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Vorrei sottoporre alla vostra attenzione un piccolo risultato che ho
utilizzato per la mia tesi di laurea in Matematica. Mi interessa sentire la
vostra opinione a riguardo, per questo od altro vi invito a scrivermi
all’indirizzo carla@x-planet.net .
Vi
invito anche a visitare il mio nuovo sito: http://www.x-planet.net/
grazie a tutti.
L’applicazione sft
Sia P l’insieme dei numeri primi e consideriamo su P l’ordinamento naturale per cui P(i) è l’i-esimo numero primo, P(1) = 2. Sia p un numero primo ad n cifre, costruiamo una trasformazione che trasla le cifre di p e dà come risultato un nuovo numero primo, sempre ad n cifre.
Il procedimento è simile a quello che viene utilizzato per i numeri primi circolari e risulta molto chiaro con un esempio: poniamo p = 1997 e trasliamo le cifre di p di un posto a sinistra ottenendo 997u, dove con u indichiamo una cifra ancora da determinare.
Siccome vogliamo che il nuovo numero sia ancora primo dobbiamo scegliere u all’interno dell’insieme {1, 3, 7, 9} e nel nostro caso l’unica possibilità è 9973, quindi u = 3.
In generale il numero ottenuto con questa applicazione non sarà unico, infatti ad esempio a partire da 1187 si ottengono i numeri 1871, 1873, 1877 e 1879, che sono tutti primi.
D’altra parte ci sono casi in cui nessuno dei possibili quattro numeri è primo, come succede per esempio con 8713.
Allora, dato il numero p, ad esempio formato da quattro cifre abcd, consideriamo l’insieme
ed eliminiamo da esso tutti gli elementi che non sono primi; chiamiamo N(p) l’insieme risultante.
Definiamo ora sft(p) come l’applicazione da P agli elementi di N(p).
In generale, se p è un numero ad n cifre, N(p) si ricava a partire dall’insieme
eliminando da esso tutti gli elementi non primi.
Costruzione della matrice di adiacenza e calcolo dell’entropia
Costruiamo ora la matrice di adiacenza C[n], per i numeri primi fino ad n cifre, di questa applicazione, nel seguente modo: poniamo l’elemento (i, j)-esimo pari ad 1 quando si può passare da P(i) a P(j) tramite la sft(P(i)), altrimenti lo stesso elemento sarà 0.
Il calcolo dell’entropia di questa matrice ci dà un’idea della complessità dello spazio shift generato tramite l’applicazione sft.
Inoltre per questi spazi l’entropia è un invariante per coniugazione, anche se non completo.
Utilizzando la teoria di Perron-Frobenius possiamo calcolare l’entropia di C[n], h(C[n]), attraverso la definizione
dove L è l’autovalore più grande in modulo di C[n].
Eseguendo i calcoli si ottiene un risultato abbastanza inaspettato e cioè
tale valore per l’entropia si ha in corrispondenza dell’autovalore di Perron L > 2.6511, che è comune a tutte e tre le matrici.
Possiamo visualizzare l’applicazione sft tramite un grafico costruito a partire dalla matrice C[4] nel seguente modo: viene disegnato il punto di coordinate (P(i), P(j)) in corrispondenza degli elementi pari ad 1.
Inoltre possiamo visualizzare la matrice C[4] disegnando un puntino in corrispondenza degli elementi pari ad 1. Si può notare una particolare somiglianza tra i due grafici.
Un sistema dinamico stocastico
Iterando ripetutamente l’applicazione sft possiamo costruire un sistema dinamico sull’insieme dei numeri primi P. Per arrivare ad una realizzazione di un tale sistema dinamico dobbiamo necessariamente operare delle scelte ogni qual volta sft(p) contenga più di un elemento. A seconda di come viene fatta questa scelta si osservano comportamenti diversi nella dinamica risultante.
Se operiamo una scelta completamente casuale su N(p) si ottiene un sistema stocastico in cui i punti hanno i comportamenti più vari: a volte le iterazioni si bloccano, come nel caso di
5279 2797
perché sft(p) è vuoto, altre volte sembra che le iterazioni continuino molto a lungo e senza mostrare alcun tipo di regolarità, come succede per
5279 2791 7919 9199 1997 9973 9739 7393 3931 9319 3191 1913 9137 1373 3739 7393 3931 9311 3119 1193 ...
in questi casi non possiamo sapere come proseguirà l’orbita.
Un sistema dinamico deterministico
Cambiando il metodo di scelta possiamo rilevare un andamento completamente diverso: se ad esempio scegliamo come iterato di p l’elemento dato da min{sft(p)} possiamo rendere il sistema deterministico. Si possono così osservare i diversi comportamenti dei punti sottoposti all’iterazione: avremo casi in cui l’iterazione si blocca, come nel seguente esempio
2741 7411 4111 1117 1171
e casi più interessanti in cui l’iterazione porta ad avere orbite periodiche, come le seguenti
1223 2237 2371 3719 7193 1931 9311 3119 1193 1931 9311 3119 ...
e
5279 2791 7919 9199 1993 9931 9311 3119 1193 1931 9311 3119 ...
In entrambi questi casi l’orbita diventa periodica quando arriva nel primo circolare 9311.
Inoltre, siccome il numero degli stati di tale sistema deterministico è finito, possiamo affermare che le orbite hanno solo questi due possibili comportamenti: o sono orbite finite o periodiche.
E’ da sottolineare il fatto che il grafico della sft tiene conto di tutti i sistemi dinamici, deterministici e stocastici, che si possono costruire a partire dalla matrice C[4].
L'autrice è Carla Chicchiero con la supervisione del Prof. P.E. Ricci, Università "La Sapienza", Roma.
Per la parte teorica sugli spazi shift mi sono basata sul testo di D. Lind e B. Marcus, "An Introduction to Symbolic Dynamics and Coding", Cambridge University Press.