Data la funzione y = f(x), definita in un intervallo [ a, b ], preso  un suo punto P di ascissa  x_o  e ordinata   f(x_o), dando  a  x_o  un incremento   di  valore  h  si ottiene un punto Q  di ascissa  x_o + h e di ordinata   f(x_o + h).

Le differenze  tra le ascisse x_o e (x_o + h) e le ordinate f(x_o) e f(x_o+h) dei punti  P   e  Q  sono gli incrementi che subiscono le due variabili:

Delta x (incremento della variabile indipendente x) è la differenza tra l'ascissa del punto Q e l'ascissa del punto P	Delta y (incremento della variabile dipendente y) è la differenza tra l'ordinata del punto Q e l'ordinata del punto P

Il rapporto tra questi incrementi, quello della  variabile dipendente  y  e quello della variabile indipendente  x, si definisce rapporto incrementale della funzione

Rappresentata la funzione su un piano cartesiano ortogonale, risulta evidente che l'incremento della variabile indipendente h = x_o + h - x_o corrisponde alla misura del segmento PH e che l'incremento della variabile dipendente f(x_o+h) - f(x_o) è la misura del segmento QH, quindi il rapporto incrementale corrisponde al rapporto fra le misure dei segmenti QH e PH, cateti del triangolo PHQ rettangolo in H.

Il rapporto  incrementale è dunque il  rapporto tra le  misure dei cateti  QH e PH  del triangolo rettangolo; ricordando i primi concetti della goniometria il rapporto incrementale si interpreta come  il  rapporto tra seno e  coseno dell'angolo β formato dalla retta PQ con l'asse x,  cioè è la  tangente goniometrica dell'angolo che la retta secante la curva nei punti  P  e Q forma con l'asse  x;

quindi il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta secante passante per i punti  P  e Q della curva.

Definizione di derivata prima:

si definisce  derivata prima di una funzione  y = f(x)   nel punto x_o  il limite, se esiste, del rapporto incrementale quando l' incremento  h  della variabile indipendente tende a zero. 

La derivata prima della f(x) calcolata nel punto x_o si indica con   f ' (x_o):

Se questo limite esiste, esiste la derivata prima della funzione f(x) nel punto di ascissa x_o; ma può darsi  che esistano solo il limite destro o il limite sinistro o entrambi ma diversi fra loro: si parlerà di derivata destra e derivata sinistra; se questo limite non esiste, la funzione non è derivabile in quel punto.

Interpretazione geometrica di derivata prima:

dunque  la  derivata della funzione in un suo punto P  è  il   limite, se esiste, del  rapporto  incrementale quando l'incremento   h  tende a zero.

	Al tendere di h a zero: il  valore   xo + h  tende al valore  xo il punto   Q  sulla curva  tende al punto  P  sulla curva stessa il triangolo PHQ  tende a  degenerare  nel solo punto  P la retta secante  PQ  tende  a diventare la retta tangente alla curva nel punto   P l'angolo β che la secante PQ forma con l'asse x tende all'angolo α che la tangente in P forma con l'asse x
il  coefficiente angolare della retta secante  PQ  (tgβ) tende al coefficiente angolare (tgα) della retta tangente alla curva  nel punto  P

Si può quindi affermare che la derivata prima della funzione   f(x)  calcolata nel punto P   di ascissa  x_o, è  il numero   che indica il coefficiente angolare m  della retta tangente alla curva in quel  punto :