Indice

2.1 Introduzione
2.2 Risultati sperimentali
2.3 Modello a molla singola
2.4 Modello Energy-balance
2.5 Modello spring-mass
2.6 Smorzamento nella zona di contatto
2.7 Smorzamento interno
2.8 Legge allo scarico
2.9 Diminuzione della rigidezza del laminato
2.10 Modello analitico finale

2.1 Introduzione

Esistono molteplici modelli analitici che schematizzano il fenomeno impattivo, di cui i più semplici sono in genere composti da una combinazione di molle e masse. Caratteristiche di tali modelli è sostanzialmente quella di trascurare gli effetti dissipativi come i fenomeni vibratori, gli attriti superficiali, le deformazioni permanenti della zona impattata e dell'impattatore. Altresì presumono un comportamento elastico sia del provino che dell'impattatore e oltremodo, nel caso di materiali compositi, non mettono in gioco né le rotture di fibre o della matrice né tantomeno le delaminazioni tra gli strati.

Una tipica prova dinamica sperimentale d'impatto a bassa velocità viene effettuata sulle macchine Drop-Weight, dove un corpo impattante, opportunamente dimensionato e sagomato, mosso dalla forza gravitazionale, va ad impattare, con una certa velocità, il provino del laminato in esame, a sua volta fissato su un piano orizzontale. In tali prove l’impattatore non distrugge completamente il provino, ma rimbalza, permettendo così di ricavare la sua energia residua ed, indirettamente, l'energia assorbita dal materiale. La velocità dell’impattatore può essere ricavata attraverso le equazioni del moto oppure attraverso degli appositi sensori ottici. L’impattatore è poi, solitamente, strumentato in modo tale da determinare l’andamento della curva della forza e dell’energia dissipata nel tempo durante l’impatto. Di tutte le informazioni ottenibili quella che meglio descrive il procedere del danneggiamento risulta essere senz'altro la curva Forza-Spostamento. Un tipico andamento di tale curva per una prova eseguita su un laminato Peek-Fibra di carbonio di sequenza [0/45/-45/90]2s, con velocità d'impatto di 1.85m/s ed energia di 4J, viene riportato nella figura seguente.

Figura II.1. Diagramma Forza-Spostamento.

In essa possiamo distinguere una serie di punti ed andamenti caratteristici:

L’area racchiusa da tale diagramma rappresenta l’energia dissipata durante il ciclo di carico e scarico. Essa è in larga parte da ascrivere al danneggiamento subito dal materiale ed, in misura minore, a fenomeni dissipatori secondari come l’attrito tra le aree a contatto.
Analizzando la radiografia del provino impattato, notiamo come la penetrazione del liquido di contrasto sia notevole e come le delaminazioni non rilevate siano situate prevalentemente a sinistra del punto d'impatto. La pelle superficiale risulta essere molto sollevata e nei primi quattro strati notiamo una grande quantità di fibre rotte. Oltremodo rileviamo rotture di fibre anche negli strati centrali, segno di come, a tale livello energetico, il danneggiamento sia considerevole.
La presenza di delaminazioni impone un'ulteriore analisi agli ultrasuoni per ispezionare le zone non raggiunte dal penetrante.

Figura II.2. Radiografia della faccia inferiore del provino.

E' lo schema più semplice: esso è costituito da una massa indeformabile m che cade da un'altezza h su un corpo rappresentato da una molla di rigidezza k.

Figura II.3. Modello a molla singola.

Se indichiamo l'abbassamento della molla con d, uguagliando la variazione di energia potenziale della massa m durante la caduta con l'energia elastica accumulata dalla molla a seguito della sua compressione si avrà:

dove Pmax rappresenta la forza di impatto, proporzionale all'abbassamento della molla d secondo la rigidezza k. Ciò viene espresso tramite la relazione:

dove k dipende dalle caratteristiche dell'oggetto impattato. Avremo così:

dove con dst si è indicato l'abbassamento statico della molla. La soluzione positiva di tale equazione rappresenta il cedimento subito dalla molla in condizioni dinamiche e quindi l'abbassamento dal provino durante l'impatto:

dove il termine tra parentesi rappresenta il fattore d'impatto che indica di quanto si amplifica lo spostamento della molla rispetto alla condizione statica con la massa m appoggiata. Possiamo così ora risalire alla forza di impatto:

dove Pst rappresenta la forza agente sulla molla in condizioni statiche.
Il limite di tale modello è insito nel fatto che esso non è in grado di dare alcuna informazione riguardo l'andamento temporale della forza o delle altre grandezze di interesse. Inoltre non è altresì in grado di mettere in evidenza alcun tipo di danneggiamento inerente il materiale in esame.

2.4 Modello Energy-balance

Il nostro sistema in istudio è costituito da un indentatore emisferico che va ad impattare su una piastra. Assumiamo sul piano della lastra un sistema di riferimento di coordinate cilindriche con anomalia q e raggio r aventi origine sul centro della lastra e l'asse z posto nella direzione dello spessore con verso positivo alle deflessioni w. L'impattatore sarà invece un corpo di massa m con la zona che indenterà il provino, con velocità v0, sagomato a forma emisferica con raggio Ri.

Figura II.4. Sistema di riferimento del laminato.

Il modello [Shivakumar et al., 1985] si basa sul principio di conservazione dell'energia totale del sistema massa-impattatore. L'energia cinetica dell'impattatore è così pari alla somma dell'energia di deformazione dovuta al contatto tra i corpi ,alla flessione ,al taglio e agli sforzi membranali:

Figura II.5. Schematizzazione dell'evento d'impatto [Shivakumar, 1985].

Sono anche in tal caso valide tutte le limitazioni insite in tali modelli dove vengono trascurati tutti gli effetti dissipativi come i fenomeni vibratori, gli attriti superficiali, le deformazioni permanenti della zona impattata e dell'impattatore, presumendo altresì un comportamento elastico sia del provino che dell'impattatore e oltremodo, nel caso di materiali compositi, non mettono in gioco né le rotture di fibre o della matrice nè tantomeno le delaminazioni tra gli strati.
L'energia cinetica dell'impattatore un istante prima dell'impatto è pari a:

Secondo la legge di Hertz la forza d'impatto P e lo schiacciamento nella zona di impatto a sono legati dall'espressione:

dove k è la rigidezza di contatto dipendente dalle proprietà del materiale e dalla geometria dell'impattatore. In particolare per un indentatore emisferico di raggio R e di materiale isotropo che impatta una piastra quasi-isotropa avremo:

dove:

con

In cui:

Er = modulo di elasticità longitudinale nel piano della piastra;
Ez = modulo di elasticità longitudinale in direzione normale al piano della piastra;
nz = modulo di Poisson nel piano della piastra;
nzr = modulo di Poisson nei piani diametrali;
Gzr = modulo di elasticità trasversale nei piani diametrali;

L'energia di contatto Ec è così data dall'integrale della forza d'impatto P rispetto alla deformazione di contatto a:

La reazione della piastra è esplicata dalla somma della reazione dovuta alle deformazioni a flessioni e taglio unita alla reazione dovuta alla reazione membranale, proporzionali, secondo la corrispondente rigidezza, rispettivamente allo spostamento e alla sua potenza cubica:

con:

essendo:

kb = rigidezza flessionale;
ks = rigidezza a taglio;
kbs = rigidezza a flessione e taglio;
ks = rigidezza membranale;

In generale per una lastra sottile la rigidezza flessionale risulta essere sensibilmente minore rispetto a quella a taglio. Per una piastra perfettamente incastrata avremo:

Mentre la rigidezza a taglio ks nel caso di carichi trasversali agenti su un laminato circolare vale:

dove con h si è indicato lo spessore della lastra. In appendice sono ricavate le corrispondenti espressioni di tali rigidezze per condizioni diverse di vincolo.
Il raggio di contatto ac tra impattatore e piastra è legato alla forza d'impatto P dall'espressione:

Analogamente a quanto fatto per la forza di contatto anche Ebs e Em sono ricavati integrando Pbs e Pm rispetto allo spostamento w ottenendo così:

Sostituendo le espressioni trovate nell'equazione di conservazione dell'energia otterremo:

Per la risoluzione di tale espressione si ricorre ad un processo iterativo, in quanto né la forza di contatto P né tantomeno il raggio di contatto ac sono a priori noti, interrompendo tale processo quando si è raggiunto un livello di errore prestabilito. Possiamo così ricavare la deflessione della lastra w e con essa le grandezze incognite ac e P.

Figura II.6. Diagramma Forza-Spostamento del modello Energy-balance.

Anche per tale modello il limite principale risiede nel fatto che esso può essere applicato esclusivamente a materiali isotropi o a laminati in materiale composito quasi isotropi, ed inoltre non è in grado di dare alcuna informazione sul danneggiamento subito dal materiale durante l'impatto.
Una variante a tale modello, può essere quella di considerare una diversa rigidezza di contatto, come ad esempio quella proposta da molti ricercatori [Sun et al., 1982], la quale, a differenza del termine indicato, dipendente dalle caratteristiche di tutti i layers del laminato, tiene conto esclusivamente delle caratteristiche del solo strato che viene a contatto con l'indentatore. Il nuovo valore di rigidezza di contatto k sarà pari a:

dove:

Nello studio in esame tale valore di rigidezza risulta essere minore rispetto al valore di rigidezza di contatto introdotto nella [II.12]. Nell'economia del modello ciò non determina grosse variazioni nel diagramma forza-spostamento, mentre determina un aumento dell'indentazione nella zona di contatto.

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