Una volta capito come funziona un metodo iterativo , passiamo l'attenzione su un altro problema :Come arrestare il metodo in modo che la soluzione approssimi bene quella reale e il N° di iterazioni sia limitato.

L'idea di fondo è quella di riuscire a stimare l'errore del metodo usato e trovare a priori il N° di iterazioni necessarie affinchè l'errore si riduca di un certo fattore.

Metodo basato sul controllo dell'incremento

Stabilisco a priori un valore E di soglia e richiedo che:

|| x^k+1 + x^k || < E

L'idea di fondo è che se x^k+1 deve essere "vicina" a

||e^k+1||<=(1/(1-|| B || ) ) * E

si nota come il fattore moltiplicativo 1/( 1-|| B || )conti molto.

Da solo questo metodo non da sempre buoni risultati.

Metodo basato sul controllo del residuo

Stabiliamo come Residuo:

|| r^k+1 ||=|| b-Ax^k+1 ||=|| x-x^k+1||

ora poniamo che il residuo sia minore di una certa tolleranza E

|| r^k+1 ||<=E da cui segue che l'errore al passo k+1 sia:

|| e^k+1|| / || x || <=(K(A)*E)/|| b ||

dove K(a) è il numero di condizionamento della matrice.

Si deduce che se la matrice A è mal condizionata , questo criterio di arresto è poco efficace,per migliorarlo si può ridurre E , o utilizzarne un altro in modo incrociato.