MATEMATICA

Maturità 2002 (Liceo Scientifico Tradizionale)

QUESITI

Il rapporto fra la base maggiore e la base minore di un trapezio isoscele è 4. Stabilire, fornendone ampia spiegazione, se si può determinate il valore del rapporto tra i volumi dei solidi ottenuti facendo ruotare il trapezio di un giro completo dapprima intorno alla base maggiore e poi intorno alla base minore o se i dati a disposizione sono insufficienti.

Risposta : SI il rapporto vale 2/3

Posto h= altezza trapezio - a base minore 4a base maggiore con la rotazione attorno alla base maggiore si ottiene un solido costituito da un cilindro di altezza a e raggio h + 2 coni di altezza 3/2 a e raggio h.

V' =

2 1/3 p h 2 3/2 a + p h 2 a

V' =2 a p h 2

Con la rotazione attorno alla base minore si ottiene un solido costituito da un cilindro di altezza 4a e raggio h -2 coni di altezza 3/2 a e raggio h.

V'' =

p h 2 4 a - 2 1/3 p h 2 3/2 a

V'' = 3a p h 2

V' / V'' = 2/3

Due tetraedri regolari hanno rispettivamente aree totali A' e A" e volumi V’ e V". Si sa che A’/A’’=2. Calcolare il valore del rapporto V’/V’’
  
Considerati i numeri reali a,b,c e d comunque scelti se a>b e c>d allora
A) a+d > b+c,
B) a-d > b-c;
C) ad > bc,
D) a/d > b/c

Una sola alternative è corretta: individuarla e motivare esaurientemente la risposta.

Se a>b e c> d allora a+c>b+d

Utilizzando le proprietà delle relazioni d'ordine si ottiene una nuova relazione con lo stesso verso se sottraiamo ai due termini c+d quindi:

a+c -c-d >b+d -c-d

a-d >b - c. (B)
4. Si consideri la seguente proposizione: "La media aritmetica di due numeri reali positivi,
comunque scelti, è maggiore della loro media geometrica". Dire se è vera o falsa e motivare esaurientemente la risposta.

Falsa. Infatti se i due numeri sono uguali le due medie coincidono.

Solo se i due numeri sono diversi è vera.
5. Determinare, se esistono, i numeri a, b in modo che la seguente relazione:

sia un'identità

6. Si Consideri la funzione:
f (x) = (2x - 1)7(4 - 2x)5.
Stabilire se ammette massimo o minimo assoluti nell'intervallo

1/2< x < 2.

La risposta è nell'intervallo scelto c'è sicuramente un punto di massimo o di minimo ( derivata = 0).

Per il teorema di Rolle La funzione essendo continua e derivabile in R lo è anche nell'intervallo in esame e inoltre f(1/2) = f(2) = 0 quindi esiste almeno un punto di massimo o di minimo tra 1/2 e 2


7. Calcolare la derivata, rispetto ad x, delta funzione f(x) tale che:
La funzione reale di variabile reale f(x) è continua nell'intervallo chiuso e limitato [1,3] e derivabile nell'intervallo aperto (1,3). Si sa che f(1)=1 e inoltre che 0 <f'(x)< 2 per ogni x dell'intervallo (1,3). Spiegare in maniera esauriente perché risulta 1 < f(3) < 5

Essendo derivabile la derivata è continua e assume sempre valori inferiori a 2. Pertanto la funzione è sempre sotto la retta passante per il punto P(1,1) e di coefficiente angolare = 2. Detta retta in x=3 assume il valore 1+ 2*2= 5. Pertanto la funzione in esame in 3 assumerà obbligatoriamente un valore inferiore a 5. Essendo la derivata sempre positiva la funzione sarà monotona crescente e dovrà assumere sempre valori superiori a 1.

Da qui l'asserto.

In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani (0xy), è assegnato il luogo geometrico dei punti che soddisfano alla seguente equazione:

Tale luogo è costituito da:

A) 1 punto

B) 2 punti

C) infiniti punti

D) nessun punto.

Una sola alternativa è corretta : individuarla e fornire un'esauriente spiegazione alla risposta.

Per risolvere il quesito è sufficiente determinare il C.E. della funzione quale intersezione della realta delle due radici. Dovendo essere il radicando > 0 Il campo di esistenza si riduce a X=1 e X= -1

Il luogo geometrico pertanto si riduce a 2 punti A(-1;0) B(1;0).

LA RISPOSTA CORRETTA E' LA B

La funzione reale di variabile reale f(x), continua per ogni x, è tale che: