La geometria euclidea (l’unica che s’insegna, purtroppo!) fornisce modelli della natura molto più simili alle forme platoniche che alla realtà.
E’ facile rendersi conto dell’enorme complessità della natura e del fatto che le montagne non sono coni né piramidi, i capelli non sono cilindri, non esistono rette o piani o triangoli ....
La validità della geometria euclidea è tuttavia innegabile se ci si accontenta della sua approssimazione. Ma, se si vuole descrivere e misurare con maggiore precisione la natura irregolare e indisciplinata (affascinante proprio per questo) bisogna abbandonare la geometria del "caro vecchio" Euclide per passare ai FRATTALI di Mandelbrot.
Un frattale (dal latino "fractus") è un oggetto geometrico dai contorni irregolari, spezzati, frammentati. Per definizione, è una figura AUTOSIMILE con DIMENSIONE FRAZIONARIA, ottenibile suddividendo una figura generatrice in un numero sempre più elevato di parti, ognuna delle quali sia una copia rimpicciolita della figura-madre.
La
forma di una nuvola, di un albero, di un fiume, i labirinti cerebrali, le
ramificazioni polmonari, i fiocchi di neve, il percorso del fumo nell’aria, la
conformazione delle scariche elettriche ... sono frattali.
Occorre una certa spregiudicatezza per ammettere che esistono oggetti con dimensione non intera!
A scuola si insegna che una linea ha dimensione uno, un piano ha dimensione due, un solido tre. Le geometrie non-euclidee del secolo scorso aggiunsero altre dimensioni intere permettendo, tra l’altro, la formulazione della Teoria della Relatività Generale, ma solo con Mandelbrot si è giunti ad esplorare il mondo che sta nell’interstizio delle dimensioni classiche.
Benoit Mandelbrot è il matematico francese che elaborò la
teoria dei frattali a partire dagli anni ’50, durante la sua permanenza all’Istituto
di Studi Avanzati di Princeton (U.S.A.), l’ateneo che ha ospitato i più
grandi matematici e fisici del nostro tempo, compresi 14 premi Nobel, tra cui
Albert Einstein.
Nel 1967, sulla rivista Science, Mandelbrot pubblicò un articolo dal titolo
"quanto sono lunghe le coste della Gran Bretagna?".
E’ chiaro che tutto dipende dalla scala usata e dal tipo di misurazione che si
usa.
"Se si prende una carta geografica e si misura la distanza tra la punta
nord e la punta sud della Gran Bretagna, si ottiene una stima grossolana della
lunghezza delle coste.
Ma se uno percorre a piedi i tratti di costa compresi tra gli stessi punti, la
risposta sarà diversa, perché avrà attraversato ogni singola spiaggia e baia,
ogni grotta e promontorio. Se fosse un topolino a compiere lo stesso tragitto,
traccerebbe un percorso ancora più particolare e più irregolare e quindi
percorrerebbe una distanza ancora maggiore. Se poi fosse una formica, o un
microbo … la mente vacilla." (E. Regis)
Ma, allora, la lunghezza di una costa è indefinibile! Brutto
colpo per un matematico dover avere a che fare con qualcosa che sfugge alla
misurazione!
Da qui l’idea che le forme come la costa si trovino nelle "fessure aperte
tra le dimensioni".
Nuove frontiere si aprono nella fisica, nella chimica, nella
neurologia e nella medicina in generale.
Nel suo libro "Fegato a più dimensioni", il medico Professor
Nicola Dioguardi afferma che la struttura anatomica e funzionale di quest’organo
può essere studiata a fondo solo con l’uso della geometria dei frattali che
permetterebbe, tra l’altro, di leggere quantitativamente, e non solo
qualitativamente come avviene oggi, una biopsia.
Qualche anno fa, al Centro Carlo Levi di Matera, nel corso di una serata memorabile, la Professoressa Emma Castelnuovo mostrò immagini di fenomeni naturali ottenute per simulazione grazie alla grafica computerizzata, l’unica tecnica che permette la reiterazione continua di moduli ( cioè di frattali ): alberi, paesaggi "creati" e non fotografati e, perciò, mille volte più fantastici, immagini pittoriche sorprendentemente ordinate nel loro disordine.
Per dirla con Mandelbrot "… a fianco della bellezza astratta della teoria, c’è la bellezza plastica della curva, una bellezza stupefacente."
L’introduzione a scuola della teoria dei frattali certamente indurrebbe gli studenti a capire che la Matematica è anche INVENZIONE e CREAZIONE e che, al pari di un’opera d’arte, può offrire soddisfazioni dal punto di vista estetico.