ESEMPI
DI SUPERFICI TOPOLOGICHE
IL
NASTRO DI MOEBIUS
Le superfici "ordinarie", cioè quelle che capitano di solito sotto i nostri
occhi, hanno due facce, e queste vale sia per le superfici chiuse (cioè prive
di contorno), come la sfera, che per quelle aperte (cioè delimitate da curve),
come un rettangolo. Questo significa che, per le superfici chiuse, è possibile
colorare le due facce con colori diversi senza che ci sia alcun punto di incontro
tra i due colori, per le superfici aperte che i due colori possono incontrarsi
solo lungo i bordi. Se per esempio consideriamo un rettangolo e immaginiamo
di disporre una formica su una delle due facce e del cibo sull'altra, se provvediamo
a spargere dell'insetticida lungo tutto il bordo, la formica non potrà mai raggiungere
il cibo (a meno che non faccia un buco nel rettangolo!).
Similmente se consideriamo una mosca fuori da una sfera di cristallo e del cibo
posto all'interno della sfera stessa, la mosca non riuscirà mai a raggiungere
il cibo. Ebbene, esistono anche superfici con una sola faccia (e superfici
chiuse che non hanno un "dentro" e un fuori", per esempio la bottiglia
di Klein): l'esempio più classico è il nastro di Möbius.
Un'utile descrizione topologica del nastro di Moebius la si ottiene considerando
la superficie generata dalla rotazione attorno ad un asse di un segmento di
retta che ruota anche attorno al suo punto medio in modo che, nel momento in
cui questo punto medio completa una circonferenza (nel piano perpendicolare
all'asse), il segmento riprende la posizione iniziali con gli estremi scambiati
Possiamo servirci di questo modello per trovare una parametrizzazione del nastro
di Moebius.
Moebius strip[a](u,v)=a(cos(u) + v cos(u/2) cos(u), sin(u) + v
cos(u/2) sin(u), v sin(u/2))
Per costruire un nastro di Moebius in pochissimo tempo è sufficiente avere una
striscia di carta, torcerla di 180° lungo l'asse maggiore ed infine unire insieme
gli angoli (unire come nell'immagine gli spigoli C con A e D con B).
Questa superficie ha l'interessante proprietà di avere un'unica faccia (e anche
un solo bordo): la nostra formica potrebbe raggiungere il cibo senza pericolo
in qualunque posto del nastro si trovi. Per dipingere una figura come questa,
se non si vogliono contatti tra i colori, bisogna usare un solo colore e allora
basta immergere tutto il nastro nel barattolo di vernice, con grande risparmio
di tempo.
Si noti che, se avessimo congiunto gli angoli senza torsione si sarebbe ottenuta
una superficie cilindrica, ancora con due facce, per cui alla nostra formica
non rimaneva altro che bucare il foglio per raggiungere il cibo.
Ci sono altre proprietà interessanti di questa superficie: se si taglia la superficie
lungo la linea mediana, si ottiene un unico nastro di Moebius di dimensione
maggiore, a differenza di quello che si ottiene se si taglia in due la superficie
cilindrica che si ottiene piegando il quadrato nel modo "tradizionale", cioè
senza torsione.
Questo piccolo esperimento ci fa capire le grandi qualità di questa superficie,
ma ancora di più si può capire se tagliamo il nastro non nell'asse mediano,
ma ad 1/3. In questo caso si otterranno due nastri di Moebius intersecati come
gli anelli di una catena e non più separati come nel caso precedente.
il
nastro di Mobius in un'interpretazione di Escher
come
costruire un nastro di Mobius
ricostruzione
con rhino del nastro di Mobius
