Resoconto di una esperienza originale per l’introduzione del p , a proposito del cerchio e del calcolo della sua area, fatta nell’anno scolastico 98 /99 nella classe terza D della Scuola Media Statale "E. Torricelli " di Casandrino (Na)

Tra i tanti problemi che si pongono ad un insegnante di scienze matematiche nella scuola media dell’obbligo, e non solo, particolare attenzione merita quello della introduzione dei numeri fissi a proposito dei poligoni regolari a più di quattro lati e del cerchio.

In questi ultimi decenni sono stati però proposti numerosi artifici pratici con i quali gli alunni stessi possono scoprire le relazioni numeriche esistenti tra lato del poligono regolare e suo apotema e tra circonferenza e suo diametro.

Solo il p da introdurre nell’algoritmo per il calcolo dell’area del cerchio non ha ancora trovato una modalità pratica di introduzione.

Come è a tutti noto, l’area del cerchio, di cui si conosce la misura del raggio, viene calcolata con la ben nota formula

A = r² x p

Dove " r " è la misura del raggio e "p " vale quel famoso 3,14…….

Il p rappresenta il rapporto tra la lunghezza della circonferenza di un cerchio e il suo diametro nonché il rapporto tra area del cerchio e quadrato del suo raggio

p = C/d p = A/r²

La determinazione di tale numero fisso ha interessato i matamatici sin dall’epoca degli egiziani, i quali con procedimenti pratici riuscirono a calcolare per tale numero fisso un valore molto vicino a quello che noi oggi conosciamo.

Si hanno tracce intorno al suo valore già nella Bibbia ( passo in cui si descrive la costruzione nel tempio di Salomone di un’ampia conca di forma circolare il cui bordo era tre volte la lunghezza del suo diametro).

In quel periodo il rapporto (p ) tra circonferenza e diametro risultava pertanto uguale a " 3 ". Anche i babilonesi consideravano la lunghezza della circonferenza pari a tre volte il suo diametro.

Il primo che tentò di calcolare tale valore scientificamente fu Archimede.

Questi, per la determinazione del valore del p , partì dallo studio di due esagoni, uno circoscritto ed uno inscritto in una circonferenza, raddoppiò i lati dei poligoni progressivamente fino ad arrivare alla costruzione di due poligoni di 96 lati e ne determinò con l’algoritmo che noi conosciamo (P=lunghezza del lato x 96), quindi considerò la lunghezza della circonferenza compresa tra i due perimetri che risultava pari a 3 volte il diametro aumentato di una frazione compresa tra 10|71 e 10|70 e giunse pertanto alla conclusione che il valore di p era compreso tra 3,140…. e 3,142….

Gli indiani, con lo stesso procedimento di Archimede, ma con un poligono di 384 lati trovarono per p un valore di 3,1416….

Nei secoli successivi i matematici trovarono valori sempre più approssimati e nel 1600 Adriano Metius trovò un valore pari a 3,14159292.

Successivamente furono trovate ben 808 cifre decimali ed ancora oltre.

In pratica un valore esatto di p , come sappiamo, non esiste in quanto esso non è un numero decimale finito e neppure periodico , è , cioè, un numero irrazionale.

Come introdurre il p a proposito del cerchio?

Se si vuol suscitare interesse per la ricerca matematica, anche nei ragazzi , non si dovrebbe enunciare il valore delp e poi passare alla dimostrazione o alla verifica, perché si viene a togliere, in tal modo, la parte più suggestiva del processo di apprendimento.

Occorre invece mettere gli allievi in un atteggiamento intellettivo tale da far nascere l’idea.

E’ del resto il processo tipico della scoperta matematica: il matematico prima intuisce che deve valere un certo teorema poi, in un secondo momento, procede alla sua dimostrazione rigorosa.

Nel corso della geometria intuitiva i ragazzi devono provare a trarre delle regole generali dai procedimenti concreti, manuali, da semplici costruzioni, da semplici mezzi matematici. In tale ottica il valore del rapporto tra circonferenza e diametro deve essere calcolato, seppure con qualche approssimazione, dagli stessi alunni. Numerosi sono stati gli stratagemmi adoperati finora.

Quello che uso normalmente è fare costruire ad ogni alunno un certo numero di cerchi di cartoncino di raggi diversi che poi vanno tagliati e, servendosi di un metro da sarta ( cioè flessibile), per ogni cerchio va misurato il diametro e la circonferenza.

Successivamente in classe vengono segnati alla lavagna per ogni cerchio diametro e lunghezza del bordo e poi calcolato il rapporto per uno stesso cerchio tra circonferenza e diametro . Quindi tra tutti i valori segnati va fatta la media aritmetica ( tale stratagemma permette anche l’utilizzo di questo strumento matematico) che risulta molto vicina al 3.14.

Per quanto riguarda invece la "relazione p " tra area del cerchio e quadrato del suo raggio finora non era stato proposto nessun sistema diretto che rispondesse alle caratteristiche didattiche enunciate.

Un tentativo è stato fatto nella classe terza D dell’anno scolastico 98/99 a conclusione di una unità didattica sui numeri fissi e sul perché della loro introduzione. I risultati, sembrano soddisfacenti e, secondo me, degni di essere portati all’attenzione del mondo scolastico.

Come ben sappiamo il p corrisponde anche al rapporto tra area del cerchio e quadrato del suo raggio

p = A/r²

che può in maniera elementare essere enunciato sotto forma della seguente domanda:

Quante volte il quadrato che ha per lato il raggio di un cerchio entra nel cerchio che ha per raggio il lato dello stesso quadrato?
Per tale dimostrazione ho fatto costruire dai ragazzi con diversi materiali omogenei cerchi sullo schema del seguente disegno

 r = raggio

Dopodichè, servendoci di un seghetto, con la massima precisione abbiamo tagliato i seguenti pezzi

raggio del cerchio = lato del quadrato

Con una bilancia analitica a lettura digitale abbiamo quindi pesato il cerchio e il quadratino che ha per lato il raggio abbiamo calcolato quindi su cerchi di varie misure il rapporto tra peso del cerchio e peso del quadratino (vedi tabella ) .

A questo punto abbiamo fatto la seguente considerazione se per ogni cerchio e quadratino corrispondente spessore e peso specifico sono uguali a pesi uguali corrispondono superfici uguali, quindi al rapporto tra i pesi possiamo sostituire quello delle aree.

Espresso in termini matematici:

p = Pc/Pq = Ac x hc x ps / Aq x hq x p

che con le opportune semplificazioni diventa

p = Ac/Aq

Dove

P_c= Area del cerchio
P_q = Area del quadrato
h_c = Spessore del cerchio
h_q = Spessore del quadrato
ps = Peso Specifico del materiale

Essendo l’area del quadrato uguale al raggio al quadrato possiamo scrivere:

A/r² = 3,14

Da cui

A = r² x 3,14

 Questo tipo di esperienza si presta, secondo me, molto bene al tipo di approccio induttivo che caratterizza la geometria a questo livello di studi in quanto:

Prof. Cammisa Salvatore, docente a tempo indeterminato di Scienze Matematiche, Chimiche, Fisiche e Naturali nella Scuola Media Statale "E.Torricelli" di Casandrino (Na) Dirigente Scolastico prof. Don Angelo Crispino.

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