ENTRA IN GIOCO IL QUINTO POSTULATO

Proposizione 29

Una retta che cade su due rette parallele forma gli angoli alterni interni uguali fra loro, angoli corrispondenti uguali, angoli coniugati interni supplementari.

Vediamo come Euclide dinmostra la prima parte di questa proposizione:

"La retta EF cada sulle parallele AB e CD. Dico che essa forma gli angoli alterni interni AEF, EFD uguali fra loro.

Infatti; se gli angoli AEF ed EFD non fossero uguali fra loro, allora uno di essi sarebbe il maggiore. Sia AEF. Si aggiunga ad entrambi l'angolo BEF; allora gli angoli AEF e BEF presi insieme sono maggiori della somma degli angoli EFD e BEF (nozione comune 2). Ma gli angoli AEF e BEF presi insieme sono due angoli retti, dunque gli angoli EFD e BEF presi insieme sono minori di due angoli retti; ma allora per il postulato 5 le due rette AB e CD si intersecano dalla parte di B e D; ma esse non possono incontrarsi perchè sono parallele per ipotesi; ma allora l'angolo AEF non è disuguale all'angolo EFD e quindi è ad esso uguale. Come dovevasi dimostrare".

Questa teorema è la prima proposizione di "geometria euclidea" propriamente detta.

Il fatto che Euclide abbia tardato ad invocare il quinto postulato avvalora la congettura che già ai suoi tempi fossero sorte delle critiche intorno alla natura del postulato stesso. Di sicuro ai matematici che seguirono esso apparve meno evidente degli altri quattro, tanto che furono fatti diversi tentativi per dimostrarlo a partire dagli altri postulati, dalle nozioni comuni e dalle prime 28 proposizioni del Libro 1.

Questi tentativi si protrassero per venti secoli e condussero alla conclusione dell'impossibilità di dimostrarlo in base alle suddette premesse; anzi si dimostrò la possibilità logica di geometrie in cui esso non vale (Klein, Poincaré).