Finale int. 1999: Testi

1. IL PETTINE DI MATTIA

Mattia ha comperato un pettine. Incuriosito, osserva che i denti grossi sono separati di 7 mm, mentre i piccoli sono separati soltanto di 3 mm. Trova due denti del pettine le cui estremità siano distanti esattamente 32 mm.

2. RIEMPIMENTO

Si dispone di 3 gettoni blu e di 2 gettoni rossi. Bisogna sistemare un gettone a casella, nel riquadro, rispettando le seguenti norme: 1) non devono essere vicini due gettoni rossi; 2) solo due gettoni blu si possono susseguire. In quanti modi si possono impostare i cinque gettoni rispettando i dati?

(inizio categ. C1)

3. SEI NUMERI DA IMPOSTARE

Disponi i numeri da 2 a 7 in modo che la differenza tra due numeri direttamente collegati da un segmento sia sempre superiore a 1.

4. LO "SCAMIDE"

Thomas Thematik ha costruito tramite cubi una curiosa piramide a forma di scala. La larghezza degl scalini diminuisce di 2 cubi ogni volta che si sale di un gradino, fino all'ultimo gradino fatto da un solo cubo. Un esempio con quattro scalini è il seguente.

La piramide di Thomas, invece, ha otto scalini. Quanti cubi ha usato Thomas? 

(inizio categ. C2, L1, L2, GP)

5. GLI ESAGONI ROTOLANTI

Si numerano le caselle di due esagoni che possono rotolare girando sulle caselle numerate di una linea retta.

Quando una casella dell'esagono si colloca su una casella della retta, effettuare il prodotto dei due numeri a contatto. Ad esempio, se l'esagono di sinistra gira verso la prima casella, abbiamo 5 x 4. si può far girare un esagono, o i due esagoni, ognuno nel senso indicato dalla freccia e per quante caselle si vuole, fino a farli toccare. Se si fa la somma di tutti i prodotti ottenuti, qual è il massimo ottenuto?

6. PUZZLE TRICOLORE

Nina ha trovato un vecchio puzzle in una cassa dei nonni. Si tratta di riempire le scatole qui accanto con pezzi a forma di L. Abbiamo 5 pezzi blu (B), 5 bianchi (W) e 5 rossi (R). "Facile!" dice Tommaso, fratello di Nina. "Mica tanto se si vuole che due pezzi dello stesso colore non si tocchino mai da un lato" ribatte Nina. Trovare una soluzione del puzzle di Nina.

(fine principianti) 

7. IL TESORO DI GIULIO QUADRATO

Giulio era una vecchio battagliero che aveva molto viaggiato. Perciò aveva nascosto un tesoro in un deserto. Prima di morire lasciò ai figli, Jim e Giuliano, un prezioso documento, qui sotto.

Il tesoro si trova al vertice D di un quadrato ABCD di cui la pista è un'asse di simmetria. In quanti posti Jim e Giuliano dovranno scavare se vogliono essere sicuri di trovare il tesoro di Giulio? 

8. INSALATA DI FRUTTI

Nina ha inventato un sistema che permette la costruzione di una serie di frutti con l'aiuto della tabela qui sotto (F=fragola, R=uva, J=giuggiola, M=melone). Ha cominciato con un sistema costituito da due linee e ha proseguito seguendo la legge della tabella:

F su R dà F

F su J dà R

J su R dà M

M su F dà M

Ciò le ha permesso di trovare la prima linea a partire dalle due di partenza. Procedendo poi allo stesso modo, ottiene la seconda linea (usando le due precedenti), e così via. Quale sarà la 999ma linea?.

PARTENZA F F J M

R J R F

1a linea F R M M

2a linea F M R M

3a linea J R R F

9. IL CORRIDOIO DEL TEMPO

Ecco lo schema di un labirinto: ti trovi in A e devi andare in B in un tempo minimo.

Ogni corridoio, che ha come lunghezza un lato di una casella quadrata, richiede 10 secondi. Ogni corridoio con la freccia in blu è un corridoio del tempo: se ci entri, sei immediatamente trasportato all'altra estremità. Quante possibilità esistono per andare da A in B in un tempo minimo?

(fine categ. C1)

10. LA RIGA DIFETTOSA

Matteo ha misurato le lunghezze dei lati del triangolo che ha disegnato. Fa la somma delle tre misure che sono tutte numeri interi di centimetri, e ottiene un perimetro di 15 cm. Eppure il professore gli fa notare che il risultato è inesatto. Matteo non ha fatto nessun errore di calcolo e ha utilizzato in modo corretto la riga. effettuando tutte le misure a partire dallo zero della graduazione. Ma si rende conto che la graduazione della riga ha un piccolo difetto. Quali sono le lunghezze (esatte) dei tre lati del triangolo di Matteo? (esprimi le tre lunghezze in cm, in ordine crescente) 

11. LA LUMACA 'DORO

Ogni anno viene offerta al miglior velocista una lumaca d'oro, scultura realizzata da un artista famoso. La lumaca d'oro deve rispettare la seguente norma: sul lato destro vi si trova un quadrato 4 x 4 formato da 4 specie di pietre preziose: smeraldo, rubino, zaffiro e diamante sistemate in modo che ci sia uno e un solo tipo di pietra preziosa su ogni linea, ogni colonna e ogni diagonale grande. Le lumache d'oro sono, evidentemente, tutte diverse. Per quanti anni vi si potrà attribuire questa lumaca d'oro?

 (fine categ. C2)

12. LA PIRAMIDE DI LEGNO

Un architetto ha deciso, per addobbare una città, di realizzare una piramide di 5 piani, formata da cubi in legno tutti uguali. L'architetto sa che dovrà rivestirla con vernice per proteggerla dalle intemperie. Perciò fa realizzare uno schizzo al 1/5 di un cubo della piramide. Si rende così conto che il cubo ridotto pesa 300 g. e, verniciato, 306 g. Quale sarà il peso della piramide verniciata?.

N.B. Soltanto le parti visibili della piramide verranno verniciate. Da trascurare la vernice sugli spigoli. Dare il risultato in kg, arrotondato al g.

13. LA SEGA DI SIMONE

Simone, matto per il bricolage, ha comprato una sega nuova. Quest'attrezzo, ultima novitòà, permette di realizzare tagli perfettamente piani e possiede una lima tanto fine da rendere trascurabile lo spessore del taglio. Per provare la sega, Simone prende un cubo di legno ed effettua diversi tagli senza muovere i pezzi. Ha quindi ottenuto i risultati qui sotto rappresentati (le sei facce del cubo hanno lo stesso aspetto). Quanti pezzi ha potuto ottenere al massimo?

14. DIVIDERE PER MOLTIPLICARE

Giuliano incontra qualche difficoltà con le frazioni. Sostituisce la barra della frazione con una virgola e, invece di moltiplicare, divide. Così, ad esempio, per moltiplicare 12 x 6/25 divide 12 per 6,25. Oggi, procedendo nello stesso modo, moltiplicando un numero non nullo per una frazione irriducibile, ha ottenuto un risultato giusto. Per quale frazione Giuliano ha moltiplicato il numero?

(fine categ. L1, GP) 

15. IL TRIANGOLO

I lati di un triangolo rettangolo misurano ognuno un numero intero di cm. Si traccia all'interno un cerchio tangente ai tre lati il cui lato è di 3 cm. Quali sono le dimensioni del triangolo? 

16. LO SCRIBA INDELICATO

Un faraone aveva fatto nascondere un certo numero di magnifiche perle. Questo numero, da tutti conosciuto, veniva considerato magico, come pure tutti i suoi divisori, gli altri soli numeri magici. Dopo l'improvvisa morte del faraone, 5 ladri, che avevano scoperto il nascondiglio, vollero approfittarne. Arrivarono di notte, e, uno dopo l'altro, ognuno rubò il massimo di perle possibili, questo numero essendo magico. L'ultimo ladro ebbe la sorpresa di trovarne solo una! Al mattino, lo scriba responsabile del tesoro, trovando il nascondiglio vuoto, si compiacque di aver sottratto per sé, prima della visita dei cinque ladri, un numero di perle (non magico) equivalente al 3/100 del tesoro! Quante perle lo scriba indelicato aveva rubato?

(fine cat. L2) 

Soluzioni finali 99

1) I computer

Cominciamo con il far occupare ogni postazione da un solo alunno: abbiamo così sistemato 16 ragazzi. I rimanenti 25-16=9 devono sedersi accanto ad un compagno; restano perciò 7 postazioni occupate da un solo studente


2) I sette punteggi

Se l'ultimo punteggio, il penultimo (il sesto) può essere: a) 1; b) 2; c) 4.
Nel caso a), il quinto punteggio può essere 2, 3, 4, 5, 6, 7. Nel caso b), il quinto punteggio può essere dato da 1 o da 4. Nel caso c), infine, abbiamo le possibilità 1 o 2.
Così procedendo, a ritroso, e scartando le combinazioni incompatibili con le condizioni assegnate, si trova che le uniche sequnze accettabili sono:
5 1 3 6 2 4 8 e
7 1 3 6 2 4 8


3) La chiesa di San Simone Buonconvento

Colpi battuti alle ore piene: 12x25 + (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11)x2 + 12x3 = 468;
colpi battuti ai quarti d'ora: 3x24 = 72
colpi battuti alle mezz'ore: 6x24 = 144
colpi battuti ai tre quarti d'ora: 9x24 = 216.
In totale Emy sente 468+72+144+216=900 colpi.


4) Le piccole differenze

Cominciamo, per esempio, con il collocare 1 nella posizione Nord e procediamo in senso orario. Alla sua destra, 1 avrà o 3 (caso a) o 4 (caso b).
Nel caso a) potremo proseguire con 5 o 6; nel caso b) con 2, 6, 7. Così proseguendo, abbiamo che l'unica disposizione finale è la seguente:
1 3 6 9 7 10 8 5 2 4


5) Il pappagallo di Jacob

Mercoledì non c'erano semi per terra; vuol dire che martedì Jacob aveva ricevuto al massimo (il problema ci impone di interessarci sempre al "massimo") 8 semi.
Se martedì Jacob aveva ricevuto 8 semi, vuol dire che lunedì ne aveva buttati per terra 8 e quindi al massimo (ripetendo il ragionamento precedente) ne aveva ricevuti 48.
Allora, domenica, Jacob ne aveva buttati per terra 48, avendone ricevuti al massimo 248.


6) Si divertono così

Ecco le 4 mosse con cui Pietro vince (i numeri indicano le caselle da lui occupate in ogni mossa; i numeri sbarrati indicano invece le caselle "liberate" da Renato):
mossa 1: 1 2 3 5 6 7
mossa 2: 1 2 3 5 6 7 9 10 11
mossa 3: 1 2 3 5 6 7 9 10 11 13 14 15
mossa 4: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


7) Anna Maria e l'omogeneità

La situazione ideale (media aritmetica) è costituita da 333=(576+212+211):3 biglie.
Per portare la prima scatola da 576 a 333 biglie, occorrono 243 mosse. Consideriamo le prime 121 (in cui diminuiamo anche il livello della seconda scatola): avremo, rispettivamente, 455, 91, 453 biglie. Con le seconde 121 mosse, avremo 334, 333 e 332 biglie.
Fare un'ulteriore mossa non cambia la situazione. Il numero richiesto è dunque 242.


8) La ronda delle lettere

Si osservi preliminarmente che:
i) il numero abcdef deve essere minore di 250000; altrimenti il risultato avrebbe più di 6 cifre. Ciò implica a=1 o a=2;
ii) e deve necessariamente essere un numero pari e può dunque essere uguale a 2, 4, 6, 8, 0.
iii) f non può essere minore di 4.

Esaminiamo il caso a=1.
f=4; allora e=6, d=5, c=2, b=0: 102564
f=5; allora e=0, d=2, c=8, b=2: non accettabile
f=6; allora e=4, d=8, c=3, b=5: 153846
f=7; allora e=8, d=4, c=9, b=7: non accettabile
f=8; allora e=2, d=1, c=5, b=0: non accettabile
f=9; allora e=6, d=7, c=0, b=3: non accettabile
Caso a=2 Si osservi che deve essere f=8 o f=9.
f=8; allora e=2, d=1, c=5, b=0: non accettabile
f=9; allora e=6, d=7, c=0, b=3: 230769


9) Alla stazione

Si indichi con p(i) il peso del numero i, dove i è un numero naturale compreso tra 1 ed n (n=numero totale dei pacchi). Vale la seguente relazione:
p(i+1)+2p(i)=80 per ogni i=1..n-1
inoltre p(i) deve essere intero positivo per ogni i=1..n
Dobbiamo determinare il peso p(1) del primo pacco in modo tale che il numero totale dei pacchi sia il più alto possibile, compatibilmente con quanto specificato nel testo. Procediamo esaminando diversi casi.
i) p(1) maggiore o uguale a 40; si avrebbe un solo pacco;
ii) p(1) compreso tra 0 e 20; si hanno 2 pacchi (n=2); infatti, in questo caso 2p(1) sarà compreso tra 0 e 40 e quindi p(2) sarà compreso tra 40 e 80. Allora per p(i) non posso procedere oltre.
iii) p(1) compreso tra 30 e 40; si hanno 3 pacchi (n=3); basta ragionare in modo simile al punto ii)
iv) p(1) compreso tra 21 e 25; si hanno 4 pacchi (n=4)
v) p(1) compreso tra 28 e 29; si hanno 5 pacchi (n=5)
vi) p(1) uguale a 26; allora p(2)=80-2x26=28 e si hanno 6 pacchi (n=6)
vii) p(1) uguale a 27; allora p(2)=26 e (similmente al caso precedente) si hanno 7 pacchi (n=7)


10) Il gioco di Enrico

Naturalmente, per ottenere in 16-esima posizione il numero più alto possibile basterebbe scrivere sempre il doppio del numero precedente. Ma in questo caso il 16mo numero sarebbe pari.
Il solo modo per averlo dispari è quello di ottenerlo come somma (di un numero pari e di uno dispari). Devo avere quindi sempre i dispari "tra le mani".
A questo punto, l'insieme di numeri non può essere che questo:
1 2 3 6 9 18 27 54 81 162 243 486 729 1458 2187 3645


11) Quando i gradi hanno una ragione

In un poligono convesso di n lati la somma degli angoli interni è data da (n-2) angoli piatti (180 gradi). Poiché le ampiezze degli angoli sono date da a(1), a(2)=a(1)+20,..., a(n)=a(1)+(n-1)x20 che deve essere uguale a (n-2)x180.
Da qui, ricordando che 1+2+3+...+n=n(n-1)/2, si ha che a(1)=180x(n-2)-n(n-1). Poiché a(1) è maggiore di zero si ricava che n è compreso tra 3 e 16. Imponendo poi che a(n) debba essere minore di 180 gradi (il poligono è convesso) si arriva a concludere che n è compreso tra 3 e 6. Perciò, gli unici poligoni che ci interessano sono:
n=3, triangolo, a(1)=40 gradi
n=4, quadrilatero, a(1)=60 gradi
n=5, pentagono, a(1)=68 gradi
n=6, esagono a(1)=70 gradi


12) Il "Dudeney"


Spostando i pezzi a, b, c del triangolo di partenza si ottiene un rettangolo (vedi figura).
Si osservi preliminarmente che i triangoli BCD e FGE sono uguali. Si ponga AH=l; allora BD=rad(3)l/4 e BF=l/2. Inoltre, si ha che i tringoli BCD e BFE sono simili. Noi ci proponiamo di calcolare R=(BE+BC)/2EF. Ora EF=(BF x BC)/BD=2rad(3)BC/3 e BE=(BE x BF)/BD=4BC/3 da cui R=7/4rad(3) che è circa 1.01.


13) Divisione nello spazio

Come direzioni, si possono fissare le 3 individuate da una terna di assi cartesiani ortogonali fra loro.
Si consideri inizialmente il cubo unitario con un vertice nell'origine degli assi e spigoli paralleli agli assi; per costruire questa regione limitata sono stati usati sei piani. Si procede allora secondo questo schema aggiungendo un piano alla volta e ottenendo nuovi cubi unitari. Si ottiene così la seguente tabella:

Piani utilizzati                       Regioni limitate                    Regioni illimitate                       

6                                          1                                         26                                            

7                                          2                                         34                                            

8                                          4                                         44                                            

9                                          8                                         56                                            

10                                        12                                       68                                            

11                                        18                                       82                                            

12                                        27                                       98                                            

13                                        36                                       114                                          

14                                        48                                       132                                          

15                                        64                                       152                                          

16                                        80                                       172                                          

17                                        96                                       192                                          

14) Il miglior punto di osservazione

Il procedimento risolutivo qui delineato fa uso di alcuni elementi di trigonometria e presuppone la capacità di trovare i minimi di una funzione reale di variabile reale.

Tutti i casi in cui S appartiene a S0N (arco minore di una semicirconferenza) dal nostro punto di vista non sono interessanti; quindi possiamo supporre S appartenente a KS0.
Ragionando sul triangolo LOS0, si ottiene che
.
Poniamo
;
allora
,
cioè
.
Se
,
naturalmente la lunghezza di PQ è direttamente proporzionale ad alfa. Con queste notazioni, risulta allora:

Ragionando sul triangolo LMS, si ricava la relazione:

da cui si ricava alfa in funzione di x o più precisamente coseno di alfa in funzione di coseno di x:

Per comodità si ponga
e .
Poiché trattiamo con coseno di alfa e siamo interessati al massimo valore di alfa (compreso tra 0 e 90 gradi) dobbiamo trovare il minimo di

con t nell'intervallo (4/5, 1). Risolvendo, si ottiene t=117/126 che dà

cioè
.
Si conclude che l'arco massimo PQ è dato da: