Secondo la legge di
gravitazione di Newton, il modulo della forza gravitazionale esercitata
su una massa M2 da una massa M1, situata a una distanza r dalla
prima è
Si sa che F è una
grandezza vettoriale e che la forza agente su M2 è diretta verso
M1 Invece
di scrivere una legge della forza per il caso di una particolare
massa M2, dividiamo entrambi i membri dell'equazione per M2:
Il
secondo membro di questa espressione dipende ora solo dalla distanza
di M2 da M1, e non dalla massa di M2.
Cioè, il secondo membro è una descrizione del campo gravitazionale a
questa distanza dovuto alla massa-sorgente e resterà immutato qualunque
sia la massa M2 collocata in questa posizione. Perciò,
riscriviamo questa espressione in una forma che mette in evidenza solo
la massa- sorgente. La nuova grandezza, che è il secondo membro
dell'equazione precedente e che descrive il campo gravitazionale di m,,
sarà denotata con g:
dove
la massa-sorgente M1 è ora indicata con M. Le dimensioni di
g sono quelle di una forza divisa per una massa, ossia di un'accelerazione. Poiché
la forza gravitazionale Fgrav è un vettore, la grandezza g è anch'essa
un vettore. La descrizione completa del campo gravitazionale (modulo e
orientazione) dovuto alla massa-sorgente M in un punto qualsiasi P è
data da g, il vettore campo gravitazionale (si veda la figura
8A). Il
vettore del campo, g, dà la forza per unità di massa agente su
(o l'accelerazione di) un oggetto qualsiasi collocato nel campo
gravitazionale della massa-sorgente M. La forza gravitazionale che
agisce sulla massa m è Fgrav =m g Questa
equazione è esattamente il corrispondente vettoriale della familiare
equazione scalare, F=mg, che abbiamo usato in precedenza per
calcolare le forze gravitazionali. In realtà, l'accelerazione dovuta
alla gravità, g, che abbiamo usato, è semplicemente il modulo del
vettore del campo, g. Naturalmente, il vettore del campo, g, è una
grandezza più generale e varia con la posizione nello spazio, ma sulla
superficie della Terra ha come modulo 9,81 m/sec2.
Il principio di sovrapposizioneUno
dei fatti che rendono così utile il concetto di campo nel caso
gravitazionale (come pure nel caso elettrico, come vedremo) è che il
vettore forza gravitazionale e il vettore campo gravitazionale
ubbidiscono al principio di sovrapposizione. Cioè, se si vuole
calcolare la forza esercitata su un dato oggetto da molti altri oggetti
(fig. 85), la forza risultante è la somma vettoriale di tutte le forze
individuali; ciascuna di queste forze individuali può essere calcolata
come se gli altri oggetti non fossero presenti. Perciò, Fgrav = F1 + F2 + F3 +… Poiché il vettore
campo gravitazionale è semplicemente la forza per unità di massa, ne
consegue che g ubbidisce a una analoga relazione additiva: gris= g1+g2+g3+ … Dire
che la forza gravitazionale che agisce su un oggetto è la somma
vettoriale di tutte le forze contribuenti, ciascuna calcolata senza
tener conto delle altre, non è un'asserzione insignificante o banale.
Per esempio, consideriamo la forza che agisce su una massa m per effetto
di altre due masse, Mi ed M2. Il principio di
sovrapposizione dice che la forza agente su m è Il fatto che M2
giaccia fra Mi ed m non influenza il calcolo della
forza dovuta a Mi. Cioè, M2 non
«scherma» od «oscura» la forza esercitata da Mi su m:
è la stessa, sia presente o no M2 l. Questo risultato è
ottenuto solo per via sperimentale. In primo luogo, si ipotizza il
principio di sovrapposizione e se ne traggono le conseguenze. (Per
esempio, non è solo la superficie della Terra che attrae la Luna, è
l'intera massa della Terra che agisce, e ciascuna piccola porzione
svolge la sua funzione indipendentemente dalle altre porzioni.) In
secondo luogo, queste conseguenze sono verificate per confronto con i
risultati speri- mentali. Poiché non è mai stata riscontrata alcuna
contraddizione, il principio di sovrapposizione per le forze
gravitazionali è considerato valido.
Linee di forzaUn diagramma o una carta di un campo vettoriale, per esempio del campo della forza gravitazionale di una massa-sorgente, è più complesso di quello di una semplice grandezza scalare, per esempio della pressione atmosferica, perché si deve specificare, oltre che un modulo, anche un'orientazione. Supponiamo di cominciare a disegnare una carta del campo della forza gravitazionale intorno a una certa massa-sorgente M, misurando la forza agente su una piccola massa di prova. I
risultati di tali misurazioni possono essere rappresentati per mezzo di
una serie di frecce. La lunghezza di ciascuna freccia è proporzionale
alla forza gravitazionale all'estremo della freccia (cioè, all'estremo
opposto alla punta) e l'orientazione della forza è data
dall'orientazione della freccia. Oppure, si può costruire intorno alla
massa- sorgente una famiglia di linee continue, chiamate linee di
forza, tali che in ogni punto la direzione della forza sia
data dalla direzione della linea di forza passante per quel punto. Il modulo
della forza in ogni punto di tale diagramma è proporzionale alla densità
delle linee nell'immediata vicinanza di quel punto. A una distanza r
dal centro della massa M, la densità delle linee di forza è
proporzionale all’intensità del campo, come è richiesto dalla
dipendenza radiale della legge della forza gravitazionale. Perciò, il
semplice esame di un diagramma delle linee di forza rivela dove la forza
è più intensa (dove le linee si addensano) e dove la forza è meno
intensa (dove le linee si diradano e la loro densità è bassa). Sebbene
la rappresentazione mediante le linee di forza sia utile per
visualizzare il campo di forza che circonda un oggetto, è importante
rendersi conto che questa immagine è solo un'invenzione: non
esistono linee le quali, come una sorta di elastici di gomma, si
allungano attraverso lo spazio ed esercitano forze su altri oggetti. Le
linee di forza non sono reali: esse servono solo di aiuto al
pensiero quando si affrontano problemi concernenti i campi di forza. Nel caso di una semplice
massa sferica, le linee di forza sono tutte linee rette in direzione
radiale. Ma nel caso di oggetti aventi una forma complicata o nel caso
di un gruppo di corpi (anche di corpi sferici), le linee di forza
saranno in genere curve. Per esempio, consideriamo il caso di due
oggetti sferici identici situati l'uno vicino all'altro, come è
illustrato nella figura 8.9. Le linee di forza possono essere
rappresentate misurando la forza che agisce su una massa di prova in
molti punti del campo, o calcolando la somma vettoriale delle due forze
gravitazionali in ogni punto. Nel prossimo paragrafo mostreremo un altro
significato della rappresentazione mediante le linee di forza. Il potenziale gravitazionaleEnergia
potenziale per unità di massa Abbiamo
trovato che l'energia potenziale gravitazionale di una massa di prova m
situata a una distanza r da una massa-sorgente M è
Come
nel caso del vettore forza gravitazionale e del vettore campo
gravitazionale, se si divide l'energia potenziale gravitazionale per m
si ottiene una grandezza che è caratteristica della massa-sorgente M e
non dipende dalla massa di prova. Questa grandezza è chiamata potenziale
gravitazionale ed è denotata con il simbolo V:
da
l'energia potenziale per unità di massa. Il
potenziale gravitazionale Vgrav e una grandezza scalare e
ubbidisce al principio di sovrapposizione. E’
chiaro che la grandezza Vgrav ha un valore definito in ogni
punto dello spazio e soddisfa tutti i requisiti di una grandezza di
campo. Perciò, Vgrav rappresenta il campo scalare del
potenziale gravitazionale, mentre g rappresenta il campo
vettoriale della forza gravitazionale.
Superfici equipotenzialiIl
potenziale gravitazionale dovuto a un oggetto sferico uniforme dipende
solo dalla distanza radiale da quell'oggetto. Perciò, il potenziale
sarà lo stesso in ogni punto di uno strato sferico nel cui centro si
trova la massa-sorgente. Tale strato è una superficie
equipotenziale. Nel caso di una massa-sorgente sferica uniforme, le
superfici equipotenziali sono una serie di strati sferici.
Si
ricordi che le linee di forza di una massa-sorgente sferica sono tutte
rette radiali. Perciò, le linee di forza sono perpendicolari alle
superfici equipotenziali. Si tratta, in realtà, di un risultato
generale: le linee di forza e le superfici equipotenziali per
qualsiasi massa-sorgente o qualsiasi gruppo di masse-sorgenti sono
sempre mutuamente perpendicolari. Questa
asserzione può essere dimostrata nel modo seguente. Si sa che non
occorre alcun lavoro (in assenza di attrito) per spostare un oggetto con
velocità costante in direzione perpendicolare a quella della forza che
agisce su di esso; inoltre, la direzione perpendicolare è l'unica direzione
per cui ciò accade. Se non è eseguito alcun lavoro su o da un corpo,
non può esserci alcuna variazione dell'energia potenziale del corpo.
Perciò, non occorre alcun lavoro per spostare un corpo con velocità
costante lungo una superficie equipotenziale (partendo da un punto
qualsiasi e procedendo in una direzione qualsiasi, per esempio da A a
B.) poiché tale spostamento non altera l'energia potenziale. Dato
che nello spostamento su una superficie equipotenziale non è eseguito
alcun lavoro, questa superficie dev'essere dappertutto perpendicolare
alle linee di forza. |