INTRODUZIONE

    Uno dei problemi centrali della fisica moderna sembra essere l'apparente incompatibilità delle due teorie che ne costituiscono il fondamento.

La prima è la teoria della relatività generale di Einstein, che correla la forza di gravità alla struttura dello spazio e del tempo. Questa interpretazione della gravità ha condotto a modelli di fenomeni su scala cosmica e alla comprensione dell'origine dell'universo.

La seconda teoria è la meccanica quantistica, che riguarda il mondo atomico e subatomico.

Sono state formulate teorie quantistiche per tre delle quattro forze fondamentali della natura conosciute: le interazioni debole, elettromagnetica e forte. Fino a poco tempo fa sembrava che ci fossero poche probabilità di poter unificare la teoria della gravitazione (la gravità è la quarta forza fondamentale) con le leggi della meccanica quantistica. La difficoltà principale è che una tale unificazione sembra richiedere una formulazione radicalmente nuova delle leggi della fisica su scale di minima distanza.

Tra le forze della natura la gravità ha infatti uno stato particolare. Mentre altre forze, come l'elettromagnetismo, agiscono nello spazio- tempo, che ha semplicemente la funzione di riferimento per gli eventi fisici, la gravità è completamente diversa: non è una forza applicata su uno ``sfondo'' passivo di spazio e di tempo, ma costituisce una distorsione dello spazio-tempo stesso. Un campo gravitazionale è una curvatura dello spazio-tempo. È questa la concezione della gravità che Einstein raggiunse in quella che descrisse come la più pesante fatica della sua vita.

La distinzione qualitativa tra la gravità e le altre forze diventa molto più evidente quando si tenta di formulare una teoria che concordi con i principi della meccanica quantistica. Il mondo quantistico non è, per così dire, mai in quiete. Per esempio, nella teoria quantistica dei campi elettromagnetici, il valore del campo elettromagnetico fluttua continuamente.

In un universo dominato dalla gravità quantistica sarebbero soggette a fluttuazioni la curvatura dello spazio-tempo e la sua stessa struttura topologica, nonostante questa sia conservata a livello classico.

Gli effetti quantistici della gravitazione non possono essere rilevati sperimentalmente (almeno nel prossimo futuro) in quanto sono confinati ad una scala di grandezza straordinariamente piccola, sulla quale Planck richiamò per primo l'attenzione. Nel 1899, in seguito alle sue ricerche sulla radiazione di corpo nero, egli aveva introdotto la sua famosa costante $\hbar$, detta quanto d'azione. Egli notò che tale costante, combinata con altre due costanti fondamentali, la velocità della luce nel vuoto c e la costante di gravitazione universale G, dà origine ad un sistema assoluto di unità di misura.

Tali unità costituiscono la scala della gravità quantistica; la distanza di Planck è:

$$L_P=\left( \frac{\hbar G}{c^3} \right)^{\frac{1}{2}}=1.616\cdot10^{-33} \, cm \; ,$$

il tempo di Planck:

$$T_P=\left(\frac{\hbar G}{c^5}\right)^{\frac{1}{2}}=5.391\cdot10^{-44} \, s \; ,$$

ed infine la massa di Planck è:

$$M_P=\left(\frac{\hbar c}{G}\right)^{\frac{1}{2}}=2.177\cdot10^{-5} \, g \; .$$  

Per verificare sperimentalmente queste scale di grandezza e produrre particelle con massa uguale a M_P, occorrerebbero acceleratori di particelle che, usando le tecnologie attuali, dovrebbero avere le dimensioni della Galassia.

Dal momento che la via sperimentale non sembra poterci aiutare nemmeno in un futuro tanto prossimo, la gravità quantistica è una teoria insolitamente speculativa.

Lo sviluppo di una valida teoria della gravità quantistica offre d'altronde la sola strada per la conoscenza dell'origine del big bang e del destino finale dei buchi neri, eventi che si possono considerare caratteristici dell'inizio e della fine dell'universo, e questo giustifica gli sforzi in questa direzione.

Allo stato attuale, la teoria delle corde (``string theory'') è considerata uno dei più promettenti candidati per una teoria della gravità quantistica, per cui è importante studiare in dettaglio le sue implicazioni, soprattutto su quelle predizioni più estreme della teoria gravitazionale classica come i buchi neri e il big bang.

Purtroppo, però, nonostante la grande coerenza matematica della teoria delle corde, il suo formalismo risulta ancora assai complesso per poter trattare direttamente tali problemi. Per superare queste difficoltà, una delle strategie consiste nel ricavare dalla teoria delle azioni ``efficaci'' a bassa energia, che correggono l'azione classica della relatività generale con l'introduzione di campi scalari, come il dilatone e i campi di modulo, accoppiati in modo non minimale ai campi classici.

Nonostante tale semplificazione possa far perdere alcuni dettagli della teoria (soprattutto nelle condizioni più estreme, come in vicinanza delle singolarità), si può ottenere una prima approssimazione degli effetti dell'azione dilatonica modificata in regime quantistico, nel contesto del formalismo dell'integrale di Feynman euclideo. Tale formalismo è uno dei principali metodi di indagine nell'ambito della gravità quantistica, in particolare nello studio delle fluttuazioni della topologia dello spazio-tempo che, come detto sopra, sono previste dalla teoria quantistica della gravità su scale dell'ordine della lunghezza di Planck. In questo formalismo un ruolo fondamentale è dato dalle soluzioni regolari ad azione finita delle equazioni di campo euclidee classiche, note come istantoni gravitazionali, che interpolano tra regioni asintotiche di topologia differente. Tali istantoni consentono di calcolare la probabilità di ``tunnelling'' tra le metriche corrispondenti alle due regioni asintotiche, per mezzo di una approssimazione semiclassica.

Lo scopo principale di questo lavoro è di considerare un simile approccio semiclassico nel contesto della teoria delle corde. Tuttavia, al momento, molto poco è noto sulle soluzioni di istantoni gravitazionali nell'ambito delle azioni efficaci ricavate dalla teoria delle corde.

Esiste però, in letteratura, un caso molto interessante di istantoni gravitazionali dati, nell'ambito della relatività generale, dalle soluzioni euclidee di buchi neri multipli in presenza di un campo di Maxwell. Questa classe di istantoni possiede alcune regioni asintotiche che approssimano spazi detti universi di Bertotti-Robinson. Una tale circostanza è particolarmente interessante, in quanto, come vedremo in seguito, esiste una classe di buchi neri carichi estremi, le cui regioni asintotiche sono approssimate molto bene da questi universi di Bertotti-Robinson. È allora possibile sfruttare questa proprietà per calcolare, tramite gli istantoni, la probabilità di tunnelling per la divisione o ricombinazione di buchi neri estremi.

In questa tesi generalizzeremo lo studio di tale processo al caso della teoria delle corde.

Questo lavoro è organizzato nel modo seguente.

Nel primo capitolo descriviamo quali sono le principali difficoltà legate alla ricerca di una teoria di gravità quantistica, con le maggiori teorie accreditate, e motivando, per sommi capi, per quali motivi la teoria delle corde sia, al momento, considerata uno dei più promettenti candidati per una ``teoria del tutto''. Nel secondo capitolo si delinea come la dinamica quantistica possa essere formulata tramite l'integrale di cammino di Feynman, mentre nel terzo capitolo spieghiamo come tale formalismo possa essere utilizzato per descrivere fenomeni di tunnelling, facendo uso delle soluzioni classiche euclidee dette istantoni. Nel quarto capitolo si delinea come questi metodi possano essere estesi al caso di un approccio quantistico alla teoria della gravità, e vengono discussi gli istantoni gravitazionali. Nel quinto capitolo si vedrà come le soluzioni classiche della relatività generale possano essere dedotte da un principio variazionale, e vengono descritte le principali caratteristiche dei buchi neri di Schwarzschild e quelli carichi di Reissner-Nordström. Nel sesto capitolo, ricaviamo la generalizzazione delle soluzioni di buchi neri estremi multipli, al caso di una azione efficace a bassa energia, ricavata dalla teoria delle corde, che include l'accoppiamento non minimale di un dilatone e di un campo di modulo. Tale azione interpola tra la relatività generale - le cui soluzioni discusse nel quinto capitolo ne rappresentano un caso particolare - e il modello GHS standard della teoria delle corde, dove il campo scalare è accoppiato in modo minimale ai campi classici. Nel settimo e conclusivo capitolo si mostrerà infine che è regolare la continuazione euclidea delle soluzioni ottenute, il che permette di calcolare la probabilità quantistica di divisione o ricombinazione di buchi neri carichi in teoria delle corde, in approssimazione semiclassica. Come vedremo, l'azione euclidea si annulla eccetto che nel limite della relatività generale, il che ci permetterà di mettere in evidenza alcune importanti differenze tra la relatività generale e la teoria delle corde.

 
1999-03-18