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Il m.d.q. serve per risolvere un'equazione di secondo grado ridotta
a forma normale cioe' del tipo
ax^2+bx+c=0 (1)
Esso consiste nell'eseguire una serie di operazioni che trasformano l'equazione (1) in una equazione del tipo t^2=k che si sa risolvere molto facilmente (t=radq(k) oppure t=-radq(k) se k e' non negativo).
In generale il m.d.q. si applica come segue.
0) Si moltiplica per 1/a l'equazione: (ax^2+bx+c)/a=0;
1) Si applica la proprieta' distributiva: x^2+bx/a+c/a=0;
2) Si moltiplica per 2/2 il termine bx/a: x^2+2bx/(2a)+c/a=0;
3) Si somma e si sottrae il quadrato di b/(2a): x^2+2bx/(2a)+(b/(2a))^2-(b/(2a))^2+c/a=0;
4) Osservando che i primi tre termini sono i termini dello sviluppo
del quadrato del binomio
x+b/(2a)
si ottiene:
(x+b/(2a))^2-(b^2-4ac)/(4a^2)=0
cioe':
(x+b/(2a))^2=(b^2-4ac)/(4a^2)
da cui, se b^2-4ac e' non negativo:
x+b/(2a)=radq(b^2-4ac)/(2a) oppure x+b/(2a)=-radq(b^2-4ac)/(2a)
e infine:
x=(-b+radq(b^2-4ac))/(2a) oppure x=(-b-radq(b^2-4ac))/(2a).
Esempi:
a) x^2+x-1=0;
0) si salta poiche' il coeff. di x^2 e' 1;
1) come 0);
2) x^2+2x/2-1=0;
3) x^2+2x/2+(1/2)^2-(1/2)^2-1=0;
4) (x+1/2)^2-5/4=0; (x+1/2)^2=5/4;
x+1/2=radq(5)/2 oppure x+1/2=-radq(5)/2;
x=(-1+radq(5))/2 oppure x=(-1-radq(5))/2.
b) 2x^2+3x-1=0;
0) (2x^2+3x-1)/2=0;
1) x^2+3x/2-1/2=0;
2) x^2+2*3x/4-1/2=0;
3) x^2+2*3x/4+9/16-9/16-1/2=0;
4) (x+3/4)^2-17/16=0; (x+3/4)^2=17/16;
x+3/4=radq(17/16)
oppure x+3/4=-radq(17/16);
x=(-3+radq(17))/4
oppure x=(-3-radq(17))/4.
c) 3x^2-5x+2=0;
0) (3x^2-5x+2)/3=0;
1) x^2-5x/3+2/3=0;
2) x^2-2*5x/6+2/3=0;
3) x^2-2*5x/6+25/36-25/36+2/3=0;
4) (x-5/6)^2-1/36=0; (x-5/6)^2=1/36;
x-5/6=1/6
oppure x-5/6=-1/6;
x=1;
oppure x=2/3.
d) 3x^2-5x+3=0;
0) (3x^2-5x+3)/3=0;
1) x^2-5x/3+1=0;
2) x^2-2*5x/6+1=0;
3) x^2-2*5x/6+25/36-25/36+1=0;
4) (x-5/6)^2+11/36=0; (x-5/6)^2=-11/36;
impossibile in R.
e) 9x^2-6x+1=0;
0) (9x^2-6x+1)/9=0;
1) x^2-6x/9+1/9=0;
2) x^2-2*x/3+1/9=0;
3) si salta in quanto il
quadrato e' gia' formato;
4) (x-1/3)^2=0; x-1/3=0; x=1/3;
in questo caso si dice che l'equazione ha due radici reali e coincidenti.
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