PROGETTO DI UN ALBERO PER MOTORE ELETTRICO.
(seguendo la traccia di un esercizio proposto da A. AGOSTI - MANUALE DI MECCANICA - LATTES - 1981)

NOTA BENE:
lo svolgimento è stato effettuato con le unità di misura del Sistema Pratico. Occorrono le conoscenze del capitolo Meccanica.

L'albero in figura è per un motore elettrico che trasmette la potenza Z = 40 CV alla velocità n = 800 giri al minuto mediante la puleggia P a cinghia verticale, il cui tiro è P = 1.100 kg; ha un supporto di estremità A ed uno intermedio B fra i quali è posto nella mezzeria C il rotore il cui peso è R = 400 kg; è di acciaio 16 Ni Cr 11 UNI 5331 con carico di rottura s_R = 130 kg / mm².
Determinare:
(1) il diametro D_P della sede della puleggia;
(2) il diametro D_pi del perno intermedio B e la sua lunghezza L_pi;
(3) il diametro D_pe del perno di estremità A e la sua lunghezza L_pe;
(4) il diametro D_R della sede del rotore;
(5) le dimensioni degli organi di calettamento del rotore e della puleggia.

PRELIMINARI

Rappresentiamo nella figura seguente l'ipotesi iniziale di calcolo



IL CALCOLO DELLE REAZIONI

Troviamo la reazione V_A annullando la somma dei momenti rispetto al punto B:
V_A (a + b) - R b - P c = 0
V_A = (R b + P c) / (a + b) = (400 x 300 + 1.100 x 200) / (300 + 300) = 567 kg
Troviamo la reazione V_B annullando la somma delle forze verticali:
V_A - R + V_B + P = 0
V_B = R - V_A - P = 400 - 567 - 1.100 = - 1.267 kg
da cui risulta che V_B è diretta verso il basso. Lo schema statico completo diventa quindi quello della figura seguente:



IL DIAGRAMMA DEL MOMENTO FLETTENTE

Il diagramma del momento flettente nasce dalle seguenti equazioni:
^AM^C_x = V_A x;          da cui si ricava          M_A = 0          M_C = 567 x 300 = 170.100 kg mm
^CM^B_x = V_A x - R (x - a);         da cui si ricava          M_B = 567 x 600 - 400 (600 - 300) = 220.000 kg mm
^DM^B_y = P y;         da cui si ricava         M_D = 0
Adottando la consueta convenzione di segno il diagramma del momento assume l'aspetto in figura:



IL DIAGRAMMA DEL TAGLIO

Il diagramma del taglio nasce dalle seguenti equazioni:

^AT^C_x = V_A ;          da cui si ricava          T_A = V_A = 567 kg          T_C = V_A = 567 kg
^CT^B_x = V_A - R ;         da cui si ricava          T_B = 567 - 400 = 167kg
^DT^B_y = - P ;         da cui si ricava         T_D = - P = - 1.100 kg
Adottando la consueta convenzione di segno il diagramma del taglio assume l'aspetto in figura (ricordiamo che il taglio tende a cambiare segno nelle sezioni nelle quali il momento cambia inclinazione):



IL MOMENTO TORCENTE

Il momento torcente trasmesso dal rotore, avendo a disposizione la potenza e la velocità di rotazione, ha il valore, costante su tutto l'albero:
M_t = 716.200 N / n = 716.200 x 40 / 800 = 35.810 kg mm

LO SFORZO AMMISSIBILE

Poiché si tratta di un organo meccanico sottoposto a notevoli sforzi, variabili con legge non preordinata, occorre assumere un coefficiente di sicurezza m molto alto. In particolare, poiché per ovvie ragioni di costo e di opportunità per la manutenzione, l'albero deve essere relativamente "più sicuro"(*) del rotore, scegliamo il valore m = 12, per cui il carico di sicurezza è:
s_amm = s_R / m = 130 / 12 = 10,83 kg / mm².

SVOLGIMENTO

Rispondiamo ordinatamente ai quesiti posti dal problema.

(1) il diametro D_P della sede della puleggia.

Si può procedere in due modi: a) eseguire il tratto B - D di forma cilindrica calcolando la sezione resistente in prossimità di B e tenerla costante sino a D; b) eseguire il tratto B - D di forma tronco - conica tenendo conto del fatto che il momento flettente in D è nullo e quindi calcolare la sezione D per il solo momento torcente e quella B per l'azione combinata di flessione e torsione. Scegliamo la seconda via, per cui porremo:
t = M_t r / J_p £ t_amm = 4 / 5 s_amm
4 / 5 s_amm = M_t r / p r⁴ / 2 = 2 M_t / p r³
r_P = (2 M_t 5 / 4 p s_amm)^1/3 = (2 x 35.810 x 5 / 4 x p x 10,83)^1/3 = 13,8 mm arrotondato 14 mm
D_P = 2 r_P = 28 mm

(2) il diametro D_pi del perno intermedio B e la sua lunghezza L_pi.

A) Nella sezione B c'è flessione e torsione, per cui occorre tener conto del momento flettente ideale. Usiamo l'espressione generale:
M_fi = 3 / 8 M_f + 5 / 8 (M_f² + M_t²)^1/2 =
= 3 x 220.000 / 8 + 5 x (220.000² + 35.810²)^1/2 = 221.810 kg mm
s = M y / J = M_fi r / p r⁴ / 4 = M_fi 4 / p r³ = s_amm
r_pi = (4 M_fi / p s_amm)^1/3 = (4 x 221.810 / p x 10,83)^1/3 = 29,7 mm arrotondato 30 mm
D_pi = 2 r_pi = 60 mm
La conicità del tratto B - D è quindi da 60 a 28 mm di diametro. Il valore di D_P non è comunque definitivo perché occorre ancora dimensionare l'elemento di collegamento albero - puleggia.
B) Per calcolare la lunghezza del perno supponiamo che esso ruoti su bronzina con buona lubrificazione, ammettendo di avere una pressione(**) specifica p_s = 0,3 kg / mm². La forza agente (taglio) in B è V_B = 1.267 kg, la sezione diametrale è A_pi = D_pi L_pi e quindi:
p_s = V_B / D_pi L_pi = 0,3 kg / mm²        da cui si ricava        L_pi = V_B / D_pi p_s = 1.267 / 60 x 0,3 = 70,4 mm        arrotondato 72 mm.
Eseguiamo la verifica al riscaldamento ponendo:
W = V_B n / L_pi = 1.267 x 800 / 72 = 14.077
Con questo valore di W occorre la lubrificazione forzata con raffreddamento artificiale (radiatore del lubrificante). Per evitare tale complicazione aumentiamo la lunghezza L_pi sino al limite di W per lubrificazione forzata senza raffreddamento artificiale (solo pompa del lubrificante). Avremo quindi:
L_pi = V_B n / W = 1.267 x 800 / 7.000 = 144,8 mm arrotondato 146 mm
Il perno deve avere dei ribordi per tenere al posto la bronzina, per cui il suo aspetto è quello in figura, con le dimensioni:



n = 0,07 D_pi + 3 = 0,07 x 60 + 3 = 7,2 mm arrotondato 8 mm
l = 1,5 n = 1,5 x 8 = 12 mm.
Sono inoltre da dimensionare i raccordi(***) interni ed esterni al perno; date le dimensioni del ribordo si possono usare raccordi a quarto di cerchio con 3 mm di raggio.

(3) il diametro D_pe del perno di estremità A e la sua lunghezza L_pe.

Nel perno di estremità: a) non c'è momento flettente; b) non c'è momento torcente.
a) non c'è momento flettente perché teoricamente la reazione V_A non ha braccio; in realtà però, poiché il perno è lungo L_pe, esso è soggetto al momento(****)
M_fA = V_A L_pe / 2
b) non c'è momento torcente perché il perno non si oppone alla rotazione e quindi non subisce nè azione nè reazione di torsione. In realtà la bronzina potrebbe ingripparsi e allora anche tale perno sarebbe soggetto alla torsione M_t: supponiamo che ciò non accada e quindi appunto M_tA = 0.
Procediamo quindi alla progettazione tenendo conto della sola azione di flessione s = M / E J. In rapporto al numero di giri si stabilisce il rapporto L_pe / D_pe: per n = 800 giri / 1' il rapporto vale 3 e quindi si ha in successione:
s_amm = (V_A L_pe / 2) (D_pe / 2 / p D_pe⁴ / 64) = 16 V_A L_pe / p D_pe³ = (16 V_A p D_pe²) (L_pe / D_pe)
dalla quale si ricava:
D_pe = [(16 V_A / p s_amm) L_pe / D_pe]^1/3 = (567 x 16 x 3 / p x 10,83)^1/3 = 28,3 mm arrotondato 30 mm
Eseguiamo la verifica al riscaldamento:
W = V_A n / L_pe = V_A n / 3 D_pe = 567 x 800 / 3 x 30 = 5.040 > 4.000
Per evitare che anche qui si debba adoperare la lubrificazione forzata allunghiamo il perno ponendo W = 4.000, cioè:
L_pe = V_A n / W = 567 x 800 / 4.000 = 113,4 mm arrotondato 114 mm
in questo modo nel perno A avremo la lubrificazione ordinaria. Verifichiamo ancora la pressione specifica:
p = V_A / L_pe D_pe = 567 / 114 x 30 = 0,17 kg / mm²
valore più che buono.



I ribordi hanno le dimensioni: n = 0,07 D_pi + 3 = 0,07 x 30 + 3 = 5,1 mm arrotondato 5 mm; l = 1,5 n = 1,5 x 5 = 7,5 mm arrotondato 8 mm; raccordi a quarto di cerchio con 3 mm di raggio.

(4) il diametro D_R della sede del rotore.

La sezione da calcolare per la sede del rotore non è quella in B ma una più vicina a C. Infatti dalla sezione B dobbiamo spostarci verso C di metà della lunghezza di L_pi, quindi dalla distanza b = 300 mm dobbiamo togliere L_pe / 2, per cui il momento flettente assume il valore:
M_fF = V_A (a + b - L_pe / 2) - R (b - L_pe / 2) = 567 (300 +300 - 146 / 2) - 400 (300 - 146 / 2) = 208.888 kg mm < M_fB
Poiché è presente anche il momento torcente avremo:
M_fi = 3 / 8 M_f + 5 / 8 (M_f² + M_t²)^1/2 =
= 3 x 208.000 / 8 + 5 x (208.000² + 35.810²)^1/2 = 209.900 kg mm

r_F = (4 M_fi / p s_amm)^1/3 = (4 x 209.900 / p x 10,83)^1/3 = 29,1 mm arrotondato 30 mm
D_F = 2 r_F = 2 x 30 = 60 mm
Confrontando questo risultato con quelli già ottenuti sin'ora si ha:
a) il perno B e la sede del rotore hanno lo stesso diametro;
b) si può pensare(*****) ad una conicità dal diametro D_F al diametro D_pe = 30 mm;
ma bisogna tener conto di:
c) la conicità può aversi solo nel tratto di albero esterno al rotore in quanto esso deve avere una sede d'appoggio cilindrica;
d) il diametro D_F deve essere maggiorato per poter fare il collegamento rotore - albero;
e) sull'albero da C verso B deve essere creato uno spallamento sul quale appoggiare il rotore per evitare che esso sbandi longitudinalmente.
Supponendo che il rotore sia lungo 400 mm la situazione è quella in figura (in tratteggio le possibili variazioni):
La sezione terminale del rotore si è quindi portata in E e ivi il momento flettente vale:
M_fE = V_A (114 / 2 + 43 + 400) - R 200 = 567 x 500 - 400 x 200 = 203.500 kg mm
M_fiE = 3 / 8 M_f + 5 / 8 (M_f² + M_t²)^1/2 =
= 3 x 203.500 / 8 + 5 x (203.500² + 35.810²)^1/2 = 205.500 kg mm

r_E = (4 M_fiE / p s_amm)^1/3 = (4 x 205.500 / p x 10,83)^1/3 = 28,9 mm arrotondato 29 mm
D_E = 2 r_E = 2 x 29 = 58 mm
Lo spallamento ha le dimensioni: n = 0,07 D_E + 3 = 0,07 x 58 + 3 = 7,1 mm arrotondato 8 mm; l = 1,5 n = 1,5 x 8 = 12 mm; raccordi a quarto di cerchio con 3 mm di raggio.



La posizione del rotore lungo l'asse è data da: dal punto C andiamo verso destra; degli iniziali 300 mm da B togliamo i 200 mm della mezza lunghezza del rotore; togliamo 16 mm che sono gli spessori di due spallamenti; togliamo metà della larghezza 146 mm del perno intermedio B; la distanza fra i due spallamenti in E e in F è di 11 mm: riunendo il tutto, per facilitare la produzione, si ottiene un tratto lungo 27 mm con diametro 70 mm.
La posizione del rotore lungo l'asse è data da: dal punto C andiamo verso sinistra; degli iniziali 300 mm da A togliamo i 200 mm della mezza lunghezza del rotore; togliamo metà della larghezza 114 mm del perno di estremità A; per eseguire la conicità a sinistra restano 43 mm. La conicità va dal diametro D_E = 58 mm al diametro D_H = 40 mm in modo da realizzare il secondo spallamento in grado di tenere in posizione la bronzina A. La conicità così ottenuta risponde a due esigenze: a) diminuisce il peso proprio dell'albero; b) favorisce il montaggio del rotore costituendo un invito.

(5) le dimensioni degli organi di calettamento del rotore e della puleggia.

1) collegamento albero - rotore.
Il collegamento sarà realizzato con una chiavetta incastrata (UNI 6607 / 69); per il diametro D_E = 58 mm si ricava b = 16; h = 10; t = 6 mm
e quindi il diametro in corrispondenza del rotore, dalla sezione G alla sezione E, diventa
D_C = D_E + t = 58 + 6 = 64 mm
In definitiva la parte sinistra dell'albero assume l'aspetto della figura qui sotto:

        

2) collegamento albero - puleggia.
Anche la puleggia verrà calettata usando una chiavetta incastrata, in modo da favorire le operazioni di manutenzione; occorre però prevedere un mezzo atto ad evitare che essa si sfili longitudinalmente.
Supponendo che il mozzo della puleggia abbia uno spessore di 60 mm, dobbiamo arretrare la sezione D di 30 mm verso B e prolungarla all'esterno di altrettanto. Ne segue che il tronco di cono si ferma alla distanza di 170 mm da B e da qui in poi l'albero prosegue cilindrico, entro la lunghezza del mozzo della puleggia. Sarà poi necessario allungare ancora l'albero di quanto è necessario per ottenere lo smusso di invito finale.
Le sezioni resistenti in N ed L (vedi figura in basso) derivano dai seguenti calcoli:
M_fN = P 119 = 1.100 x 119 = 130.900 kg mm
M_fiN = 3 / 8 M_f + 5 / 8 (M_f² + M_t²)^1/2 =
= 3 x 130.900 / 8 + 5 x (130.900² + 35.810²)^1/2 = 133.900 kg mm

r_N = (4 M_fiN / p s_amm)^1/3 = (4 x 133.900 / p x 10,83)^1/3 = 25,1 mm
D_N = 2 r_N = 2 x 25,1 = 50,2 mm arrotondato 51 mm
M_fL = P 30 = 1.100 x 30 = 33.000 kg mm
M_fiL = 3 / 8 M_f + 5 / 8 (M_f² + M_t²)^1/2 =
= 3 x 33.000 / 8 + 5 x (33.000² + 35.810²)^1/2 = 42.810 kg mm
r_L = (4 M_fiL / p s_amm)^1/3 = (4 x 42.810 / p x 10,83)^1/3 = 17,1 mm
D_L = 2 r_L = 2 x 17,1 = 34,2 mm
Aumentando della profondità della cava il diametro in L diventa:
D_L = D_L + t = 34,2 + 5,5 = 39,7 mm arrotondato 40 mm.
La conicità andrà dal diametro D_N = 51 mm al diametro D_L = 40 mm, su una lunghezza di 89 mm, come appare nella figura seguente:



Per assicurare che la puleggia non si sfili longitudinalmente dall'albero, per effetto del movimento o del tiro della cinghia non perfettamente centrato, si possono usare diversi espedienti fra i quali:
a) una vite di opportuna sezione, con una robusta rosetta elastica di diametro maggiore di 40 mm (in modo da impegnare il mozzo della puleggia su una corona circolare di sufficiente ampiezza) avvitata in direzione dell'asse dell'albero. La rosetta avrà una linguetta ripiegabile sulla testa della vite per impedirle di ruotare.
b) l'albero sporge dal mozzo di 10 mm e viene forato (foro di 2 mm) radialmente a 4 mm dal mozzo; si inserisce una rosetta di 3 mm di spessore e poi nel foro passante si inserisce una copiglia elastica.
c) a caldo: si riscalda il mozzo della puleggia in modo che aumenti il suo diametro e insieme si raffredda l'albero in modo che il suo diametro diminuisca; quando i due elementi si uniscono e si raffreddano si ottiene un collegamento sicuro(******).
d) il sistema rappresentato nella figura seguente. Il sistema consiste nel forare il mozzo e poi l'albero in direzione radiale sin quasi all'asse. Il foro nel mozzo è largo, quello nell'albero è filettato in modo da avvitare il bullone. Il tutto è completato da una rosetta piana con dentatura esterna che eviti lo svitamento del bullone. Il bullone è sistemato in posizione diamentralmente opposta rispetto alla cava della chiavetta.
La vite sarà calcolata al taglio dovuto al momento che produce la rotazione e quindi il moto della puleggia. La forza tagliante è quella che, disposta tangenzialmente all'albero, provoca una torsione pari a M_t, cioè:
M_t = F D_L         dalla quale si ricava         F = M_t / D_L = 35.810 / 40 = 895 kg
Se non ci fosse la chiavetta tutta questa forza agirebbe sulla vite; poiché però in realtà tutto il momento M_t deve scaricarsi sulla chiavetta, per un sovrappiù di sicurezza dimensioniamo la vite come se dovesse portare una forza
F_v = F / 2 = 895 / 2 = 448 kg
Poiché la vite è serrata nella madrevite supponiamo che il taglio agisca uniformemente su tutta la sezione della stessa per cui useremo l'espressione semplice:
t = T / A = t_amm = 4 / 5 s_amm          dalla quale si ricava          A = 5 F_v / 4 s_amm = 5 x 448 / 4 x 10,83 = 51,7 mm²
La vite che ha la sezione resistente immediatamente maggiore (78,5 mm²) è la
M 10 ISO UNI 5725 / 65
con filetto triangolare a passo grosso per cui nel mozzo faremo un foro di diametro 11 mm e nell'albero un foro di diametro 9 mm da filettare con maschio per allocare la vite M 10.
Completiamo il collegamento con una rosetta del tipo:
rosetta piana con dentatura esterna 10 UNI 3703

        

Infine allungheremo l'albero di altri 2 mm per effettuare lo smusso(*******) di invito 2 x 2. Lo stesso smusso opereremo sul bordo a destra dello spallamento N, nonché all'altra estremità dell'albero.

In conseguenza dei calcoli e delle considerazioni fatte, l'albero assumerà l'aspetto della figura seguente



La lunghezza totale dell'albero è diventata

L_tot = 899 mm


(*) Nelle costruzioni meccaniche occorre in un certo senso scegliere quale elemento si deve "rompere" per primo essendo impossibile che tutto funzioni perfettamente in eterno. Ciò equivale a dire che è preferibile predisporre le cose in modo che si rompa l'elemento meno costoso (per esempio la bronzina anziché l'albero) oppure che il meccanismo non si guasti per colpa dell'elemento meno costoso (nel caso in esame è più conveniente che il motore non si guasti per colpa dell'albero). Siccome l'albero è portato da bronzine, la serie probabile dei guasti dovrebbe essere: bronzina, rotore, albero.
(**) L'albero non dovrebbe mai toccare la bronzina. Ciò significa che idealmente l'albero dovrebbe "galleggiare" nel lubrificante: per ottenere questo risultato si calcola la pressione che l'albero esercita sulla bronzina, p_s = V_B / D_pi L_pi Se il lubrificante ha la stessa pressione (per mezzo di una pompa) l'albero galleggia e la bronzina non subisce usura.
Per effetto della resistenza al moto il lubrificante si riscalda e se si riscalda troppo occorre raffreddarlo con un radiatore.
I numeri e le formule relative a questo problema sono ricavate dal Manuale di meccanica già citato.
(***) I raccordi hanno una funzione molto importante in quanto servono ad eliminare possibili concentrazioni di sforzi di taglio.
(****) L'albero dovrebbe essere retto dalla bronzina in posizione coassiale. Per effetto di una costruzione non corretta o per effetto dell'usura o per effetto dei carichi, l'albero si deforma disponendosi come nella figura seguente.



Ciò significa che il momento flettente non ha più valore nullo. Vedi Progetto di un albero di trasmissione parte prima.
(*****) Si può pensare anche a fare l'albero cavo per alleggerirlo: vedi Progetto di un albero di trasmissione parte seconda.
(******) Questo metodo richiede una lavorazione di precisione perché, sbagliando le dimensioni, al momento del raffreddamento il mozzo della puleggia può spaccarsi.
(*******) Lo smusso ha lo scopo di evitare danni agli operatori che dovessero avvicinarsi inavvertitamente all'albero.

PROBLEMA CHE LASCIO AI MIEI LETTORI: SE SI ELIMINANO LE ZONE CONICHE DI 43 E DI 89 mm, ACCORCIANDO L'ALBERO, COSA E COME CAMBIA?
SCRIVETEMI!