L'equazione per scovare i "marziani"

E' più facile ottenere un 6 lanciando due volte un dado, oppure lanciando due dadi insieme? E... se non ottenete un 6 dopo aver lanciato un dado per cinque volte, è più facile ottenerlo con il prossimo lancio?

Se avete risposto affermativamente ad entrambi i quesiti, siete incorsi in alcuni tipici errori del giocatore. Tuttavia, siete in buona compagnia: Jean d'Alembert, il grande matematico francese del XVIII secolo, pensava che i risultati ottenibili lanciando tre volte una moneta fossero diversi dal lanciarle insieme. E credeva, come molti, che dopo una serie di teste, una croce fosse più probabile.

Le brevi note seguenti, più che un'introduzione ai princìpi del calcolo delle probabilità, sono finalizzate a discutere l'equazione di Drake (v. in basso).

La probabilità che si verifichi un certo evento, tra i vari possibili, è definita come il rapprto tra i casi favorevoli ed i casi possibili. Per esempio, la probabilità di ottenere un 6 lanciando un singolo dado è:

• casi favorevoli = 1 (ossia la faccia che mostra il numero 6);
  
• casi possibili = 6 (ossia la faccia che mostra il numero 6 e le altre 5 facce).

dunque, la probabilità di ottenere un 6 è 1/6 = 0,16 circa.

Ovviamente, una probabilità non è una certezza. Infatti, può benissimo accadere che su sei lanci non si presenti mai la faccia con il numero 6; tuttavia, aumentando il numero di lanci, si può constatare che effettivamente la frequenza con cui si presenta il numero 6 è molto vicina ad 1/6
Però, occorre fare attenzione: ogni volta che lanciamo un dado, la probabilità di ottenere un 6 rimane la stessa. Così, dopo sei lanci, e si faccia attenzione su questo punto, la probabilità, P, non si può calcolare come somma delle probabilità:

infatti, si otterrebbe un valore 1, corrispondente alla certezza in quanto il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili coincidono.
Più avanti (vedi riquadro) vedremo come si calcola la probabilità per un numero successivo di lanci.

Ora proviamo a calcolare una situazione più complicata: qual è la probabilità che lanciando due dadi si ottengano due 6?

come risulta dalla figura sopra, solo l'ultima colonna mostra due dadi che presentano entrambi la faccia con il numero 6; quindi, abbiamo:

• casi favorevoli = 1 (l'unica combinazione in cui si presentano due facce con il numero one che mostrano il numero 6);
  
• casi possibili = 36 (ossia tutte le combinazioni di due dadi che si possono presentare, comprese quelle con il 6).

dunque, la probabilità di ottenere un doppio 6 è 1/36 = 0,03 circa. Ed è una probabilità molto bassa, come del resto è facile verificare. Ovviamente, si ha la stessa probabilità di ottenere una combinazione doppia con tutti gli altri numeri (due 1, due 2, ecc.).
In particolare, si può dimostrare che la probabilità cercata si può anche calcolare moltiplicando tra loro le singole probabilità di ottenere un 6: 1/6 x 1/6 = 1/36. Più in generale, questa regola vale anche per più dadi. Così, la probabilità di ottenere quattro 6 lanciando quattro dadi è 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/1296 = 0,00077 circa!

In base a quanto discusso, possiamo vedere il procedimento corretto per calcolare la probabilità di ottenere un solo 6 dopo sei lanci consecutivi. E' ovvio che lanciare sei volte lo stesso dado o lanciare sei dadi identici insieme, non cambia le cose. Ciò premesso, abbiamo appena visto che la probabilità di ottenere con un doppio lancio una coppia di 6 è data dal prodotto delle singole probabilità. Anche adesso lanciamo due dadi insieme, però vogliamo calcolare la probabilità che esca un solo 6. Per far questo, cominciamo col calcolare la probabilità che non esca neanche un 6. Evidentemente i casi sfavorevoli sono 5 ed i casi possibili (che comprendono il 6) sono 6. Quindi, per ogni lancio c'è la probabilità di 5/6 che non si presenti la faccia con il 6. In tal caso, la probabilità che con un lancio simultaneo di due dadi non esca neanche un 6 è il prodotto delle singole probabilità: P = 5/6 x 5/6 = 0,70 e dunque, la probabilità che esca un 6 con due lanci successivi è la differenza fra la certezza (1) ed il numero di casi sfavorevoli: 1 - 0,70 = 0,30. In modo analogo, si può calcolare che la probabilità di non ottenere un 6 con sei lanci successivi è 0,67; con venti lanci successivi è 0,03 e dunque, la probabilità di ottenere un 6 è 0,33 con due lanci e 0,97 con venti. Come possiamo constatare, non c'è certezza, a meno di fare un notevole numero di lanci. Occorre tener conto che a rigore, quando si vuol calcolare la probabilità di ottenere almeno un 6 (o un altro numero) dopo n lanci, non si sta calcolando una probabilità (che comunque rimane costante ad ogni lancio), bensì la frequenza delle probabilità. Il senso di questa osservazione può essere compreso solo all'interno di una trattazione specifica, che però esula dalle intenzioni divulgative di questo articolo.

Ed ora, torniamo ai marziani...
Il radiostronomo Frank Drake, sotto la cui direzione fu sviluppato il progetto OZMA, propose un'equazione molto citata da coloro che discutono della possibilità di vita nell'Universo o, più concretamente, nella nostra Galassia. Qui appresso è riportata l'equazione di Drake, limitata - per le finalità di questa discussione - a cinque termini (invece che sette):

N è il numero di civiltà evolute nella nostra Galassia; R è un parametro legato alle caratteristiche che deve avere una certa stella perché un suo eventuale sistema planetario possa ospitare forme viventi;
f₁, f₂, ecc., sono rispettivamente la frazione di stelle simili al Sole che possiedono pianeti; la frazione di pianeti in cui la vita si può sviluppare; la frazione di pianeti che ospitano forme di vita intelligenti; la frazione di pianeti in cui si sviluppa una tecnologia.

E' facilmente intuibile che a parte il parametro R, tutti gli altri sono il risultato di valutazioni del tutto arbitrarie; per cui, il valore di N può variare da 1 a qualche centinaio di migliaia, a seconda del livello di ottimismo del "cacciatore di extraterrestri".
Ora, sebbene sia ragionevole ammettere che l'esistenza di forme di vita extraterrestre, anche evoluta, è del tutto possibile e probabile, è criticabile il fatto che, con il numero N si voglia calcolare non la probabilità che ci sia vita extraterrestre, ma addirittura il numero di civiltà extraterrestri.
La bizzarria di questo calcolo, sarà più chiara con un esempio:

Qual è la probabilità che ci sia qualche forma di vita nell'universo? Beh, ci può essere o non essere; quindi, diciamo un 50 per cento che non ci sia.
Qual è la probabilità che la vita nell'universo non sia intelligente? Beh, può esserlo o no; quindi, diciamo un 50 per cento che non sia intelligente.
Qual è la probabilità che la vita nell'universo sia evoluta come la nostra? Beh, per le stesse ragioni, diciamo un 50 per cento che non sia evoluta.
Qual è la probabilità che la vita nell'universo sia intelligente e più evoluta della nostra? Beh, sempre per le stesse ragioni, diciamo un 50 per cento che non sia più evoluta della nostra.

La probabilità che non ci sia vita (1/2), né che sia intelligente (1/2), né che sia evoluta come la nostra (1/2), né che sia più evoluta della nostra è: 0.5 x 0.5 x 0.5 x 0.5 = 0.0625

La probabilità che ci sia vita nell'universo e che sia intelligente ed evoluta, anche più della nostra, è dunque la differenza tra la certezza e la probabilità contraria: 1-0.0625 = 0.9375, ossia quasi il 94 per cento... più dell'ipotesi iniziale (50 per cento)!

Quanto discusso, è un modo per presentare il principio di ragione non sufficiente o principio d'indifferenza. Questo principio, in sostanza, dice che se non abbiamo valide ragioni per supporre che qualcosa sia vero o falso, tendiamo ad associare una probabilità eguale ad ognuna delle eventualità.
Ora, con l'equazione di Drake, sembra che il principio di ragione non sufficiente non sia chiamato in causa, in quanto le probabilità f₁, f₂, ecc., vengono calcolate singolarmente e con una certa accuratezza.
Tuttavia, in questo caso, l'errore è legato ad un altro elemento (presente anche nell'esempio appena proposto): abbiamo supposto che gli eventi (esistenza di vita, vita intelligente, vita evoluta. più evoluta) siano tra loro indipendenti...

In effetti, quando abbiamo accennato ad alcuni procedimenti per calcolare le probabilità di ottenere una combinazione doppia (due 6, per esempio) lanciando due dadi, non abbiamo precisato la condizione necessaria perché il risultato del calcolo sia corretto...
Gli eventi per i quali vogliamo calcolare la probabilità del loro verificarsi, devono essere indipendenti!

Per esempio, quando lanciamo due dadi, non ha importanza che il lancio sia contemporaneo: possiamo lanciarli insieme, oppure uno dopo l'altro. Infatti, possiamo essere certi che l'eventuale presenza di un 6 sulla faccia del primo dado, non influenzerà l'esito del secondo lancio (a parte la nostra emozione). In questo caso, gli eventi sono indipendenti.
Nel caso dell'equazione di Drake, gli eventi non sono indipendenti ed è per questo che possono solo portare a risultati in linea con... le nostre aspettative più o meno ottimistiche.

Certamente, a questo punto avrete dei dubbi. Per chiarirli, proviamo a calcolare la probabilità di estrarre un asso da un mazzo di 40 carte:

• casi favorevoli = 4(ossia i 4 assi contenuti nel mazzo);
  
• casi possibili = 40 (ossia tutte carte che si possono estrarre, comprese quelle con gli assi).

dunque, la probabilità di ottenere un asso è 4/40 = 0,1

Come secondo passo, calcoliamo la probabilità di estrarre un secondo asso senza rimescolare le carte. Evidentemente sono possibili due casi, a seconda che abbiamo già estratto o no un asso:

• casi favorevoli = 3(ossia i 3 assi ancora contenuti nel mazzo);
  
• casi possibili = 39 (ossia tutte carte rimaste, comprese quelle con gli assi rimasti).

Dunque, nel caso che abbiamo già estratto un asso, la probabilità di estrarne un altro è 3/39 = 0,076 circa, cioè minore della prima estrazione. Però, se alla prima estrazione non abbiamo preso un asso, la probabilità di estrarlo ora è un pò maggiore di prima, infatti:

• casi favorevoli = 4(ossia i 4 assi ancora contenuti nel mazzo);
  
• casi possibili = 39 (ossia tutte carte rimaste, comprese quelle con gli assi).

Dunque, nel caso che non abbiamo già estratto un asso, la probabilità di estrarlo subito dopo è 4/39 = 0,102 circa, cioè - come previsto - maggiore della prima estrazione. E' ovvio che se estraiamo 20 carte senza ottenere un asso, all'undicesima estrazione, la probabilità di estrarne uno è 4/20 = 0,2. Se poi siamo così "sfortunati" da non prendere un asso dopo 35 tentativi, forse nessuno scommetterà contro di noi al prossimo tentativo; infatti, allora la probabilità di estrarre un asso sarà: 4/5 = 0,8. E' certo comunque che nessuno scommetterà contro di noi nel caso che dopo 36 tentativi ancora non abbiamo preso un asso: 4/4 = 1 = cento per cento.

Gli esempi con le carte mostrano come le probabilità di estrarre un secondo asso siano dipendenti dalla "storia" delle estrazioni precedenti. Riflettendo sull'equazione di Drake, dovrebbe essere chiaro perché le sue previsioni permettono, sia pure solo con i numeri, di materializzare... quello che desideriamo.

Questa equazione, sulla cui base nel 1960 è stato varato il progetto OZMA, è costata al contribuente milioni di dollari. Tuttavia, anche se non c'è stato l'atteso contatto con gli extraterrestri, i soldi sono stati ben spesi. Nel 1967 furono registrati segnali periodici regolari provenienti dalle stelle Tau Ceti ed Epsilon Eridani, e successivamente dalle radiosorgenti denominate CTA 102 e CTA 104. Poiché più di un astronomo pensò che questi segnali fossero di origine artificiale, vennero battezzati segnali LGM, acronimo di Little Green Men (piccoli uomini verdi). Ma non erano extraterrestri: si scoprì che i segnali erano prodotti da "pulsars": stelle di neutroni in rapida rotazione attorno al proprio asse.

Se questa discussione non vi convince (la vita extraterrestre può esistere indipendentemente dall'equazione di Drake, quella che si critica è la possibilità di effettuarne una stima numerica ) e vi piacerebbe offrire in linea un pò di tempo del vostro computer per l'analisi dei dati raccolti dal progetto Seti, c'è un sito che fa per voi... http://setiathome.ssl.berkeley.edu