In un gioco a premi viene messa in palio un'automobile. Il presentatore mostra al concorrente tre porte chiuse (che contrassegneremo simbolicamente con A, B e C) ed afferma che l'automobile è dietro una delle porte. Il presentatore invita quindi il concorrente a scegliere una delle porte. Dopo la scelta, supponiamo la porta B, il presentatore apre una delle due porte che il concorrente non ha scelto, supponiamo la porta C, per mostrargli che lì non c'è la automobile...
A questo punto, il concorrente potrebbe pensare che la sua probabilità di vincere il premio sia salita da 1/3 a 1/2!
ATTENZIONE: la probabilità che il premio sia effettivamente dietro la porta A prima che il presentatore mostri cosa c'è dietro le altre due, è 1/3. Ora, sia che il presentatore apra le porte A e C contemporanemanete, sia che le apra l'una dopo l'altra, per il concorrente non fa' alcuna differenza: ormai la scelta è stata effettuata!
Dunque, l'apertura della porta (certamente quella in cui non c'è l'automobile) non ha aggiunto alcuna nuova informazione (se non di tipo emotivo) al concorrente e dunque le sue probabilità di vincere rimangono invariate: 1/3
Però, supponiamo che il presentatore, dopo aver aperto una porta vuota, supponiamo la C, dia al concorrente l'opportunità di cambiare la sua scelta, scegliendo eventualmente la porta A. E' conveniente farlo? Questa scelta è nota come il "dilemma di Monty Hall"
Per quanto la cosa sia apparentemente curiosa, la risposta è "sì". D'altra parte, sembra logico pensare che una volta che il presentatore ha aperto la porta C, le probabilità che l'automobile sia dietro A oppure dietro B siano le stesse (1/2 e 1/2). In realtà le cose non stanno così, perché il presentatore aveva un vincolo: quello di non aprire comunque la porta scelta dal concorrente (sia che dietro ci fosse l'automobile o no).
Esaminiamo meglio il problema. Allorché il concorrente ha fatto la scelta iniziale, aveva effettivamente una probabilità su tre che l'automobile in premio fosse dietro quella porta; per contro, c'era la probabilità di 2/3 che il premio fosse dietro una delle altre due porte.
I disegni seguenti illustrano schematicamente la situazione:
Dunque, la probabilità che l'automobile sia dietro delle due porte NON scelte è 2/3. Quando il presentatore rivela quale delle due è vuota, la probabilità resta invariata; così, la probabilità che l'automobile sia dietro l'altra porta è per l'appunto 2/3. Cambiando porta è come se il giocatore avvesse scelto DUE porte, anziché UNA. Per convincersi di questo fatto, seguiamo questo scambio di battute:
Supponiamo che appena il presentatore si appresta ad aprire una delle due porte non scelte, voi lo blocchiate dicendo:
«ferma, ho cambiato idea... non scelgo più la porta B ma la A e anche quella che stai per aprire!»
ovviamente, il presentatore risponderebbe:
«non è possibile: così sceglieresti due porte invece di una e avresti 2/3 di probabilità di vincere»
e voi ribattetereste:
«E' vero, ma io ho visto che tu per esigenze di spettacolo apri sempre una porta vuota e poi offri la possibilità di cambiare scelta iniziale. Dunque, qual è la differenza se cambio se la scelta prima che tu apra la porta?»
Riassumiamo la situazione: se per caso la prima scelta fosse quella sbagliata, dopo che avrete aperto la porta vuota il cambio sarà certamente (non probabilmente) favorevole. Al contrario, se la prima scelta era giusta (sob!), sarete certamente (non probabilmente) penalizzati dal cambio. Ora, riflettete... la probabilità di scegliere la porta giusta (e quindi essere penalizzati dal cambio) è 1/3; al contrario, sarete favoriti due volte su tre se inizialmente avete scelto una delle due porte vuote!
A questo punto, riassumiamo i risultati delle tre strategie possibili con le rispettive probabilità teoriche di vincita:
Questi risultati potrebbero essere verificati utilizzando il teorema di Bayes; tuttavia, la sua applicazione, oltretutto senza dimostrazione, non aiuterebbe a comprendere la soluzione. Così, è preferibile verificare "praticamente" il risultato della vostra strategia... e siccome concorsi di questo tipo sono proposti raramente, potete usare tre carte e farvi aiutare da un conoscente oppure utilizzare il form sottostante (programma JavaScript).
Dopo che avete impostato il numero di tentativi da effettuare, ogni volta che si clicca sul pulsante START, viene eseguito il numero di prove impostate e vengono visualizzati i risultati.
E' facile vedere come con poche prove (numero perimpostato = 5), sembra che cambiare scelta sia abbastanza irrilevante (e la cosa non deve sorprendere: si tratta di calcolo di probabilità, non di certezze); tuttavia, via via che impostate un numero di prove maggiori, vedrete che le percentuali di vincita si avvicinano a quelle teoriche.
