In un ufficio, in diversi momenti della giornata, il capo dà alla segretaria una lettera da battere a macchina, mettendola sempre in cima alla pila di fogli.

Quando ha tempo, la segretaria prende la lettera dalla cima della pila e la batte.

Il capo le consegna complessivamente cinque lettere, nell’ordine: A, B, C, D e E. In che ordine la segretaria batterà le lettere?

Ci sono evidentemente diverse soluzioni. Quante?

IL CASINO’ MIRACOLOSO (**)

All’inizio della vostra serata al Casinò, disponete di 40 gettoni e del capitale di 1 Franco. Il gioco è tale che ogni volta che guadagnate, moltiplicate il vostro capitale per il numero di gettoni puntati, ma dovete lasciare la vostra puntata. Ogni volta che perdete, invece, dovete lasciare i gettoni puntati e il vostro capitale rimane invariato.

Qual è il massimo capitale con il quale potete lasciare il casinò?

STORIE DI FAMIGLIE (*)

Tra la popolazione dell’arcipelago del Disaccordo esistono solo due cognomi: Delvero e Delfalso. Una tradizione ancestrale vuole che un Delvero non menta mai, mentre un Delfalso non dice mai la verità. Un navigatore fa naufragio sull’arcipelago e incontra tre giovani indigeni. Conoscendo la particolarità dell’isola, chiede ai suoi interlocutori i loro cognomi. Ecco le risposte che ottiene:

Eric: "Gli altri due si chiamano Delfalso"

Maria: "Due di noi si chiamano Delfalso"

Stefano: "Solo uno di noi si chiama Delfalso"

Quali sono i cognomi delle tre persone incontrate dal naufrago?

SI GIOCA AL PALLONE (*)

Al campionato di calcio partecipano nove squadre.

Se ogni squadra incontra tutte le altre due volte, quante partite devono essere giocate?

SI GIOCA A TENNIS (*)

In un torneo di tennis, solo i vincitori di ogni incontro giocano quello successivo; così fino alla proclamazione del vincitore del torneo.

Se i giocatori sono 128, quanti incontri devono essere giocati in tutto per proclamare il vincitore del torneo?

IL NUMERO DI CODICE (***)

Enrico e Desiderio si trovano davanti alla casa di Emy, con la quale hanno appuntamento. Si chiedono quale sia il numero di codice per aprire il portone; si sono infatti dimenticati di trascriverlo, quando Emy glielo aveva dato.

"So che il numero di codice è dispari e che è formato da tre cifre. Mi ricordo anche le cifre – dice Enrico. Dobbiamo quindi solo provare tutte le combinazioni!".

"Aspetta – gli dice Desiderio – io non le ricordo, ma avevo notato che il numero formato da queste tre cifre è uguale a 1 aumentato del triplo del prodotto di due numeri consecutivi. Questo forse può aiutarti!".

"E no, risponde Enrico! Questo particolare non riduce affatto il numero di combinazioni possibili. Per fortuna, non sono numerose!".

Date, in ordine crescente, le tre cifre del numero di codice dell’ingresso del palazzo in cui abita Emy.

UNA BUONA PIEGA (**)

La striscia di carta rappresentata qui sotto (i cui bordi sono paralleli) misura due centimetri di larghezza. Piegate questa striscia in due (vedi il disegno).

Qual è l’area minima della regione in cui i due spessori di carta si sovrappongono?

(Dare la risposta in cm2, arrotondata al centesimo).

UN ANNO MAGICO (*)

Il numero 1998 è divisibile per la somma delle sue cifre:

1998: (1+9+9+8) = 74

Inoltre, le cifre che compongono il numero così ottenuto sono tutte diverse da quelle del numero dell’anno (1998).

Quale sarà il prossimo anno che godrà della stessa proprietà?

LA SCATOLA (*)

Questa scatola presenta quattro scomparti delle stesse dimensioni. Il suo perimetro è di cm 112;
qual è la sua area?

LE COPPIE (**)
Tre coppie posano per una fotografia, su una panchina del parco. Se nessuna coppia vuole essere divisa per la fotografia, qual è il numero di modi in cui le sei persone possono sedersi sulla panchina?

Prima batteria

1 - LA SEGRETARIA

Le soluzioni sono 42

L'analisi può partire dalla prima lettera che la segretaria scrive.

• E: se la prima lettera che la segretaria scrive è E, vuol dire che tutte le altre sono già sul suo tavolo. L'unica successione è EDCBA
• D: dopo aver scritto la lettera D, la segretaria può (o meno) ricevere la lettera E. In funzione di queste due possibilità (che si ripetono anche nei passaggi successivi) si hanno le seguenti successioni: DECBA - DCEBA - DCBEA - DCBAE

• C (ragionando come sopra e supponendo che la segretaria non trovi, successivamente, sul suo tavolo D e E "impilate"): si hanno le successioni: CDEBA - CDBEA - CDBAE - CBDEA - CBDAE - CBADE

• C (supponendo ora D e E "impilate"): CEDBA - CBEDA - CBAED

• B: è il caso più complesso che porta a 14 soluzioni:

BAEDC - BADEC - BADCE - BACED - BACDE

BEDCA - BDECA - BDCAD - BCAED - BCADE

BDCEA - BCEDA - BCDAE

BCDEA

• A: ancora 14 soluzioni, invertendo la B e la A del caso precedente.

2 - IL CASINO' MIRACOLOSO

Il capitale massimo è di 2 125 764 franchi.

La questione posta consente di ipotizzare che occorre vincere ad ogni puntata. La strategia migliore è allora di fare 12 puntate di 3 gettoni, seguite da 2 puntate di 2 gettoni o da 1 puntata di 4 gettoni:

3¹² x 2² = 2 125 764

3 - STORIE DI FAMIGLIA

Eric e Stefano si chiamano Delfalso, Maria si chiama Delvero

Esaminando una tavola di verità, che riassume tutte le possibilità, si arriva per esclusione alla soluzione:

In altre parole: se Eric dicesse la verità vorrebbe dire che Maria e Stefano sono dei Delfalso e quindi mentono. Ciò esclude le prime tre possibilità. Anche la quarta è esclusa perché, se Maria mente, non è vero che ci sono due Delfalso.

Se Eric mente, non è vero che ci sono due Delfalso ovvero non è possibile che ci siano due "F" per Maria e Stefano. Ciò esclude l’ultima possibilità. Per quanto riguarda la quinta, la sesta e la settima, la quinta è assurda perché (se Maria dice la verità) ci dovrebbero essere due "F". Anche la settima possibilità è assurda, perché, se Maria mente, non ci possono essere due "F".

4 - SI GIOCA AL PALLONE

Si giocano 72 partite, il numero delle disposizioni di 9 oggetti di classe 2.

In parole più semplici: ogni squadra disputa 16 incontri. Ad ogni incontro partecipano due squadre; allora

9 x 16 : 2 = 72

5 - SI GIOCA A TENNIS

Si disputano 127 incontri.

Il primo turno è "fatto" da 64 incontri (e rimangono 64 concorrenti); il secondo turno è composto da 32 incontri (e rimangono 32 giocatori) e così via. Il 127° incontro designerà il vincitore.

6 - IL NUMERO DI CODICE

Le tre cifre sono: 1,2,7.

In base a quanto detto da Desiderio, il numero di codice si può scrivere come 3 n (n+1) + 1 con n intero positivo. In realtà, n deve essere maggiore di 5 e minore 18 (affinchè il numero di codice sia di 3 cifre). Esaminiamo tutti i casi:

L'affermazione di Enrico (che il particolare ricordato da Desiderio non riduce le combinazioni possibili) permette di fissare l’attenzione sui numeri 127, 217, 271, 721 e quindi sulle cifre 1, 2, 7.

7 - UNA BUONA PIEGA

L'area minima è di 2 cm² .

Dopo la piegatura, i due spessori di carta che si sovrappongono individuano un triangolo isoscele: gli angoli CAB e CBA sono uguali (angoli alterni). L'altezza AH del triangolo è sempre di 2 cm. L'area è minima quando CB = CA è minimo ovvero quando CA = AH. L'area del triangolo è quindi 2 cm².

8 - UN ANNO MAGICO

Il prossimo anno sarà il 2001

2 001 : ( 2+0+0+1) = 667

9 - LA SCATOLA

L'area della scatola misura 768 cm².

Preso come unità di misura u il lato minore dello scomparto, il suo lato maggiore misura 3u. Le misure della scatola sono 3u e 4u. Allora u = 112 . 14 = 8 cm. L'area richiesta misura: 24 x 32 = 768 cm².

10 - LE COPPIE.

Le sei persone possono disporsi in 48 modi diversi.

Le posizioni delle 3 coppie sono 6 (permutazioni di 3 elementi). Ognuna delle due persone che compongono una coppia può disporsi in 2 modi diversi (permutazioni di 2 elementi). Complessivamente, le sei persone possono sedersi in 6 x 2 x 2 x 2 = 48 modi diversi.