CAMPIONATI
INTERNAZIONALI DI GIOCHI MATEMATICI
QUINTA EDIZIONE ITALIANA
SEMIFINALE - 14 marzo 1998
INIZIO CATEGORIA C1
1) I NUOVI ANNALI (coefficiente 1)
I nuovi Annali del campionato internazionale di giochi
matematici e logici hanno 96 pagine. Tre volumi vengono
pubblicati ogni due anni, i primi tre sono stati pubblicati
nel 1997. In quale anno gli Annali supereranno le 1998 pagine?
2) SULLA STRADA DI TROPEA (coefficiente 2)
Michele, che rientra a casa e procede verso Tropea (e verso
S. Domenica), ha appena superato ii cartello rappresentato
sopra. Qualche tempo piu' tardi, egli passa davanti ad un
altro cartello che reca le due indicazioni seguenti:
TROPEA .... S. DOMENICA .....
Egli nota che le due distanze espresse in chilometri, sono
scritte utilizzando le stesse cifre, nello stesso ordine, e
differiscono solo per l'esistenza di una virgola nella seconda.
A quale distanza da Tropea si trova Michele?
3) LA CORSA DI CHLOE' (coefficiente 3)
Durante una marcia in linea retta, Roberta ha 1998 metri di
vantaggio sulla cagnetta di razza Shitzu Chloe'. Ora, in un
secondo Chloe' percorre 5 metri, mentre Roberta ne percorre
solo 2. Dopo quanti secondi la cagnetta avra' raggiunto la
padroncina?
4) IL DADO TETRAEDRICO (coefficiente 4)
Questo dado ha quattro facce identiche (non
trasparenti) numerate da 1 a 4. Lo si pone con la faccia 1
sulla casella di un esagono (vedi la
figura a lato, vista dall'alto), poi si fa ruotare il
dado attorno ad uno dei suoi lati in modo da spostarsi
successivamente sulle caselle b, c, d, e fino in f.
Su quale faccia sara' allora appoggiato?
INIZIO CATEGORIE C2, L1, L2 e GP
5) LE SETTE MONETE (coefficiente 5)
Sette monete sono allineate, tutte mostrano la "testa" verso
l'alto. Ad ogni mossa, si devono ribaltare esattamente tre
monete a scelta. Qual e' il numero minimo di mosse
necessarie affinche' le sette monete presentino tutte la
"testa" verso il basso?
6) AL CONTRARIO (coefficiente 6)
_ _ _ _ _ _ _ _ x _ = 98765432. Il primo membro
dell'uguaglianza sopra riportata ha due fattori (uno di 8
cifre e l'altro di 1) dove ogni cifra da 1 a 9 compare una
sola volta. Purtroppo, non si tratta della soluzione banale
98765432 x 1 = 98765432. Quanto vale il secondo fattore?
7) IL PIANO DI ATTILIO (coefficiente 7)
Attilio abita al quarto piano di un palazzo,
nell'appartamento n. 49. In questo palazzo, gli appartamenti
sono numerati a partire da 1, in ordine, piano per piano,
partendo dal piano terreno. Ogni piano, compreso il piano
terreno, ha lo stesso numero di appartamenti. Tutti gli
appartamenti del piano di Attilio sono occupati da "single"
senza figli. Quanti sono i vicini di Attilio sul suo piano?
8) UN SEGMENTO E DEI QUADRATI (coefficiente 8)
36 chiodi sono piantati regolarmente come nella figura in
alto. Vogliamo tendere una cordicella per formare un
quadrato che circondi il segmento nero. Questo segmento non
deve toccare alcun lato del quadrato, ma un lato del quadrato
puo' toccare due o piu' chiodi. Quanti quadrati differenti
rispondenti alle condizioni richieste si possono costruire?
9) UNA GROSSA VINCITA (coefficiente 9)
In Boldavia esiste un gioco d'azzardo molto popolare
denominato zingo. Per giocare bisogna fare una puntata al
massimo di 20 corone boldave e dividere questa puntata,
espressa in corone, in due numeri che si devono scrivere sul
proprio foglio di gioco. Quando vince, il fortunato giocatore
riceve allora una somma pari al prodotto del quadrato del
primo numero per il cubo del secondo (ricordiamo che il
quadrato di 5, per esempio, e' 5x5, e che il suo cubo e'
5x5x5). Quale vincita massima possiamo aspettarci da un
foglio di gioco di zingo?
FINE CATEGORIA C1
1O) L'ISOLA FIORITA (coefficiente 10)
L'isola fiorita e' cosi' chiamata perche' nella bella
stagione i suoi numerosi alberi da frutto sono in fiore e
cio' e' molto bello da vedere. Gli alberi da frutto sono
disposti in modo che vi sia in media un albero ogni 18 m2
di terreno. L'isola ha la forma di un rettangolo due
volte piu' lungo che largo e, quando si fa il giro in
battello, restando sempre scrupolosamente a 700 metri
dalla riva per meglio contemplarla, si percorrono 6398 m
(il capitano ci aveva dato la distanza in nodi marini, ma
vi abbiamo fatto la conversione!). Potete dirci quanti
alberi da frutto vi sono sull'isola? (Per eventuali
calcoli, si prenda 22/7 come valore di pi greco).
11) LA PISTOLA DA CALCOLO (coefficiente 11)
Il disegno soprastante comprende una riga formata da 11
caselle e sotto un'altra linea di 9 caselle. Le caselle
della prima riga sono riempite con dei numeri scelti e,
con l'aiuto di una "pistola da calcolo" che puo' scivolare
orizzontalmente, vengono riempite le caselle della seconda
riga. Per ogni posizione della pistola, si scrive nella
casella in basso la somma dei tre numeri che compaiono in
alto. Cosi', nell'esempio della figura (di cui non si deve
tener conto), 7+4+9 = 20. Riempite la riga in alto con
dei numeri interi strettamente positivi tutti differenti,
in modo che i numeri in basso siano 9 numeri interi
consecutivi, scritti in ordine crescente da sinistra a
destra e di cui il maggiore sia il piu' piccolo possibile.
FINE CATEGORIA C2
12) LA TORTA DELLA NONNA (coefficiente 12)
Preparata in casa con tutti ingredienti genuini, la torta
della nonna, distesa su un tavolo di marmo aveva attirato
gli appetiti di tutti i golosi della famiglia. Dope due
giorni ne restava una libbra (500 grammi), della forma
ABCD riportata in figura. Cristina e Marco decidono di
dividersela con un ultimo taglio, prolungando [AD] : OCD
per Cristina e OAB per Marco. Con l'aiuto delle
dimensioni riportate sul disegno (in pollici), dite
quanti grammi di torta mangera' Marco.
13) L'ETA' DI MATTEO (coefficiente 13)
Matteo ha quattro figli : una figlia maggiore e tre
gemelli. La figlia maggiore di Matteo, che colleziona
bambole, ne riceve 14 ad ogni compleanno. Quanto ai
gemelli, poiche' comincia a mancare lo spazio nella
casa, hanno dovuto accontentarsi di 4 orsi di peluche
ciascuno per ogni compleanno. Matteo constata che
addizionando il quadrato della sua eta' con la somma
dei quadrati degli anni dei suoi figli, aggiungendo 1,
ottiene 1998. Inoltre, aggiungendo al quadrato della sua
eta' il numero delle bambole e di orsi di peluche dei
suoi figli, sempre aggiungendo 1, ottiene il prodotto
dell'eta' di sua moglie, che ha 29 anni, per l'eta' di
sua madre, che ha 71 anni. Qual'e' l'eta' di Matteo?
14) PRODOTTO MASSIMO (coefficiente 14)
Abbiamo sistemato i numeri dispari 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13
e 15 in un certo ordine X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8,
in modo che il prodotto (2 - X1) (4 - X2) (6 - X3) .....
(16 - X8) sia il piu' grande possibile. Scrivete
l'ordine nel quale sono stati ordinati i numeri 1, 3, 5,
7, 9, 11, 13 e 15.
FINE CATEGORIA L1
15) I RETTANGOLI DI ROSI (coefficiente 15)
Utilizzando 12 piccoli quadrati uguali si possono
formare tre rettangoli differenti (1 x 12; 3 x 4, 2 x 6).
Allo stesso modo, quale numero, strettamente minore di
200 piccoli quadrati uguali, consente di formare
esattamente sei rettangoli differenti?
16) I TERRENI DEI FRATELLI PRENDITUTTO (coefficiente 16)
I tre celebri fratelli Prenditutto, dopo una vita di
rapine, hanno acquistato, per ritirarsi a vita privata,
tre terreni quadrati confinanti ciascuno con un lato ad
un lago di forma triangolare, dove essi potranno
abbandonarsi alla loro passione: la pesca con la canna.
Il triangolo del lago, che non e' isoscele, ha una
particolarita': le tangenti dei suoi tre angoli sono dei
numeri interi. D'altra parte, un lato del lago, non il
piu' grande ne' il piu' piccolo, misura 400 m. Qual'e'
la somma delle aree dei terreni dei tre fratelli
Prenditutto, espressa in hm˛? Arrotondare all'hm˛ piu'
vicino.
FINE CATEGORIE L2 e GP
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