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Guida rapida all'integrale definito di una funzione y = f(x) in un intervallo [a,b]

Il problema delle aree

Il problema che ha portato ad affrontare il calcolo dell'integrale definito è quello di determinare l'area di una superficie piana limitata da uno o più contorni curvilinei. Si sa calcolare l'area di qualsiasi poligono, cioè delle figure piane limitate da segmenti (quadrati, rettangoli, triangoli, trapezi, rombi e figure piane complesse equiscomponibili in poligoni semplici). Si conosce la formula per calcolare l'area del cerchio che non è equiscomponibile in alcun poligono, alla quale si è arrivati per  approssimazioni successive dalle aree Sn_in  e  Sn_ cir  dei poligoni regolari di n lati inscritti e circoscritti (triangolo, quadrato, esagono, ottagono ecc.). La successione delle aree dei poligoni regolari inscritti Sn_in  e delle aree dei poligoni regolari circorscritti  Sn_ cir  formano di numeri reali delle quali l'area del cerchio è l'elemento di separazione.

Così l'area del cerchio è il limite comune a cui tendono le due successioni convergenti formate dalle aree dei poligoni regolari inscritti  Sn_in  e circoscritti  Sn_ cir  al cerchio:

 

Sorge naturale il bisogno di cercare un procedimento che permetta di calcolare l'area di una superficie piana limitata da contorni curvilinei qualsiasi.

 

Si consideri una funzione y=f(x) definita e continua in un intervallo [a,b] e, per semplicità, positiva in tutto l'intervallo. La superficie piana limitata dalla curva, dall'asse x e dalle parallele all'asse y in A e B della curva prende il nome di trapezoide (zona tratteggio rosso).

 Si vuole giungere al calcolo dell'area di questo trapezoide che risulta compresa fra l'area del rettangolo inscritto (fig. a sinistra) e l'area del rettangolo circoscritto (fig. a destra).

Considerato che l'intervallo [a,b] misura 20 unità, l'ordinata del punto A è di 6 unità e l'ordinata del punto M è di 18 unità, il rettangolo inscritto ha l'area S1_in = 20 x 6 = 120 unità-quadrato mentre il rettangolo circoscritto ha l'area S1_cir =  20 x 18 = 360 unità-quadrato. L'area del trapezoide è compresa fra 120 e 360 unità-quadrato. E' una approssimazione davvero grossolana e poco significativa, con uno scarto tra i due valori molto grande (area gialla)

Si divida in due parti l'intervallo [a,b] in cui la funzione y=f(x) risulta continua e positiva:

nel grafico, le due parti misurano rispettivamente 11 e 9 unità; considerando che i due rettangoli inscritti hanno per altezza 6 e 10 unità e che i rettangoli circoscritti hanno per altezza 10 e 18 unità,  il plurirettangolo inscritto alla curva risulta la somma di due rettangoli la cui area è 

S2_in = (11 x 6)+(9 x10) = 156 unità-quadrato; 

anche il plurirettangolo circoscritto risulta la somma di due rettangoli la cui area è  

S2_cir = (11 x 10) + (9 x 18) = 272 unità-quadrato. 

L'area del trapezoide è compresa fra 156 e 272 unità-quadrato. E' una approssimazione ancora grossolana ma migliore della precedente con uno scarto tra le due misure ancora consistente seppur minore del precedente (area gialla).

Si provi ora a dividere in tre parti lo stesso intervallo [a,b] in cui la funzione y=f(x) risulta continua e positiva:

nel grafico le tre parti misurano rispettivamente  7, 7 e 6 unità, i rettangoli inscritti  hanno rispettivamente altezza di 6, 8 e 16 unità mentre l'altezza dei rettangoli circoscritti è rispettivamente di 8, 16 e 18 unità. Così il plurirettangolo inscritto alla curva risulta dalla somma di tre rettangoli la cui area è 

S3_in = (7 x 6)+(7 x 8) +(6 x 16) = 194 unità-quadrato; 

anche il plurirettangolo circoscritto risulta dalla somma di tre rettangoli la cui area è  

S3_cir = (7 x 8) + (7 x 16) + (6 x 18) = 276 unità-quadrato. 

L'area del trapezoide è compresa fra 194 e 276 unità-quadrato. E' una approssimazione ancora grossolana ma migliore della precedente; lo scarto è consistente ma ancora più ridotto rispetto al caso precedente (area gialla).

Si continui a dividere in quattro parti lo stesso intervallo [a,b] in cui la funzione y=f(x) risulta continua e positiva:

nel grafico le quattro parti misurano rispettivamente 5, 4, 4 e 7 unità, i rettangoli inscritti  hanno rispettivamente altezza di 6, 7, 9 e 16 unità mentre l'altezza dei rettangoli circoscritti è rispettivamente di 7, 9, 16 e 18 unità. Così il plurirettangolo inscritto alla curva risulta dalla somma di quattro rettangoli con area

S4_in = (5 x 6)+(4 x 7) +(4 x 9) + (7 x 16) = 206 unità-quadrato; 

anche il plurirettangolo circoscritto risulta dalla somma di quattro rettangoli con area

S4_cir = (5 x 7) + (4 x 9) + (4 x 16) + (7 x 18) = 261 unità-quadrato. 

L'area del trapezoide è compresa fra 206 e 261 unità-quadrato. E' una approssimazione ancora grossolana ma sempre migliore della precedente e lo scarto si è ulteriormente ridotto (area gialla).

 

Continuando in questo modo, si divida lo stesso intervallo [a,b] in cui la funzione y=f(x) risulta continua e positiva, in un numero n di intervalli:

indicando le misure dei singoli intervalli ottenuti con Δxi (con i compreso tra  1 ed n), indicando l'altezza del generico rettangolo inscritto con mi e l'altezza del generico rettangolo circoscritto con Mi, il plurirettangolo inscritto alla curva è il risultato della somma degli n rettangoli  di base Δxi e altezza mi, con area Sn_in
(Δx1 m1) + (Δx2 m2) + (Δx3 m3) + ...... + (Δxn  mn) = Σ Δxi  mi (con i = 1, n)

mentre il plurirettangolo circoscritto, risultato della somma degli n rettangoli di base Δxi e altezza Mi, ha area Sn_cir
(Δx1 x M1) + (Δx2 x M2) + (Δx3 M3) + ...... + (Δxn  Mn) = Σ Δxi Mi (con i = 1, n)

L'area del trapezoide, limitato dalla curva,  dall'asse x e dalle due parallele all'asse y passanti per A e B, è compresa fra Σ Δxi  mi  e Σ Δxi Mi . Al crescere del numero n degli intervalli in cui si suddivide l'intervallo [a,b], aumenta l'area del plurirettangolo inscritto e diminuisce l'area del plurirettangolo circoscritto, approssimandosi sempre di più, rispettivamente per difetto e per eccesso, all'area del trapezoide cercato con lo scarto fra le aree che si riduce sempre di più (area gialla).

Qualunque sia il numero n degli intervalli in cui si suddivide l'intervallo [a,b] i plurirettangoli inscritti sono contenuti nel trapezoide mentre quelli circoscritti lo contengono. 

La tabella seguente mostra il riepilogo dei risultati ottenuti:

intervallo [a,b] diviso in area plurirettangolo inscritto area plurirettangolo circoscritto
1 intervallo S1_in = 120 S1_cir = 360
2 intervalli S2_in = 156 S2_cir = 272
3 intervalli S3_in = 194 S3_cir = 276
4 intervalli S4_in = 206 S4_cir = 261
......... ..... .....
n intervalli Sn_in = Σ Δxi  mi Sn_cir = Σ Δxi Mi

 

Dalla tabella si nota che al crescere del numero delle parti in cui si divide l'intervallo [a,b], cresce il valore dell'area dei plurirettangoli inscritti Sn_in mentre decresce quello dell'area dei plurirettangoli circoscritti Sn_cir diminuendo lo scarto tra i corrispondenti valori; le due classi di numeri reali formate dalle aree Sn_in  e Sn_cir sono due classi contigue (per la dimostrazione si consulti un testo di matematica); l'unico  numero reale elemento di separazione delle due classi è l'area del trapezoide dato. 

Nella prima animazione si evidenzia la riduzione dello scarto (in giallo) tra le corrispondenti aree dei plurirettangoli circoscritti e dei plurirettangoli inscritti, scarto che tende a zero quando il numero n degli intervalli tende all'infinito;

nella seconda animazione di evidenzia il progressivo avvicinamento dell'area dei plurirettangoli inscritti e circoscritti all'area del trapezoide (zona celeste) al crescere n degli intervalli in cui si divide [a,b]; quando n tende all'infinito le aree dei plurirettangoli inscritti e circoscritti tendono all'area del trapezoide.

 

Tutto ciò è stato illustrato a livello intuitivo e visivo per fornire un modesto aiuto nella comprensione del concetto di integrale definito di una funzione f(x) definita e continua nell'intervallo chiuso [a,b]. Ora si cerca di dare una definizione più scientifica.

Sia y=f(x) una funzione definita nell'intervallo chiuso [a,b] con a<b e sia continua in tutto l'intervallo; non occorre porre la condizione che sia positiva che è stata usata per semplicità nelle visualizzazioni precedenti .

Si fissino sull'intervallo [a,b] i punti xo, x1, x2, x3, ....., xi-1, xi, ...., xn in modo che a≡xo, b≡xn    (xo coincidente con a e xn coincidente con b) 

e gli n segmenti così ottenuti [a,x1], [x1,x2], [x2,x3], ..... [xi-1,xi], ..... [xn-1,xn] risultino uguali, tutti della stessa ampiezza h che naturalmente è

In ogni generico intervallo  [xi-1,xi] (con i = 1, n) di ampiezza h, la funzione, definita continua in [a,b], è dotata di massimo Mi e di minimo mi (teorema di Weierstrass) per cui si possono costruire su ogni intervallo n rettangoli inscritti alla curva aventi base h e altezza  mi  ed n rettangoli circoscritti di base h  e altezza  Mi . I plurirettangoli inscritti hanno l'area Sn_in che è la somma delle aree degli n rettangoli inscritti

Sn_in = m1  h + m2  h + m3  h + .... + mi  h + ..... + mn  h 

e i plurirettangoli circoscritti hanno l'area Sn_cir   che è la somma delle aree degli n rettangoli circoscritti

Sn_cir = M1  h + M2  h + M3  h + .... + Mi  h + ..... + Mn  h 

e per ogni n risulta  Sn_in   £  Sn_cir  , dato che in ogni intervallo il minimo della f(x) è minore o uguale al suo massimo:  mi £  Mi

Data la funzione f(x), fissato n, ad esso corrisponde un ben determinato valore per  Sn_in e per  Sn_cir ; si possono così considerare le due successioni numeriche determinate dalle aree dei plurirettangoli inscritti e circoscritti ottenuti dalla suddivisione dell'intervallo [a,b] in 1, 2, 3, ..., i, ..., n parti

   S1_in      S2_in      S3_in    .....    Sn_in  .... ;     S1_cir      S2_cir     S3_cir  ....   Sn_cir  .... ;

si può dimostrare che esse sono (si veda un testo di matematica) che risultano convergenti verso lo stesso numero che ne è l'elemento di separazione, cioè risulta

Il valore comune del limite delle due successioni prende il nome di integrale definito della funzione continua f(x) esteso all'intervallo [a,b] e si indica

e si legge integrale definito da a a b di f(x) dx.

Il simbolo  ò   rappresenta una s per ricordare la somma delle aree, i numeri a e b sono gli estremi di integrazione, a è l'estremo inferiore e b è l'estremo superiore; la funzione f(x) si dice funzione integranda, la variabile x è la variabile di integrazione; per definizione quindi l'integrale di una funzione f(x) in dx, definito fra a e b, risulta:

Per calcolare l'area di una superficie piana con contorni curvilinei bisognerebbe calcolare le due successioni formate dalle aree dei plurirettangoli inscritti e circoscritti e poi calcolarne il limite per n tendende all'infinito. Troppo complicato.

Basterà ricercare la funzione integrale primitiva F(X) della funzione integranda f(x) e calcolare la differenza F(b)-F(a). Per questo si rimanda ad un qualsiasi testo di matematica per ulteriori conoscenze ad ampliamenti. La finalità di questa pagina è di illustrare il problema delle aree di figure a contorni curvilinei e dell'integrale definito che lo risolve, come elemento di separazione delle due classi contigue formate dalle successioni dalle aree dei plurirettangoli inscritti e circoscritti alla funzione nell'intervallo dato.
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