• 1° quesito: Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali monometriche (x, y), è assegnata la funzione: y = x2+a log(x +b) con a e b diversi da zero si trovino i valori di a e b tali che la curva G grafico della funzione passi per l'origine degli assi e presenti un minimo assoluto in x=1;
  • 2°quesito:(si studi e si disegni G;)
  • 3°quesito: (si determini, applicando uno dei metodi numerici studiati, un'approssimazione della intersezione positiva di G con l'asse x;)
  • 4° quesito: (si determini l'equazione della curva G' simmetrica di G rispetto alla retta y = y(1) ) 
  • 5°quesito: (si disegni, per i valori di a e b trovati, il grafico di:                   Y= | X2 + a log(x+b)|)

1° QUESITO

Affinché passi per l'origine si deve imporre il passaggio per il punto O(0;0) e quindi 0= a log b e quindi

  • a = 0 ( non accettabile per le condizioni imposte.

  • log b = 0  e quindi b=1 ( accettabile)

La funzione diventa quindi  y= x2 + a log (x+1)

Affinché vi sia un minimo in x=1 si deve imporre che la derivata in x=1 deve valere zero.

y' = 2 x + a /(x+1) e quindi:

0 = 2 + a/2

infine a= -4

2° QUESITO

Campo di esistenza  Argomento del logaritmo > 0 e quindi x >-1
Positività Saltare o trovare la soluzione per via grafica studiando  y1=x2 (tratteggiato)   e y2= 4 log (x+1) (continuo)

Si verifica graficamente che queste funzioni hanno due intersezioni una in 0 e l'altra oltre 2

Pertanto la funzione è positiva se y1>y2 e quindi -1<x<0 e x > x* (numero tra 2 e 2.5).
Limiti:
derivata prima: y' = 2x -4/(x+1)

y'= (2x2 +2x -4)/(x+1)

y'=0 |   x=-2 non accettabile  | x=1 punto di minimo relativo

Min(-1 ; 1-4ln 2)
derivata seconda: y'' = 2 + 4/(x+1)2

y'' sempre positivo. Concavità verso l'alto.
LA FUNZIONE:

3° QUESITO:

Si osserva che l'intersezione è un numero compreso tra 2 e 3.

In questo intervallo la funzione essendo monotona crescente ammetterà una sola soluzione reale.

Applicando il metodo di bisezione si ottiene che l'intersezione è prossimo a 

x= 2,136719
A B f(a) f(b) (a+b)/2 f((a+b)/2)
2 3 -0,39445 3,454823 2,5 1,238948
2 2,5 -0,39445 1,238948 2,25 0,34788
2 2,25 -0,39445 0,34788 2,125 -0,04211
2,125 2,25 -0,04211 0,34788 2,1875 0,148209
2,125 2,1875 -0,04211 0,148209 2,15625 0,051876
2,125 2,15625 -0,04211 0,051876 2,140625 0,004588
2,125 2,140625 -0,04211 0,004588 2,132813 -0,01884
2,132813 2,140625 -0,01883 0,004588 2,136719 -0,00714

4° QUESITO

La retta richiesta è y= 1-4ln 2

La funzione simmetrica rispetto a tale retta ha:

x=x'

y= 2(1-4ln 2) -y' e quindi:

2(1-4ln 2) - y'= x'2 -4 ln(x+1) ossia:

y= -x2 +4 ln(x+1)+ 2(1-4ln2)

5° QUESITO:

La funzione modulo la si ottiene semplicemente ribaltando la parte negativa.

quindi: