L'idea
topologica è presente in tutte le aree conosciute della matematica moderna.
Il soggetto stesso della topologia consta di differenti parti come la topologia
oggettiva, quella algebrica o la topologia di differenziale, che hanno relativamente
poco in comune.
Il primo lavoro che può essere considerato relativo alla topologia è attribuito
ad Eulero. Nel 1736 Eulero pubblicò un articolo sulle soluzioni per il ponte
di Konigberg, dal titolo "The solution of a problem elating to the geometry
of position". Lo stesso titolo indica che Eulero stava studiando un nuovo
tipo di geometria nella
quale il parametro distanza non era rilevante.
Il passo successivo nel dimostrare che la matematica ha una sua autonomia
a prescindere dalla misurazione viene compiuto sempre da Eulero con la dimostrazione
della formula che regola i rapporti tra poliedri:
v - e + f = 2
dove v è il numero di vertici di n poliedro, e è il numero di lati e f è
il numero delle facce. E' interessante vedere come questa semplice formula
sia stata ignorata da Archimede come da Descartes sebbene essi abbiano notevolmente
discusso sui poliedri. Questo probabilmente perché per le generazioni precedenti
ad Eulero era impossibile pensare alla proprietà geometriche senza considerare
la misurazione.
La strada percorsa da Eulero venne continuata da matematici successivi,
in particolare da Klein
e Lhuilier fece delle modifiche alla formula già citata. Egli infatti scoprì
che la formula di Eulero non funzionava se la figura considerata era bucata,
questo lo portò a riscriverla nel modo seguente:
v - e + f = 2 - 2g
dove qui g sta per i buchi contenuti nel solido. Questo fu il primo risultato
conosciuto riguardo l'invarianza topologica.
Da questo momento la strada era aperta. Nel 1865 Mobius
pubblicò la descrizione del "nastro di Mobius" attraverso la quale cercava
di descrivere le proprietà delle mono-superfici in termini di non orientabilità.
Il primo ad usare la parola topologia tuttavia fu J.
B. Listing le cui idee sulla tipologia furono dovute essenzialmente
all'opera di Gauss. Egli pubblicò una seri di scritti sull'argomento della
connettività delle superfici tra i quali anche una bozza di descrizione
del nastro di Mobius, quattro anno prima che egli lo teorizzasse.
Listing però si fermò con l'esaminare la connetività delle superfici in
tre dimensioni, Betti lo estese ad n dimensioni. L'idea di connetività venne
ulteriormente sviluppata da Poincaré in una serie di scritti intitolati
"Analysis situs" del 1859. Egli introdusse il concetto di omologia e diede
maggior precisione alla definizione di Betti sui numeri associati allo spazio.
Altro punto che si sviluppò della topologia fu la convergenza, la
cui definizione era data non basandosi sul concetto di distanza, ma su quello
di punto limite e di punto di accumulazione. Altri contributi allo studio
della topologia vennero dall'interesse per le equazioni differenziali maturato
da Poincaré in seguito al porsi di alcuni problemi astronomici. La presentazione
completa dei metodi sviluppati da Poincaré e da altri venne raccolta da
Brouwer nel 1912 in un'opera completa di teoria della topologia.
