LINEARITA' DELLO SPAZIO DEGLI INTEGRALI

Si ricavano quali conseguenze immediate delle corrispondenti proprietą delle derivate. Integrali sempre definiti a meno di una costante. Siano f (x) e g (x) due funzioni e K un costante. Allora

 

$\displaystyle \int$K f (x)   d x = K $\displaystyle \int$f (x)   d x
$\displaystyle \int$ f (x) + g (x)   d x = $\displaystyle \int$ f (x)   d x + $\displaystyle \int$g (x)   d x
a condizione che gli integrali esistano.

Queste regole ci permettono di ridurre un integrale in una somma di integrali elementari che possono essere velocemente determinati..

1° esempio:

$\displaystyle \int$( 2 x + e x   )d x = 2 $\displaystyle \int$ x   d x + $\displaystyle \int$ e x   d x = x 2 + e x + C

2° esempio:

$\displaystyle \int$ (sin x + 2 cos x) d x = $\displaystyle \int$ sin x   d x + 2 $\displaystyle \int$ cos x   d x = - cos x + sin 2x + C

Proprietą dell' integrale definito

Se supponiamo che la funzione la f (x) sia integrabile allora:

PROPRIETA'

DIMOSTRAZIONE
$\displaystyle \int_{a}^{b}$ f (x)   d x = - $\displaystyle \int_{b}^{a}$ f (x)   d x

 F ( b) - F ( a ) = - ( F ( a ) - F ( b))
$\displaystyle \int_{a}^{b}$f (x)d x + $\displaystyle \int_{b}^{c}$f (x)d x=$\displaystyle \int_{a}^{c}$f(x) d x

(( F ( b) - F ( a )) + ( F ( c) - F ( b))

= F ( c) - F ( a )
   

Ulteriori proprietą dell' integrale definito

L' interpretazione di `area ' dell' integrale definito ci dą le seguenti proprietą supplementari:

 

se

allora
  f (x) $\displaystyle \ge$ 0      in     [ a , b ]  $\displaystyle \int_{a}^{b}$ sulla f (x)   d x $\displaystyle \ge$ 0
 f (x) $\displaystyle \ge$ g (x)           [ a , b ] $\displaystyle \int_{a}^{b}$ sulla f (x)   d x $\displaystyle \ge$$\displaystyle \int_{a}^{b}$ g (x)   d x
 m1 $\displaystyle \le$ f (x) $\displaystyle \le$ m2 in [ a , b ] m1 ( b - a ) $\displaystyle \le$$\displaystyle \int_{a}^{b}$ f (x)   d x $\displaystyle \le$ m2 ( b - a )
in ogni caso: $\displaystyle \left\vert\vphantom{\int_a^b f(x) dx}\right.$$\displaystyle \int_{a}^{b}$ f (x)   d x $\displaystyle \left.\vphantom{\int_a^b f(x) dx}\right\vert$$\displaystyle \le$$\displaystyle \int_{a}^{b}$ | f (x) |   d x