Il campo gravitazionale


Il vettore del campo

Secondo la legge di gravitazione di Newton, il modulo della forza gravitazionale esercitata su una massa M2 da una massa M1, situata a una distanza r dalla prima è

Si sa che F è una grandezza vettoriale e che la forza agente su M2 è diretta verso M1   Conviene descrivere questa situazione nella maniera seguente. La massa M1, crea una certa condizione nello spazio alla quale M2 reagisce ed M2 è soggetta a una forza diretta verso m,. Questa «condizione» è il campo gravitazionale di M1,. (Naturalmente, mi è soggetta anch'essa a una forza diretta verso M2 e dovuta al campo gravitazionale di M2; ma continuiamo a considerare gli effetti dovuti al campo di M1) Poiché M1, produce in qualche modo questo campo gravitazionale che attrae M2 si dice che M1, è la sorgente del campo e si chiama m, massa-sorgente. Ogni oggetto (per esempio, M2) che è collocato in questo campo, in un punto qualsiasi, sarà soggetto a una forza che dipende dal campo gravitazionale creato da M1, in quel punto.

Invece di scrivere una legge della forza per il caso di una particolare massa M2, dividiamo entrambi i membri dell'equazione per M2:

Il secondo membro di questa espressione dipende ora solo dalla distanza di M2 da M1, e non dalla massa di M2. Cioè, il secondo membro è una descrizione del campo gravitazionale a questa distanza dovuto alla massa-sorgente e resterà immutato qualunque sia la massa M2 collocata in questa posizione. Perciò, riscriviamo questa espressione in una forma che mette in evidenza solo la massa- sorgente. La nuova grandezza, che è il secondo membro dell'equazione precedente e che descrive il campo gravitazionale di m,, sarà denotata con g:

dove la massa-sorgente M1 è ora indicata con M. Le dimensioni di g sono quelle di una forza divisa per una massa, ossia di un'accelerazione.

Poiché la forza gravitazionale Fgrav è un vettore, la grandezza g è anch'essa un vettore. La descrizione completa del campo gravitazionale (modulo e orientazione) dovuto alla massa-sorgente M in un punto qualsiasi P è data da g, il vettore campo gravitazionale (si veda la figura 8A).

Il vettore del campo, g, dà la forza per unità di massa agente su (o l'accelerazione di) un oggetto qualsiasi collocato nel campo gravitazionale della massa-sorgente M. La forza gravitazionale che agisce sulla massa m è

Fgrav =m g

Questa equazione è esattamente il corrispondente vettoriale della familiare equazione scalare, F=mg, che abbiamo usato in precedenza per calcolare le forze gravitazionali. In realtà, l'accelerazione dovuta alla gravità, g, che abbiamo usato, è semplicemente il modulo del vettore del campo, g. Naturalmente, il vettore del campo, g, è una grandezza più generale e varia con la posizione nello spazio, ma sulla superficie della Terra ha come modulo 9,81 m/sec2.    

Il principio di sovrapposizione

Uno dei fatti che rendono così utile il concetto di campo nel caso gravitazionale (come pure nel caso elettrico, come vedremo) è che il vettore forza gravitazionale e il vettore campo gravitazionale ubbidiscono al principio di sovrapposizione. Cioè, se si vuole calcolare la forza esercitata su un dato oggetto da molti altri oggetti (fig. 85), la forza risultante è la somma vettoriale di tutte le forze individuali; ciascuna di queste forze individuali può essere calcolata come se gli altri oggetti non fossero presenti. Perciò,

Fgrav = F1 + F2 + F3 +…

Poiché il vettore campo gravitazionale è semplicemente la forza per unità di massa, ne consegue che g ubbidisce a una analoga relazione additiva:

gris= g1+g2+g3+ …

Dire che la forza gravitazionale che agisce su un oggetto è la somma vettoriale di tutte le forze contribuenti, ciascuna calcolata senza tener conto delle altre, non è un'asserzione insignificante o banale. Per esempio, consideriamo la forza che agisce su una massa m per effetto di altre due masse, Mi ed M2. Il principio di sovrapposizione dice che la forza agente su m è Il fatto che M2 giaccia fra Mi ed m non influenza il calcolo della forza dovuta a Mi. Cioè, M2 non «scherma» od «oscura» la forza esercitata da Mi su m: è la stessa, sia presente o no M2 l. Questo risultato è ottenuto solo per via sperimentale. In primo luogo, si ipotizza il principio di sovrapposizione e se ne traggono le conseguenze. (Per esempio, non è solo la superficie della Terra che attrae la Luna, è l'intera massa della Terra che agisce, e ciascuna piccola porzione svolge la sua funzione indipendentemente dalle altre porzioni.) In secondo luogo, queste conseguenze sono verificate per confronto con i risultati speri- mentali. Poiché non è mai stata riscontrata alcuna contraddizione, il principio di sovrapposizione per le forze gravitazionali è considerato valido.  

Linee di forza

Un diagramma o una carta di un campo vettoriale, per esempio del campo della forza gravitazionale di una massa-sorgente, è più complesso di quello di una semplice grandezza scalare, per esempio della pressione atmosferica, perché si deve specificare, oltre che un modulo, anche un'orientazione. Supponiamo di cominciare a disegnare una carta del campo della forza gravitazionale intorno a una certa massa-sorgente M, misurando la forza agente su una piccola massa di prova.

I risultati di tali misurazioni possono essere rappresentati per mezzo di una serie di frecce. La lunghezza di ciascuna freccia è proporzionale alla forza gravitazionale all'estremo della freccia (cioè, all'estremo opposto alla punta) e l'orientazione della forza è data dall'orientazione della freccia. Oppure, si può costruire intorno alla massa- sorgente una famiglia di linee continue, chiamate linee di forza, tali che in ogni punto la direzione della forza sia data dalla direzione della linea di forza passante per quel punto. Il modulo della forza in ogni punto di tale diagramma è proporzionale alla densità delle linee nell'immediata vicinanza di quel punto. A una distanza r dal centro della massa M, la densità delle linee di forza è proporzionale all’intensità del campo, come è richiesto dalla dipendenza radiale della legge della forza gravitazionale. Perciò, il semplice esame di un diagramma delle linee di forza rivela dove la forza è più intensa (dove le linee si addensano) e dove la forza è meno intensa (dove le linee si diradano e la loro densità è bassa).

Sebbene la rappresentazione mediante le linee di forza sia utile per visualizzare il campo di forza che circonda un oggetto, è importante rendersi conto che questa immagine è solo un'invenzione: non esistono linee le quali, come una sorta di elastici di gomma, si allungano attraverso lo spazio ed esercitano forze su altri oggetti. Le linee di forza non sono reali: esse servono solo di aiuto al pensiero quando si affrontano problemi concernenti i campi di forza.

Nel caso di una semplice massa sferica, le linee di forza sono tutte linee rette in direzione radiale. Ma nel caso di oggetti aventi una forma complicata o nel caso di un gruppo di corpi (anche di corpi sferici), le linee di forza saranno in genere curve. Per esempio, consideriamo il caso di due oggetti sferici identici situati l'uno vicino all'altro, come è illustrato nella figura 8.9. Le linee di forza possono essere rappresentate misurando la forza che agisce su una massa di prova in molti punti del campo, o calcolando la somma vettoriale delle due forze gravitazionali in ogni punto. Nel prossimo paragrafo mostreremo un altro significato della rappresentazione mediante le linee di forza.

 

Il potenziale gravitazionale

Energia potenziale per unità di massa

Abbiamo trovato che l'energia potenziale gravitazionale di una massa di prova m situata a una distanza r da una massa-sorgente M è

Come nel caso del vettore forza gravitazionale e del vettore campo gravitazionale, se si divide l'energia potenziale gravitazionale per m si ottiene una grandezza che è caratteristica della massa-sorgente M e non dipende dalla massa di prova. Questa grandezza è chiamata potenziale gravitazionale ed è denotata con il simbolo V:

da  l'energia potenziale per unità di massa. Poiché il valore assoluto dell'energia potenziale gravitazionale non ha significato fisico, lo stesso può dirsi del potenziale gravitazionale. Poiché solo le variazioni di Epotgrav o di Vgrav hanno significato, si può sempre scegliere, per comodità, una posizione arbitraria come livello zero. Le equazioni sono scritte con la convenzione che Epot, gravitazionale Vgrav sono zero quando r tende all'infinito.

Il potenziale gravitazionale Vgrav e una grandezza scalare e ubbidisce al principio di sovrapposizione. E’ chiaro che la grandezza Vgrav ha un valore definito in ogni punto dello spazio e soddisfa tutti i requisiti di una grandezza di campo. Perciò, Vgrav rappresenta il campo scalare del potenziale gravitazionale, mentre g rappresenta il campo vettoriale della forza gravitazionale.

 

Superfici equipotenziali

Il potenziale gravitazionale dovuto a un oggetto sferico uniforme dipende solo dalla distanza radiale da quell'oggetto. Perciò, il potenziale sarà lo stesso in ogni punto di uno strato sferico nel cui centro si trova la massa-sorgente. Tale strato è una superficie equipotenziale. Nel caso di una massa-sorgente sferica uniforme, le superfici equipotenziali sono una serie di strati sferici.

Si ricordi che le linee di forza di una massa-sorgente sferica sono tutte rette radiali. Perciò, le linee di forza sono perpendicolari alle superfici equipotenziali. Si tratta, in realtà, di un risultato generale: le linee di forza e le superfici equipotenziali per qualsiasi massa-sorgente o qualsiasi gruppo di masse-sorgenti sono sempre mutuamente perpendicolari.

Questa asserzione può essere dimostrata nel modo seguente. Si sa che non occorre alcun lavoro (in assenza di attrito) per spostare un oggetto con velocità costante in direzione perpendicolare a quella della forza che agisce su di esso; inoltre, la direzione perpendicolare è l'unica direzione per cui ciò accade. Se non è eseguito alcun lavoro su o da un corpo, non può esserci alcuna variazione dell'energia potenziale del corpo. Perciò, non occorre alcun lavoro per spostare un corpo con velocità costante lungo una superficie equipotenziale (partendo da un punto qualsiasi e procedendo in una direzione qualsiasi, per esempio da A a B.) poiché tale spostamento non altera l'energia potenziale. Dato che nello spostamento su una superficie equipotenziale non è eseguito alcun lavoro, questa superficie dev'essere dappertutto perpendicolare alle linee di forza.