=Show[Graphics[Join[orizzrett,verrett]],AspectRatio->Automatic,DisplayFunction->Identity];
(*rettangolo è il nome di un oggetto grafico fatto di linee orizzontali e verticali.AspectRatio->Automatic è una direttiva per far sì che angoli retti appaiano a video realmente angoli retti*)
l1=Show[Graphics[{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.008],Line[{{0,0},{k,0},{k,k},{0,k},{0,0},{k,j},{0,j}}]}],DisplayFunction->Identity];
(*l1 è una linea che unisce in sequenza i punti, le cui coordinate sono gli argomenti di Line. RGBColor[arg] è
una direttiva grafica per il colore, in questa occasione rosso*)
l2=Show[
Graphics[
{RGBColor[1,0,0],
Thickness[0.008],
Line[{{j,j},
{h,k}}]}],
DisplayFunction->Identity];
(*l2 è un'altra linea. Thickness[val] è una direttiva per lo spessore delle linee*)
l3=Show[
Graphics[
{RGBColor[1,0,0],
Thickness[0.008],
Line[{{k+2,0},
{h+k+2,0},
{h+k+2,h+k},
{k+2,h+k},
{k+2,0},
{h+k+2,h+k}}]}],
DisplayFunction->Identity];
(*l3 è un'altra linea. Gli argomenti della funzione Line vengono collegati con le variabili j,h,k che abbiamo scelto noi*)
l4=Show[
Graphics[
{ RGBColor[1,0,0],
Thickness[0.008],
Line[{{k+2,k},
{k+2+j,k},
{k+2+h-j,h},
{k+2+h,h}}]}],
DisplayFunction->Identity];
(*l4 è un'altr linea*)
Show[quadrato,rettangolo,l1,l2,l3,l4,
DisplayFunction->$DisplayFunction];];
(*tutto il lavoro viene mostrato a video con la funzione Show, dove si provvede a disattivare la chiave DisplayFunction. Il programma lavora chiamando per nome la funzione, ilgioco, e dandole argomenti
adeguati*)
ilgioco[3,5,8]
Su Progettu de Marzane e de Su Attu
(*tottu su chi iscriimos aintro de parentisi e asteriscu enidi ignoradu dae su programma*)
sujogu[j_,h_,k_]:=
(*sujogu[j,h,k],disegnada unu quadratu e unu rettangulu chi paren fattos cun sas mattessis figuras geometricas, duos triangulos e duos trapezios, ma hana areas differentes.j,h,k sunu tres numeros naturales chi appartenene a sa serie de Fibonacci, si mai si chere chi su truccu enzad'a campu si ponen atteros numeros*)
Module[{quadratu,rettangulu,l1,l2,l3,l4},
(*Module[{var}] costringhede sas variabiles chi sun argumentos suos a essere internas a su programma*)
pq=Table[N[x+I y],
{x,0,k},{y,0,k}];
(*pq est sa abbreviazione de puntos de su quadratu. Consistidi in d'unu imparis de numeros cumplessos de saforma a+bI. Table est unu iteradore, x e y sas variabiles suas, in su campu de variazione de estremu inferiore zero e estremu superiore k*)
coordquad=Map[{Re[#],Im[#]}&,pq,{2}];
(*coordquad significada coordinadas de su quadratu. Este unu imparis de coppias de numeros chi in su pianu cartesianu sunu sas coordinadas de sos puntos inue lineas orizzontales e lineas verticales si incontrana*)
(*Map[arg] este una funzione chi si applicada a una lista de numeros, o de atteras cosas, in custa occasione separada sas partes reales de sas partes imaginarias de sos numeros de sa forma a+bI pro nde faghere una coppia de sa forma <a,b>*)
(*#, su cancelleddu,e &,sa e cummerciale, sunu una abbreviazione de sa funzione Function[arg],anzis namos chi si trattada de sa notazione postfissa de Function*)
orquad=Map[Line,coordquad];
(*orquad chere narrere orizzontales de su quadratu.Line foras de unu cuntestu graficu este una funzione chi in modu formale cungiunghede puntos cun trattos lineares. In custa occasione sas coppias numericas de coordquad, chi rappresentana coordinadas de puntos in su pianu cartesianu sunu relazionadas tra issas in modu chi de unu
puntu a s'atteru passede una linea orizzontale.Map faghed'in modu chi Line sia applicada a tottus sas coppias de coordquad*)
verquad=Map[Line,Transpose[coordquad]];
(*verquad est sa abbreviazione de verticales de su quadratu.Pro poder disinnare lineas verticales sas coordinadas de unu puntu si devene iscambiare: x depede diventare y e viceversa. Custu dovere in s'imparis de numeros coordquad enidi assolvidu de sa funzione Transpose[arg]*)
quadratu=Show[
Graphics[
Join[orquad,verquad]],
AspectRatio->Automatic,
DisplayFunction->Identity];
(*quadratu est su numene chi damos a unu oggettu graficu fattu cun sas lineas orizzontales e verticales orquad e verquad. DisplayFunction->Identity impedid'a su programma s'output graficu. Pius a innantis,can-
do nos hada a servire su graficu, nde ogamus custa crae*)
pr=Table[N[x+I y],
{x,k+2,k+h+2},{y,0,k+h}];
(*pr istada pro puntos de su rettangulu*)
coordrett=Map[{Re[#],Im[#]}&,pr,{2}];
(*coordrett istada pro coordinadas de su rettangulu*)
orizzrett=Map[Line,coordrett];
(*orizzrett istada pro orizzontales de su rettangulu*)
verrett=Map[Line,Transpose[coordrett]];
(*verrett istada pro verticales de su rettangulu*)
rettangulu=Show[
Graphics[
Join[orizzrett,verrett]],
AspectRatio->Automatic,
DisplayFunction->Identity];
(*rettangulu est su numene de unu oggettu graficu fattu de lineas orizzontales everticales.AspectRatio->Automatic este una direttiva pro fagher si chi angulos rettos s'assimbizzene a angulos rettos*)
l1=Show[
Graphics[
{RGBColor[1,0,0],
Thickness[0.008],
Line[{{0,0},
{k,0},
{k,k},
{0,k},
{0,0},
{k,j},
{0,j}}]}],
DisplayFunction->Identity];
(*l1 este una linea chi unidi in sequenzia sos puntos, sas coordinadas de sos cales sun sos argumentos de Line.RGBColor[arg] este una direttiva grafica pro su colore, in custa occasione ruju*)
l2=Show[
Graphics[
{RGBColor[1,0,0],
Thickness[0.008],
Line[{{j,j},
{h,k}}]}],
DisplayFunction->Identity];
(*l2 este un'attera linea. Thickness[val] este una direttiva pro sa russesa de sa linea*)
l3=Show[
Graphics[
{RGBColor[1,0,0],
Thickness[0.008],
Line[{{k+2,0},
{h+k+2,0},
{h+k+2,h+k},
{k+2,h+k},
{k+2,0},
{h+k+2,h+k}}]}],
DisplayFunction->Identity];
(*l3 est un'attera linea. Sos argumentos de sa funzione Line benin cullegados cun sas variabiles j,h,k chi amos seberadu nois*)
l4=Show[
Graphics[
{RGBColor[1,0,0],
Thickness[0.008],
Line[{{k+2,k},
{k+2+j,k},
{k+2+h-j,h},
{k+2+h,h}}]}],
DisplayFunction->Identity];
(*l4 este un'attera linea*)
Show[quadratu,rettangulu,l1,l2,l3,l4,
DisplayFunction->$DisplayFunction];];
(*tottu su tribagliu enidi ammustradu a video cun sa funzione Show, inue si disattivada sa crae DisplayFunction.
Su programma tribagliada giammandelu a numene, sujogu, e dandeli argumentos cunbenientes*)
sujogu[3,5,8]
sujogu[8,5,8]
Il Gioco
"In quella sera uggiosa Pinocchio era in compagnia del Gatto e della Volpe che avevano appena finito di cenare, la fame quella volta non li aveva dannati più di tanto da trangugiare una gallina lessata e tre chili di zerri fritti. Si erano dati appuntamento a S'Orzale Tundu, sotto l'albero di quercia, vicino alla fontana antica.
La Volpe ne raccontava una delle sue, quelle che imbrogliavano anche il più astuto degli uomini, specie se ha bisogno di sbarcare il lunario in fretta e senza fatica. Si lamentava della povertà, del tempo che incalza senza soste e non dà tregua a chi come lui è zoppo e al suo Compare, cieco fin dalla nascita. Si consideravano migliori dei loro avi che avevano rubato l'oro alla buonanima del nonno, imprenditori dell'intelligenza, scienziati che pongono a frutto solo idee geniali; ma quella buona, la migliore, la avevano riservata per lui. Si sistemò il bastone pensando di raccontarla meglio, per essere più convincente.Vedi Pinocchio, incominciò, tu metti il capitale e noi il lavoro, progetto continentale, idea altamente scientifica, matematica pura. Il progetto richiede la sistemazione dei 64 marenghi d'oro che ti ha dato Mangiafuoco, uno in ogni quadratino della scacchiera quadrata, in un attimo la scomponiamo e ricostruiamo in rettangolo con le stesse figure geometriche di prima. Pinocchio, hai capito
bene? Il quadrato è diviso in due triangoli rettangoli congruenti, i cateti misurano otto e tre e in due trapezi congruenti con le basi maggiori cinque e minori tre. Le stesse figure senza trucco e senza inganno le rimontiamo per costruire il rettangolo. Se conti bene c'è un quadratino in più. Se in un solo giorno ripetiamo l'operazione 64 volte, raddoppiamo il capitale; in capo a un anno siamo milionari, ma che dico via, miliardari.Il progetto si chiama, il gioco, è un'idea di Compare Gatto, ingegnoso, non per nulla è di origine siamese. L'abbiamo scritto in lingua sarda per facilitarne la comprensione senza ricorrere a ragionamenti complessi ed elucubrazioni inutili e dannose.'
Pinocchio è senza parole, a bocca aperta, non crede ai suoi occhi. Si mise a fare un pò di conti: 64 e 65, 65 o 64, 64 e, anche 65. Booh! Uguali le figure, la loro suddivisione, ma il quadrato in più c'è e si vede. Si sente già un capitalista, assieme a così brave persone. Ma appena toglie dalla tasca il portamonete per disporre i marenghi sulla scacchiera, il Gatto e la Volpe spariscono in un lampo in sa Bicca de Siddò e così pure i marenghi, le buone intenzioni e gli onesti propositi. A Pinocchio, incredulo non rimane altro che andarsene sconsolato a su Marigosu. A noi è rimasto il progetto e lo spieghiamo facilmente con disquisizioni sarde: nella espressione del 'gioco' possiamo notare che il trucco funziona solo quando gli argomenti sono termini consecutivi della serie di Fibonacci, (rimandiamo il lettore interessato a un'altra fatica letteraria che ha per titolo proprio Fibonacci). Per ora, senza entrare in dettagli tecnici e fastidiosi e non molto significativi, affermiamo che più è grande l'indice del termine della serie di Fibonacci che consideriamo e più evidente appare,semplificanl'espressione, un termine infinitesimale che misura l'area del quadratino che appare per miracolo. Il fatto mostra che per numeri piccoli il quadrato della suddivisione fatta dalla Volpe non è uguale alla ricomposizione rettangolare. Ma per numeri grandi, molto grandi, tale disuguaglianza scompare, e le cose tornano al loro posto. Con buona pace di Pinocchio.";
Expand[
Simplify[
Divide[
Expand[
(f[n]+f[n-1]) f[n-1]-f[n]^2-1],-f[n-1]^2]]]/.
{f[n]^2/f[n-1]^2->N[GoldenRatio^2],
f[n]/f[n-1]->N[GoldenRatio]}
-2
0. + f[-1 + n]
"Da quando la regione ha fatto i rimboschimenti con pini, i pinocchi di casa nostra sono aumentati a dismisura. Ma non ne mancavano nell'antichità.
Il signor Martino e la terza D IGEA dell'ITCG 'S.Satta' di Macomer. ";
