Alcuni esempi di funzioni ricorsive e dei rispettivi grafici.
Le successioni.
Le successioni numeriche ottenute in forma ricorsiva, si veda per esempio E. Giusti, Analisi Matematica 1, si comportano come tutte le altre successioni numeriche, nel senso che possono convergere verso un valore numerico finito, divergere, oscillare, non tendere a nessun valore limite o addirittura comportarsi in modo improvviso caoticamente senza aver preferenza a tendere a un valore limite prevedibile. Il problema di determinare il limite di tali successioni con i metodi tradizionali dell'analisi è di difficile risoluzione.
Clear[F]
F[0]:=1
F[1]:=1
F[n_]:=F[n]=F[n-2]+F[n-1]
l1=Table[F[i],{i,0,200}];
ListPlot[l1,PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],PointSize[0.008]}];
Si tratta del grafico della ben nota serie di Fibonacci e si evince che la serie diverge.
Clear[G]
G[0]:=0.123456789
G[n_]:=G[n]=N[1+(1/G[n-1]),10];
l2=Table[G[i],{i,1,40}];
ListPlot[l2,PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],PointSize[0.007]}];
La successione converge,
Clear[A]
A[0]:=N[Sin[Pi/3]]
A[1]:=N[Cos[Pi/5]]
A[2]:=N[2 Sin[Pi/7] Cos[Pi/3]]
A[n_]:=A[n]=A[n-3]-10^(-1) A[n-2]-10^(-8) A[n-1]
l3=Table[A[i],{i,1,200}];
ListPlot[l3,PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],PointSize[0.008]}];
La successione non tende a nessun limite.
Clear[B]
B[0]:=N[Sinh[Pi/11]]
B[1]:=N[Cosh[Pi/13]]
B[2]:=N[10^(-3) Cosh[Pi/7] Sinh[Pi/9]]
B[n_]:=B[n]=B[n-3]+10^(-2) B[n-2]-10^(-2) B[n-1]
l4=Table[B[i],{i,0,1300}];
ListPlot[l4,PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],PointSize[0.008]}];
La successione non tende a nessun limite ma i suoi valori massimi e minimi rimangono compresi in una striscia di piano ben definita.
Clear[H]
H[0]:=1
H[1]:=1
H[n_]:=H[n]=H[n-H[n-1]]+H[n-H[n-2]];
l5=Table[H[i],{i,0,500}];
ListPlot[l5,PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],PointSize[0.008]}];
Si tratta della successione caotica di Hofstadter.
da quaderni di Mathematica n.2: Fibonacci