La
continuità delle figure geometriche, messa in luce nell'antichità da Archimede
e in tempi più recenti da Dedekind, deriva chiaramente dal senso del tatto.
Una figura geometrica è continua nel senso che i suoi punti riempiono senza
interruzioni una porzione di spazio (il grande matematico Eulero, nel settecento,
ancora definiva la continuità di una curva come la possibilità di poterla tracciare
senza staccare la matita dal foglio) e, se immaginiamo un modello fisico del
nostro oggetto geometrico, questo vuol dire che possiamo scorrerlo con una mano
senza incontrare interruzioni, buchi, lacune.
La continuità di un oggetto geometrico in qualche modo prescinde dalla vista
e rappresenta una connotazione meno raffinata delle altre, proprio perché il
nostro senso del tatto è meno raffinato del senso della vista. Rinunciare alle
caratteristiche euclidee o proiettive non vuol dire quindi rinunciare alla continuità
delle figure, e la Geometria delle figure solo continue si chiama Topologia.
La Topologia è molto più giovane delle sue antecedenti Euclidea e Proiettiva,
ed il motivo è che prima di teorizzarla bisognava liberarsi di tutte le concezioni
metriche e "rigide" accumulate in millenni di storia del pensiero umano (lo
psicologo Piaget ha constatato come nei bambini piccoli sia presente la concezione
topologica degli oggetti più che quella euclidea: molti non distinguono bene
fra un cerchio, un quadrato o un triangolo, quando gli si chiede di disegnarlo,
ma distinguono fra un cerchio ed un segmento, e qui la distinzione è topologica).
Se assumiamo che l'unico concetto di equivalenza fra le figure sia quello della
continuità, un oggetto topologico può deformarsi a piacimento
(purché non lo si strappi o lo si tagli) senza alterare la sua natura. Così
un quadrato, una calotta sferica, un disco, sono tutti equivalenti.
Un quadrato non è però equivalente a un quadrato con un buco nel mezzo, perché,
in prossimità del buco, la continuità viene a mancare (col tatto ci rendiamo
perfettamente conto della presenza del buco, mentre nel quadrato pieno persiste).
La costruzione di nuovi oggetti topologici è soggetta a meno vincoli di quelli
euclidei, e quindi è in un certo senso più difficile: ad esempio, una qualsiasi
figura che sia deformazione di un quadrato è, topologicamente, un quadrato e
quindi non un oggetto realmente nuovo.
La scoperta di oggetti topologicamente nuovi ha permesso di introdurre in questo
mondo oggetti che di questo mondo non hanno certo l'aspetto.
