Punti Materiali

Cinematica dei punti materiali

Traiettoria

Si definisce traiettoria di un punto il luogo geometrico delle posizioni occupate dal punto materiale al variare del tempo.

Vettore spostamento

Si definisce vettore spostamento Dr del punto materiale nell'intervallo di tempo Dt il vettore differenza delle posizioni agli istanti t+Dt e t: Dr = r(t+Dt)-r(t).

Vettore velocità media

Si definisce vettore v_m velocità lineare media come il vettore del rapporto del vettore spostamento Dr e l'intervallo temporale in cui esso ha luogo.
La velocità media di un corpo non è sempre la media aritmetica, la si può fare solo quando il tempo trascorso è lo stesso:

           S₀ + S₁         v₀ · t₀ + v₁ · t₁
v_m = ———— = —————— ;     e se t₀ = t₁
            t₀ + t₁               t₀ + t₁

                      (v₀ + v₁) · t          (v₀ + v₁)
si ha: v_m = —————— = ————
                            2 t                      2

altrimenti si deve usare quest'altra formula, sapendo lo spazio percoso e la velocità con cui la percorso: (ricorda che t = S /v)

S₀ + S₁
v_m = ————
t₀ + t₁

Vettore velocità istantanea

Il vettore velocità (lineare) istantanea all'istante t è la derivata prima del vettore posizione

Si può notare: Per trovare la velocità istantanea si deve moltiplicare l'esponente del tempo per il suo coefficente, diminuire al tempo un grado ed eliminare il termine noto.

Per quanto concerne la direzione di v essa è la stessa del vettore posizione, cioè v è sempre tangente alla traiettoria.

Vettore accelerazione lineare media

Si definisce accelerazione media di un corpo, il rapporto tra la variazione di velocità e l'intervallo di tempo in cui essa è avvenuta.

a_m = Dv / Dt.

L'unita di misura dell'accelerazione nel SI è mt / sec² [a = (mt / sec) / sec = mt / sec²]. Se il tempo iniziale coincide con "0" la formula si scrive: a_m = (v - v₀) / Dt;
se invece l'accelerazione del moto è costante la formula è: a = (v - v₀) / Dt.

Vettore accelerazione lineare istantanea

Si definisce vettore accelerazione istantanea, il limite per Dt=>0 dell'accelerazione media; oppure come la derivata prima rispetto al tempo del vettore velocità istantanea, o come la derivata seconda rispetto al tempo del vettore posizione.

Attenzione la variazione nel tempo del vettore velocità, che da luogo all'accelerazione, possono avvenire in due modi indipendenti:

agendo sul modulo della velocità istantanea, mediante l'acceleratore o il freno;
agendo sulla direzione della velocità istantanea mediante lo sterzo

MOTO RETTILINEO UNIFORME

S = v · t

S è lo spazio, S₀ è la distanza dall'origine, v è la velocità e t il tempo.
Quindi S = S₀ + (±v) · t. Si ha v positivo quando il mobile si allontana dall'origine, mentre la si ha negativa quando si avvicina.

v_m = (S - S₀) / t;
t = (S - S₀) / v;
S = S₀ - v · t.

MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

a_m = (v₂ - v₁) / Dt

a_m è l'accelerazione media; v₂ è la valocità finale; v₁ è quella iniziale.

Il moto definito da queste formule è il moto uniformemente accelerato.

MOTO RETTILINEO UNIFORME, DISTANZA DALL'ORIGINE:

S = v · t
MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO, DISTANZA DALL'ORIGINE:

lo spazio percorso è l'area del trapezio: S =[v₀ + (v₀ + a t)] t / 2 = (2v₀ + a t) t / 2 = v₀ t + ½ a t²;
cioè: S = S₀ + v₀ t + ½ a t² (questa è la formula generale se il corpo non parte dall'origine, altrimenti S₀ = 0).
Se si vuole sapere, in un punto preciso dall'origine, quale sia la velocità che un corpo ha, si deve sostituire t = (v - v₀) / a, alla formula generale, dopo i vari passaggi intermedi si otterrà:

v = [v₀² + 2 a (S - S₀)]

MOTO CIRCOLARE

IL MOTO CIRCOLARE UNIFORME: si definisce il moto di un punto che percorre una circonferenza con v scalare costante.
Periodo del moto circolare è il tempo impiegato dal punto per percorrere un intera circonferenza; l' unità di misura sono i secondi. Periodo = T
Frequenza del moto circolare è il numero di giri effettuati in un secondo; unità di misura (n° giri) / sec, che prende il nome di Hertz. Frequenza = f
Tra frequenza e periodo vale la seguente relazione: f = 1 / T.
La velocità con cui il punto descrive la circonferenza prende il nome di "velocità periferica", quindi se indichiamo con R il raggio della circonferenza si ha: v = (2p R) / T [1]

Velocità angolare

v (omega) si misura in radianti / sec:
quando il punto si muove sulla circonferenza, il raggio R = op descrive angoli che possiamo misurare a partire da una posizione di riferimento oa; se per unità di misura usiamo i radianti, possiamo definire come velocità angolare del moto, il rapporto tra l'angolo spazzato dal raggio vettore R in un intervallo di tempo, e l'intervallo di tempo stesso:

v = (a₂ - a₁) / (t₂ - t₁)

Se in questa formula scegliamo come angolo spazzato l'intero angolo giro, il tempo impiegato coinciderà con T (periodo), per cui la formula diventa: v = (2p) / T [2].

Se poi confrontiamo [1] e [2] possiamo scrivere che la velocità periferica è uguale alla velocità angolare moltiplicata per il raggio:

v = vR

Velocità scalare

(Modulo del vettore = intensità del vettore)

velocità scalare è sempre la stessa
direzione cambia sempre

MOTO ARMONICO (il pendolo)

"GALILEO: LE TRE LEGGI"

I° legge: Il periodo (T) di oscillazione non dipende dalla massa del corpo appeso.
II° legge: Il periodo di oscillazione non dipende dall'ampienza dell'oscillazione; purchè non troppo grande.
III° legge: Il periodo dell'oscillazione dipende esclusivamente dalla lunghezza del pendolo (L) e dall'accelerazione di gravità (g). Tutto ciò è dato dalla formula:

T = 2p

L / g

Un'oscillazione completa sarebbe andata e ritorno, mentre il periodo è il tempo impiegato a compiere un'oscillazione completa.

Inserisci i dati e scopri che periodo (T) ha il tuo pendolo o quale sia la sua lunghezza:

Impossibile visualizzare l'applet

T è calcolato in secondi, mentre L in metri.

PRINCIPIO DI INDIPENDENZA DEI MOTI

Dinamica dei punti materiali

LA FORZA

In fisica si indica con il termine FORZA un qualche ente capace di deformare un corpo o modificarne il suo stato di quiete o di moto.
Una forza è pienamente definità solo se di essa conosciamo:
- l'INTENSITA' con unita di misura;
- la DIREZIONE;
- il VERSO.
Come ogni grandezza fisica che deve sottostare a queste condizioni, anche la FORZA è denominata grandezza vettoriale, questo termine le distingue da quelle grandezze che risultano pienamente definite solo dall'intensità e che si dicono scalari.

LEGGI FONDAMENTALI DELLA DINAMICA

I° PRINCIPIO: "PRINCIPIO D'INERZIA"

Se su un corpo no agiscono forze o un sistema di forze in reciproco equilibrio, il corpo mantiene uno stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.

II° PRINCIPIO

Un corpo soggetto ad una forza acquista un'accelerazione che, istante per istante, è direttamente proporsionale all'intensità e inversamente proporzionale alla massa del corpo stesso; tale accellerazione ha la direzione e il verso della forza.

F = m · a

MASSA

Nel sistema internazionale (S.I.) è stata definita come terza grandezza fondamentale (dopo lo SPAZIO e il TEMPO) la MASSA e per essa fu stabilita come unità di misura il Kg, definito come massa di un dm³ di acqua distillata a 4°C.
A questo punto alla forza, grandezza derivata dalle altre tre precedentemente definite, fu assegnata l'unità di misura chiamata NEWTON (N). Il Newton consiste nella forza nella forza che applicata alla massa di un Kg, le imprime un'accelerazione di un m/s².

III° PRINCIPIO: "AZIONE-REAZIONE"

Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria; se un corpo A esercita una forza su un corpo B, il corpo B esercitera una forza uguale e contraria sul corpo A.

TEOREMA DELL'IMPULSO

Si definisce quantità di moto di un corpo il prodotto della sua massa per la sua velocità.
Si definisce impulso di una forza il prodotto tra l'intensità della forza e l'intervallo di tempo in cui essa agisce.

F· t = mv -mv₀

Con questa nomenclatura la formula precedente può essere enunciata in un modo che prende il nome di "TEOREMA DELL'IMPULSO": La variazione di quantita di moto di un corpo è uguale all'impulso della forza applicata.

LAVORO DI UNA FORZA

Premessa
Definizione di prodotto scalare di due vettori:
Si definisce prodotto scalare di due vettori u e v, e si indica con u x v, il prodotto tra l'intensità di u e quella di v ed il coseno dell'angolo da essi formato.

u x v = u · v · cosa

Tale prodotto può essere interpretato anche come il prodotto tra l'intensità del vettore v e la componente di u lungo la direzione di v.
Definizione di lavoro di una forza costante:
Si definisce lavoro di una forza F il prodotto dell'intensità (o modulo) dello spostamento S, subito dalla forza, e la componente della forza F nella direzione dello spostamento.

L = F · S · cosa

Quindi possiamo anche definire il lavoro di una forza nel seguente modo: il lavoro di una forza costante è dato dal prodotto scalare tra F e S: L = F · S.

Casi particolari:

Dalla definizione risulata che il lavoro L di una forza parallela allo spostamento è massimo (in valore assoluto):
L = F x S, F = S L = F · S; perchè cos (0°) = 1
questo è se hanno lo stesso verso, mentre se è opposto sarà:
L = - (F · S); perchè cos (0°) = -1
Se invece la forza è perpendicolare allo spostamento il lavoro risulterà nullo poichè il cos 90° = 0.

Unità di misura del lavoro
Nel S.I. l'unità di misura del lavoro è il "JOULE" (J) , e consiste nel lavoro fatto da una forza di 1N che si sposta per 1m parallelamente allo spostamento:

J = N · m

POTENZA DI UNA FORZA

Definizione: Si definisce Potenza di una forza il rapporto tra il lavoro fatto e l'intervallo di tempo in piegato a compierlo.

P = L / Dt

Se la forza e la velocità sono costanti, e la forza è anche parallela allo spostamento, possiamo scrivere:

P = L / Dt = (F · S) / Dt = F · v

Unità di misura della Potenza
Nel S.I. è stato definito come unità di misura della potenza il "WATT", che è la potenza di una macchina che compie 1J al secondo.

Watt = J / sec
Un unità tecnica molto usata è anche il cavallo-vapore (CV): 1CV = 736 Watt.

"TEOREMA DELLE FORZE VIVE"

FORZE CONSERVATIVE

Si definiscono forze conservative quelle forze che non dipendono ne esplicitamente, nè implicitamente attraverso la velocità, dal tempo; e dunque dalla traiettoria.
Alcune sono:

Peso
Forza elastica
Forza centrale

RELAZIONE TRA ENERGIA CINETICA ed LAVORO

PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA MECCANICA

Dinamica dei Sistemi dei punti materiali

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Quintiliani Roberto